М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 91
Текст из файла (страница 91)
И1) и тогда получим искомое разложение (!О). Теорема ! Относится к случаю, когда наибольшее значение !(!) достигается во внутренней точке отрезка (а, б). Аналогично доказывается следующая теорема, относящаяся к случаю наибольшего значения на конце. Теорема 2. Пусть удовлетворяется условие (7) и !(!) достигает наибольшего значения в точке ! = а, аналитична в этой точке, !'(а) Ф О и существует Й ) О такое, что !(а) — !(!) ) и вне некоторой окрестности точки а. Пусть еще функция 1=7р(!) определяется в окрестности точки т = О из уравнения !(а)— — )(!)=т, приче,и в этой окрестности имеет,песта разлогсение (9). Тогда 482 ГЛ.
У. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ К АНАЛИЗУ ~77 значения в точке ! = 1 *). Мы ограничимся первым членом разложения. По формуле в сноске к стр. 475 находим са = =~р(1а)1г — — „= )7 2 и формула (10) дает: 1 (7а) ,-Ан-~-ыа>л7 1/" ~ )7'2+ О ~ ~ ) ~ о Подставляя это в (12), находим искомую оценку (формула Стирли ига): Г (), + 1) = )7 2п).
( — ) ~ 1 + 0 ( — ) ~. (13) При желании можно было бы получить и следующие члены асимптотического разложения: Г (Л + 1) = р 2зй ( — ) ~ 1+ )27 + 2ззаа — б! з4ох„+ ...~. (14) Перейдем теперь к изложению собственно метода перевала. Сущность этого метода состоит в том, что прибольших значениях параметра ), величина интеграла Р(А) = ) ~р (з) их)<а~с(г с в основном определяется тем участком пути интегрирования С, на котором !еат(4(= еанеи7), т. е.
Гсе)(г), велика цо сравнению со значениями на остальной части С. При этом интеграл оценивается тем легче, чем меньше этот участок и чем круче падает величина Йе)(г). В соответствии со сказанным, при применении метода перевала стараются деформировать путь интегрирования С в яаиболее удобный путь С, пользуясь тем, что по теореме Коши такая деформация не меняет величины интеграла.
Чтобы уяснить вопрос геометрически, положим г = х+ (у и представим и =Йе)(г) (15) как повеРхность 5 в пРостРанстве (х, Го и). Так как фУнкциЯ н гармоническая, то 5 не может иметь точек максимума и ми- *) Условие (7) теоремы выполняется при любом Аа>0, ибо интеграл Оа -"М7-1-~а7)И) ~ 7Л, -Л,И-И 777 сходится о о 4 3 методы Асимптотыческих оцеыок 77! 483 ыимума, а точки, в которых 1'(г) = О, будут для иее точками 71еревала (седловыми точками, рис. 172). Как мы говорили, наиболее удобный для оценки путь иптегрироваиия С по крайней мере иа участке„ имеющем иаибольшее значение для оценки интеграла, в каждой точке должен проходить в направлении наиболее быстрого изменения Ке)(г), а так как функция 1(г) аналитическая, то это направление 'г Рес.
!72, должно совпадать с направлением линии 1т)(г) = сопз1. Таким образом, путь С, по крайней мере иа участке, наиболее существенном для оцепки интеграла, должен совпадать с линией уровия ! гп 1" (г) = сопз1. Далее, путь С должен содержать точку гм в которой мег"(г) достигает наибольшего среди значений этой функции иа С. Покажем, что 1'(ге) = О; иными словами, точка линии 1гп)(г) = = сопз(, в которой 11ег"(г) достигает наибольшего значения, является точкой перевала.
В самом' деле, в точке ге производная от йе)(г) вдоль д ликии С должна быть равна нулю: —,Йе((г)=О, а так как а 1ш1(г)=сопз1 иа С, то —,1п1)(г) = — О, а поэтому 1'(г,) = де = —,, 14ег( ) + ' — 1 1(г) = О. 484 ГЛ. Ч. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ К АНАЛИЗУ ~ТТ Итак, при применении метода перевала к интегралу (!) путь интегрирования С следует деформировать в путь б, проходящий через точку перевала го и в окрестности этой точки идущий вдоль линии наиболыиего ската !гп)" (г) = сопз1*) (рис. 172). 3 ам е чан ие 1. Сказанное требует небольшого уточнения.
Из свойств гармонических функций (теорема 8 п. 4!) вытекает, что окрестность точки перевала ге разбивается линией уровня тте)(г) на 2п сектоРов (и) 2, и — 1 — кРатность нУлЯ 1'(го)), над которыми поверхность 5 находится попеременно, то выше, то ниже своей касательной плоскости в точке (хо, у,, ие). Линия уровня 1т((г) =сопз1 в окрестности го распадается на и линий, проходящих через г, в направлении биссектрис упомянутых выше секторов. Одну из таких линий мы и выбираем в качестве С.
