М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Интеграл в правой части формулы (!) называется свертной функций !(1) и и(!) и обозначается символом г (! * й) = ) ! (т) ьг (! — т) аг . (2) Теорема 1Х утверждает, что умножение изобраигений равносильно свертыванию оригиналов: (! * а) =.' Р(р) 6(р) **). (3) В прилогкениях полезно следствие теоремы умножения, которое относится к случаю, когда надо найти оригинал произведения рР(р) 6(р). Пользуясь правилом дифференцирования оригинала (формула (6) предыдущего пункта) и доказанной теоремой умножения, мы получаем так называемый интеграл Дюамеля: рР (р) 6 (р) = ! (0) 6 (р) + (рг (р) — ! (0)) 6 (р) е и =.'! (О) д(!) + ~ !'(т) и(! — т) с!т. (4) о На основании свойства симметрии свертки этот интеграл пере- писывается также в виде рГ (р) 6(р) =.' ! (О) д (!) + ~ и (т) !' (! — т) г(т, (5) о ') См., напрвмер, Ф и к те н гольп, т. 111, стр. а70.
'*) Отметим свойство симметрии свертки 1! а) =(в В которое легко показать, заменяя в определении свергни перемен же т на тг = ! — т; оио слелует также из того, что левая часть (3) не меняется прп перемене ролей Г(Р) н б(Р). о !. основныв понятия и матоды о!! о!1 а перемена ролей функций г" (р) и 6(р) приводит к формулам рг" (р) 6 (р) =.' и (0) ~ (!) + ( д' (т) Я вЂ” т) дт = о =у(О) ~(!)+ ~1(т) у'(! —.) дт. (8) о Примеры применения интеграла Дюамеля будут даны ниже (см. и. 84 н след.). Приведем теорему, двойственную теореме умножения.
Х. Теорема. Пусть даны два оригинала 1(1) и у(1) с показателями роста з! и зв Их произведение также является оригиналолн причем а+ 1а« 2ти а-!а где а > з! и Ке р ) го + а. В самом деле, произведение )(!)у((), очевидно, удовлетворяет условиям 1' — 3' для оригиналов. Его изображение ! (!)д(!) =.' ~)(!) д(!) е а'д!'. о Возьмем а ) з! и заменим !'(!) по формуле обращения: а«а+ !то НОа(ава — ',. !'( !' г!а!си'а~)аВ!.-"а = о !а-на «+о« 0 — (г(а!!а(О «н'ж~аа ! а-о«а о (изменение порядка интегрирования можно обосновать).
Если считать еще Ке р ) зо + а, то будем иметь Ке(р — д) =» зв ибо у нас йе д = а, и внутренний интеграл можно заменить через 6(р — д). Теорема доказана, Заметим еще, что так как а можно взять сколь угодно близким к з!, то изоображение функции !(!)д(!) определено в полу- плоскости Йе р ) з, где з = з! + зо — показатель роста этой функции.
В приложениях полезна доказанная в 1935 г. советским математиком А. М. Эфросом. 512 1'Л. М1, ОПЕРАЦИОННЫИ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 1м Х1. Обобщенная теорема умножения. Пусть дано изображение Р(р)=.' 1(!) и аналитические функции 6(р) и д(р) такие, что 6 (р) е-'ч 1Р! . ' д (1; т), (8) тогда ') Р ]с) (р)! 6 (р) =' ~ 1 (т) а (1; т) дт о (9) В самом деле, изображение правой части соотношения (9), (мы предполагаем, что можно изменить порядок интегрирова- ния).
Но внутренний интеграл есть изобрахсение д(1;т); следо- вательно, по формуле (8) можно написать: ~ 1(т) д(1; т) с(т —,-'-6(р) )Г 1'(т) е-и'и!'дт= 6(р) г" ]д(р)], что и требуется. 3 а м е ч а н и е. Если, в частности, принять д(р) = р, то д(1;т) =.'е-1"6(р) и по теореме запаздывания д(1;т) = д(à — т); следовательно, формула (9) принимает вид '(р)6(~)=.') ')9('- "=Ь о е (при т)1 в силу свойства йч орипшалов д(1 — т) =О) н совпадает с формулой (1). Таким образом, теорема Эфроса действительно является обобщением теоремы умножения.