3 а м е ч а н и е 2. Если поверхность 5 имеет несколько точек перевала, то обычно следует выбирать в качестве О путь, проходящий через наиболее крутой нз перевалов. Впрочем, вопрос о выборе точки перевала в общем виде решается далеко не просто и его приходится рассматривать отдельно в каждом конкретном случае. Отметим важное обстоятельство, обеспечивающее эффективность применения метода перевала: так как вдоль линии С имеем агд едп = 1ш)(г) = сопз1, то оценка интеграла (1) сводится к оценке интеграла ог действительной функции, которая может быть проведена по,нетоду Лапласа. Это замечание позволяет нам воспользоваться результатами, содержащимися в теоремах 1 и 2, которые доказаны прн изложении метода Лапласа.
Как мы уже говорили, функции 1(г) и ср(г) предполагаются аналитическими в некоторой области. Рассмотрим сначала случай, когда путь интегрирования С можно деформировать в путь С, проходящий через точку перевала го, где 1'(го) = О, (л(го) Ф О, и в окрестности го совпадающий с линией наибольшего ската 1гпг(г) = сопз(, причем па О. вне этой окрестности Ке((г) ~ йе1(го) — Ь (й ~ О). Кроме того, предположим, что интеграл (1) абсолютно сходится для достаточно больших значений Х.
В этом случае оценку интеграла можно провести на основании теоремы 1. В самом деле, пусть г = г(1) будет уравнение контура С; имеем, очевидно, р (А) ~ ~р (г) вм (е~ дг — ваш ш 1 ! ии ~ ~р (г (1)) вл яе Ма И>3г (1) Щ (18) *) Метод перевала называют также истодои наибольшего ската или ие. годом седловых точек.
$ 3 %стопы Асимптотнческих оцГпок 771 4зз п задача свелась к оценке интеграла вида (2), разложение которого дается формулой (10). Выпишем первый член этого разложения. Для этого обозначим ф[г(1)[г'(1) = ф(1), Ке [[а(1)) =1(1) и тогда по формуле (10) получим искомый член Ь ф(~) ех)(" Ж ехг(ц1 ~г — см (17) а где с,— свободный член в разложении функции ф[ф(т)) ф'(т), который находится по формуле в сноске к стр. 480. Имеем: ф(18) =ф(г,)г'((з) н, так как ('[г(()) = Ке[[а(1)[-1-11гп[[а(1)) = = 7(1)+ сопз( вдоль о, то [-(1.) = — „,', [[ (~Н(,=ц =[-(.) '((.) (член 1'[з(1))г"(1) = 0 при 1 = 14).
Так как эта величина отрицательна, то, полагая з'(14) = йе'е, мы можем записать ее в виде 7" ((е) = — [[" (ге) (й'. Таким образом, с, = ф (1,) у — =, = ф (г,) еси [,' Г ((о) 1 1" (го) 1 и, подставляя найденное значение в (17), а затем в (!6), получим искомую формулу Р(х) ° ем("11~," ф(гз)е'э=. 11" (го)1 1 Л (18) Если па контуре с имеется несколько точек перевала, в которых значения Ке)(г) находятся вблизи к наибольшему, то следует взять сумму выражений (18) по всем этим точкам. Случай, когда контур интегрирования заканчивается в точке перевала гз, совершенно аналогичным образом приводится к теореме 2. В качестве примера применения метода перевала найдем асимптотическую формулу для цилиндрической функции первого рода целого порядка и (19) 1 ! / !х (ср. формулу (!4) п. 70).
Здесь ф(г) = — „,, ((г) = — [з — — ~, 1/ 1) ['(з) = — 11+ —., ), следовательно, существует две точки пере- 2 ( г'!' вала гьа — — + с одинакового уровня Ке7 (г) = О, и согласно 486 гл. ч. пгиложвния тсогии эгнкцип к лнллизэ цв сделанному выше замечанию нужно рассмотреть обе эти точки л У нас в(+ 1)= т !е ', 1(+ !) = + 1, !!" (+ !) 1=1. Линия уровня и=йе)'(г) = — !! —,,1 =О, проходящая через точки — хт ~.зэ~ перевала, состоит из окружности ! г 1= 1 и прямой х = О, направление же линии наибольшего ската должно быть бисекторным по отношению к этой линии; учитывая еще распределение зна- ков а, которое указано на рнс.
173, — ~,+ находим д, =Зп/4, Ох= п/4. Таким образом, по формуле (18) мы получаем искомую асимптотическую оценку 7. (х) - — '1 - ~ ' " ' 7 '+ $' 2яХ вЂ” (л- — "- — ") к! +е 2 4 / 2 / я я~ = "у — соз ! Х вЂ” н — — — !. (20) У пл ! 2 4!' + Дальнейшие примеры прнмснеРис. ! 73. ння метода перевала будут приве- дены в гл, ч'П. 78.
Метод производящих функций. Идея этого метода состоит в том, что для получения асимптотической оценки какой- либо функции заменяют эту функцию другой (проиэводя~цей функцией), аналитической по некоторому вспомогательному переменному. Простейший вариант метода принадлежит Д арбу (1878 г.) и позволяет найти аснмптотическне выражения для больших значений и функций 1„(г), определяемых через производящую функцию Р(г, в) по формуле г" (з, в) = ~, 7, (г) в" (1) а=ч (см. примеры 2, 3 и 4 и. 70, а также гл. ч'1! п. 93). Пусть известны особые точки Р(г, в), рассматриваемой как функция в, на окружности круга сходимости ряда (1), за которую мы для простоты примем ~ в ~ = 1.
Пусть еше известны функции Ел(г, в) = Х („э(з) в" такие, что разность Р(з, в) — Рл(г, в) при приближении к окружности ! в) = ! сходится к р раз дифференцнруемой функции 487 $3. методы Асимптотическпх Оцснок та! от ( = агдц/. Тогда коэффициенты 7„— 7,А в разложении « т" (г, ц/) — гта (г, ш) = ..'~ ()„— )„а) еьи «=Э будут коэффициентами Фурье р раз непрерывно дифференцируемой функции и, следовательно, по известному свойству коэффициентов Фурье «) будет: )пп и"-' Ц„(г) — )„~ (г)) = О. и«« Таким образом, фунщии („А(г) дают те/и лучшее приближение 7"„(г) для больших и, чем больше показатель р.
В качестве примера применения метода Дарбу найдем асимптотическое выражение для многочленов Лежандра Р„(з) больших порядков и; для этих многочленов Р(з, ш) = ! (4) )11 2зю + ш« (см. пример 2 п. 70). Пусть для простоты з — действительное число и — ! < я < 1; положим я соя!, 0 < ! < я, тогда ! — 2аю+шз = = (ш — еи) (чн — е-/'); следовательно, кругом сходимостн ряда тейлора функции (4) будет круг )ш) < 1, а особыми точками — точки ю = еь//. Получим разложение по степеням ю — е+и той ветви двузначной функция (4), которая выделяется условием, что е / С+я ю — е =е Е// 2 3/ зт ! — ше чи где корень справа означает ветвь, равную ! при ш = 0 (г.
е. представляе- мую биномнальиым рядом) «'). Имеем: ! Г(я, ю)= (ы — е +(е — е ')) В' н/ — еи 4 и е ) ю — е ( / Р'2 Мп ! зп/ ! — « и— 4 4(-~ ( э еи) 2 (6) )/ 2 з!п ! 4 4 (е — с ! ) п=о ( — 1)" ! 3... (2п — !) где сп = ', — биномиальные коэффициенты. и! 2« *) См. Ф и х т е н г о л ь ц, т. и1, стр. 606 и след. ") Из принятого условия следует, что знаменатель в выражении (4) равен ! при ю = О. !Те 488 ГЛ. Ч.
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ К АНАЛИЗУ Аналогично ! л— (ш — е !) ( -н и)» Р (з, ш) = Ф 2з!и! (7) Положим.' Рь(з, ш) = ! — (зз ег!) 3 сз е ( н -!!)' ! 4 (ш — е н) (е — е! ) ь У2.! ! о т е ! ! — г+'!'+ !' (1 — ше и) зп! ! Рп 4 3 (е! — е н -и) + ! зя! !еп, — + — г-т!г+и!г(! ш и) г ! 3 — е +е (в ! — '!) ! ч— разлагая (! — ш ) в ряд по формуле бинома (1 — шее ' ) = ~~ ( — 1)" счеее н" ш",' после элементарных преобразований получаем коэффицвент при ге" в разло- жении (8) l 2 %ч 1)е 7 1! )„З (з) = у — ~ счсчя соз ~ — (1+2ч) + ~У вЂ” и — — ) 1~, (9) з!п! (25!и !) 4 ) э=о который и дает асимптотическое выражение Рз (з) для больших п. Ограни- чиваясь первым членом, находим искомое асимптотическое выражение гг 2 18...(йп — П Гп Рн(з) = у —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