Праведен несколько ирнмеров нрименевия теоремы Эфроса. 1 г- П р ни е р 1. Пусть 6 (д) = = н д (р) = !' д. Фуикнню у (й т) нейдем Ф~ ио формуле обрвщення о+ счч К (й т) = —. Е т1 Р+Р— ~. о-! *) Мы не формулируем условна теоремы; из этик условий дощкзо сле.
довзть, что ну!нные функции являются изобрвженнями и что можно менять иорядон интегрнровзния (см. докззэтельство), )Г ]! (т) а(1; т) дт=, ~ е и!с(1 )Г 1' (т) д (1; т) с(т= е о о = ~1(т) йт ) 8(1; т) е-Р1с(1 зц 5 !. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ 513 Рассмотрям замкнутый контур, состзвленный из отрезка (а — !Ь, а+ (Ь), н дуг С и С„окружности )р( = й, двубережного разреза 1, 1! н окруж- ности сн )р) = г (рис.
!81], Внутри этого контура подынтегральная функция аналитична и однозначна (для определенности мы считаем — л < агп р ( л). Поэтому по теореме Коши интеграл вдоль отрезка (а — 1Ь, а + 1Ь) можно зацепить интегралом вдоль 6 остальной части контура (направление интегрирова- ния показано стрелками на рнс. !81), Так кзк т)0, / м 1 -э!ар то ва дугах Сл н Сл функция = е — э 0 при )г — сс.
Следовательно, по лемме )Кордапа при -тУр-~-рс / и ! .э 0 интеграл от †. е )Г, вдоль С и С л и стремится к иу:по прн р-ь ча, и можно написаты 1 ( ! -т!'УЧ-ж гтР ,(1,,) Нщ е — + (+ (( Л.э 2лг ~ а ! Рис. 181. Па берегу 1 имеем р= хе Ьч, )~р = — 1У'х, на берегу П: р= хе '1 )г р = ! р х; следовательно, Г л ~ТУ х хс г(х !ту х хс с(Х Интеграл вдоль с,, очевидно, стремится к нулю прн г -ь О, пбо М < —.
2лг. Таким образом, сг 8(й т) = — а! е созт У х == — 4! е созти г(п= — е хт .à — дх 2 (,и2 ! - т2/н =Рл( (мы положилн х=и' п затеьг воспользовались известным значением интеграла Пуассона — см. пример 4) п 73), т. е. ") -тур Ур ' У~и~ (10) Пусть теперь известен оригинал фуакции Р (р) ~) (1). Учитывая соотношение (10), мы можем найти оригинал непосредственно по теор (Ур) реме Эфроса; — 4! ! (т) е 1 г(т. Р( р) 1 " — Н У р )'лт *) При 1< 0 стремится к нулю интеграл вдоль дуги С„, обозначенной пунктиром на рис 181; аналогичным рассуждением покажем, что 8 (1; т) = 0 при 1<О. 5!4 ГЛ У!. ОПЕРАНИОН44ЫИ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ !8! е-аУР ! à — '4«44 ~'.— ! 1 ' — Е 4(Х =уз((т 4'Т) =0 при т < а, а затео4 положили (мы воспользовались тем, что «(т — а) т —.== х). Пользуясь обозначениями 2Р! ег1х= — ) е 4)х, — х =)"- / 1 — ег! х = Ег! х (12) и учитывая, что ег1 оо =1 (см.
п. 70), мы можем записать последнюю фор- мулу в виде Ра 1 — ег1 (=) = Ег1 ( ). (13) 1 1 П ример 2. Положим О (Р) = — и д (р) = —. Функция РР— (Р еи — е ~Р найдется с помошью теоремы подобия из формулы Р Ф)о(2 У(), которая будет получена в следуюшем пункте '): 8 (П т) - уо (2Р'Гт). Е(1; т) ев — е ! Р Теорема Эфроса дает — Р ( — ) Ф ~ ) (т) уо (2 )4 Гт) 8т. 1 Г!! Р Р о (14) В частности, полагая 1(т) =созт, получим Р(р) = — (см. (4) п. 80), Р Ро+ ! /11, Р ~Р) Р+! и формула (!4) примет внд; Ю уо (2 )' (т) соз г дт =' 1 (16) Ро + о Учитывая формулу (3) п.
8, получаем следующее соотиошегоне, содержащее бесселеву функцию уо.' Хо (2 )' Гт) соз т 4(т з!п 1. (16) о ') См. формулу (4) п. 82, уо — бесселева функция нулевого порядка, см. и. 70, а также следующую главу. е -ар Например, полагая Р(р) = (и > О), найдем по теореме запаздывания Р 1(Г) =4! (! — а), и формула (!1) даст з !.
основные понятия н мнтоды 82. Теоремы разложения. Мы докажем здесь несколько теорем, относящихся к разложению в ряды оригиналов нли изображений. В первой теореме мы предположим, что изображение Р(р) аналитнчно в бесконечно удаленной точке (по замечанию п. 79 тогда Р(со) = 0), и докажем, что в этом случае оригинал можно находить, беря формально сумму оригиналов членов лорановского разложения функции Р(р) в окрестности бесконечно удаленной точки. Учитывая формулы (11) п. 80 для оригиналов отрицательных степеней р, мы могкем сформулировать эту теорему в следующем виде: Х!1.
Первая теорема разложения. Если Р(р) правильна в бесконечно удаленной точке и имеет в ее окрестности 1р(:~ !г' лорановское разложение Р(р) = ~~~ —,', е=! л' то оригиналом Р(р) служит (умноженная на т1(!)) функция сд й=! (2) При этом ! (!) .является целой функцией. ! /!! Для доказательства положим р= — и Р! — ! =Ф(д). Функ! циЯ Ф(д) = ~ сьдь аналитична в кРУге ~ д ! « —; следовательно, з=! неравенства Коши из п.
!7 дают ! сь (< М!г~. Из полученных неравенств лучаем: 1~(г)1«--')~(сз! „"',, е=! для любого (комплексного) г по- Отсюда следует, во-первых, что ряд (2) сходится для всех комплексных г, т. е. является целой функцией, и, во-вторых, что !1(1) ( Сен! для положительных й Таким образом, функция !)(1)!(1) действительно является оригиналом. В силу равномерной сходимости ряда (2) в любом конечном круге мы можем умножить его на е — т! и проинтегрировать почленно по 1 от 0 до любого Т) О. Если при этом !хер, !г, то можно почленно интегрировать и от 0 до оо.
Использовав формулы (1!) и. 80, мы н получим нужное разложение (1). Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Можно доказать н обратное предложение: если оригинал имеет вид з)(())(!), где )(С) — целая функция, удовлетворяющая неравенству (! (1)) < г)гез !" (т. е. )(() имеет конечный порядок), то ее изображение Г(р) правильно в бесконечно удаленной точке.
П р и м е р. Рассмотрим разложение г (р) = — е 1, жч ( — 1) 1 еь! а'а 1! е +Аз-! Так как и" (р) правильна в бесконечности а имеет там нуль, то по теореме ХП можно формально перейти к оригиналам ие! ~,~ ь! („.!. А)1 е=о Ряд справа напоминает разложение цилиндрической функции У„(см. п. 70 !ты формула (!3)); чтобы свести его к этой функции, поломан ! =~ — ) ! тогда ( 2 ) Х й1 (л + я)! ~ 2 ) ( 2 ) Таким образом, мы имеем: !"Гтуа(2У 1) —, — „, е НР, (3) в частности, прн и = 0 Уо (2 )' ! ) —.
— е Р Приведем также некоторые следствия полученных формул. Из соотношения (3) по теореме обращения получим а+! Г ! м-— а-ью 2 ЗамепЯЯ зДесь 2У! =т и (пРи фиисиРованиом т) Р= — Рь а также Учитывая, что в силу последней замены прямая интегрирования лишь сдвинется 2 в правой полуплоскости параллельно самой себе (ибо — > 0~! мы получаем: Ф е,+!а ул (с) = — ) е (5) 2л! р"+' а,-!е~ ! (ср, с аналогичной формулой п. 70). Положим теперь р — 1р, — — ) ! 2! ' Р~)! правая полуплоскость Ке р!,Р 0 перейдет при этом в плоскость р с вырезан- 516 Гл ч!. ОпеРАциОнный метод и еГО приложения 182 й !, основ понятия и методы 517 ными лучами ( — 1ео, — 1), (1, 1ео). Чтобы выяснить характер образа 1, пря- мой интегрирования, положим р~ —— ге!, и =э+ )в, тогда 11 11 ! 1 11 з= — !с — — )созф, в= — (г+ — )з!п~р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
