М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Мы укажем простейшие методы решения проблемы Рауса— Гурвнца; более полное изложение читатель может найти в монографии Н. Г. Чеботарева и Н. Н. Меймана [4) или в курсах *) Проблема была впервые поставлена Дж. М а к с нелло и н 1868 г. Э. Р а ус (1877 г.) дал первое решение этой проблемы, не получившее широкого распространения, А. Г у раину (1895 г.) принадлежит решение, более )лобное для приложений (см. ниже). *ь) Для простоты мы ограничиваемся случаем простых корней.
75! 4 2, пРиложения теоРии ВычетОВ 4зт теории регулирования (см., например, [5) или (6)). Начнем с одного алгебраического метода решения проблемы для много- членов. 1) Критерий Гу ранца. Для простоты будем предполагать, что коэффициенты исследуемого многочлена )'(г) =а,г" + а,г"-'+ ... +а„ (7) действительные числа и что аз ) О. Имеет место Теорема (А. Гурвиц, 1895 г.). Для того чтобы все корни мноеочлена (7) с действительными коэффициентами аь(аь ) 0) ил!ели отрицательные действительнь!е чисти, необходимо и достаточно выполнение следующей системы неравенств: а, а, 0 аз аз а, аз а4 а, а, 511=а, >О, 111= аз аь >О, а, !эз = > О.
... 0 О >О аь 0 а, а, а, аз (8) а,„, а,„, а.„,, ... а„ мы полагаем аз =0 при й ) и). Будем доказывать теорему методом полной индукции. Для п = 1 теорема верна, ибо условие (8) в этом случае сводится к неравенству а! ) О, из которого с учетом предположения а, ) 0 следует, что корень многочлена 1(г) = аьг+ а, отрицателен. Предположим теперь, что теорема верна для многочленов степени (и — 1, и докажем, что тогда она верна и длч много- членов степени и. Для этого положим 1(г) = р+ у, где Р=аог" +азг"-з+ ..., !7=а,г" '+азг" з+ .
рассмотрим многочлен степени и — ! 4р (г) = а, р + (а, — а,г) 47 = а',г" ' + (а, а, — а,а,) г"-з + + а,азг" з + (а,а — а,аз) г"-4 + . (9) Дальнейшее доказательство проведем в два приема. а) Определители (8) для многочлена Ч1(г) выражаются через ~ание же определители для 1(г) по формуле !за=а"! !Дь+! (й=1, 2...„п — 1). г10) й! О О ..; О а,а, а,а — а аз а, ... О 2 а аз аоаз 1 4 0 5 а,а,бз = аба, а!аз — аойг а!аз а1й4 — йойб а!аз .
. О О О О ... О йОй1 О аоаз! а1а2 — аОаз 0511405 а', О О ...О а,а, а,а, — а,аз аз ... О а1йз а!"4 — йоаз а,аз ... О йбй7 1 а!115 йбй7 аьа, а,а, О О О ... О О ... О а' 1 й й й,й, а,а, а,а, =аба1О, 1 а', ...О а,аз ... О а,а, а,а, а аб а,а, а,й, а,а, а,а4 (мы «окаймляем» определитель, затем добавляем к элементам 2-го столбца элементы !-го, к элементам 4-го — элементы З-го, умноженные на йб/а1 н т, дл наконец, из перво~о столбца выносим обший множитель ао, а из остальных — множитель а,). б) Корни 1(г) лежат в левой полуплоскосзи Н в то»1 и только тол! случае, если а, ) О и корни 07(г) лежат в Н. Пусть корни )(г) лежат в Н; построим наряду с этим мно- гочленом ! (г) = а, Ц (г — гз) = айаг" + а,г" ' + ... + а„ (11) 5=1 многочлен л 7,(г)=аОП(г+гз)=а,г" — а,г"-'+ ... +( — 1)" а„, (12) ~1 корни которого лежат в правой полуплоскостн (выражения для его коэффициентов получаются при раскрытии произведений).
Очевидно, ((г) +(,(г) =2р, ) (г) — ~„(г) =2д. Так как 1г — г51~)г+ гз 1 при )хег ~ф О, то и ()(г) (ф(1',(г)! при цег ~~ О; (13) поэтому 4( может иметь лишь чисто мнимые корни. Покажем, что эти корни простые. Пусть от противного в какой-либо точке 458 ГЛ. У. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНК1П1И К АНЛЛИЗУ 475 В самом деле, имеем: 460 гл, н. пнилонсвиия тнорнои оннкцг!и к дндлизн (та Наконец, пользуясь (14), мы находим: а-1 о-,,очи,—,„!о-,,о(~ч.х; ". ес).
ь=! а из этой формулы видно, что Чо не может иметь корней при Кег ) О. В самом деле, действительная часть выражения в фигурной скобке при Кег ) 0 положительна, а д обращается в нуль лишь в точках г(ак, в которых, очевидно, гр чь 0 (ибо в противном случае в этих точках было бы р = О, а значит и ! = О, что противоречит условию). Таким образом, все корни много- члена ср(г) лежат в левой полуплоскости Н. Пусть теперь дано, что все корни гр(г) лежат в гт' и а! ) О. Из формулы (9) видно, что для гр многочлены р, и д!, аналогичные многочленам р и д, для (, имеют вид р! —— а!о! и О~ = = а!р — иогп, поэтому — = — + — г.
р д~ ао д р, а, (17) Повторяя для ор рассуждения, которые выше мы проводплн ао для (, найдем, что Ке Р' ЩО при Кег ф О. Так как — '> 0 и Ч~ а1 знак Ке — "' совпадает со знаком Ке Р', то из (17) мы придем Р~ Чо к неравенствам (16). Но тогда прн помощи (!5) мы докажем справедливость неравенств (13). Таким образом, при Кег ) 0 будем иметь (((г) () ((„(г) (, откуда следует, что )(г) не имеет корней в правой полуплоскости.
Но )(г) не может иметь корней и на мнимой оси, ибо там !((г) ! = !1,(г) / и каждый чисто лгнимый корень ((г) был бы корнем р и д, а следовательно, и корнем ф(г), что противоречит сделанному предположению. Поэтому все корни )(г) лежат в Н. Итак, утверждение б) доказано. Опираясь на него и на утверждение а), легко сделать переход от и — 1 к л и тсм самым закончить доказательство теоремы Гурвнца. П р и м е р ы. !) Для миогочлена ! (г! = г'+ 2г'+ зг + ! имеем (т, = 2, 2 ! О 0о = =б Ро = ! 3 2 = б; следовательно, все его корни леокат ! 3 О О 1 в левой полуплоскости. !2 ! 2) Для многочлена ! (г! = г'+ 2г'+ г+ ! имеем Оо = ~ ~ = — (, !3 следовательно, хотя бы один его корень лежит в правой полуплоскости, или на мнимой оси (впрочем, ! (гу) = (р (1 — уо) + 1 — 2уо, откуда видно, что мпогочлеп нс имеет чисто мнимых корней, т.
е, можно утверждать, что хотя бы один его корень лежит в правой полуплоскости). 75' З к пгссложе!сия тГОРисс вычгтов '46! Из разложения (1!) можно получить необходимое условие того, что все корни многочлена с действительными коэффициентами лежат в левой полуплоскостн; все коэффициентьс этого многочлена должны иметь одинаковый знак (условие Л. Стодолы). Однако, как показывает, скажем, пример 2, это не является достаточным *). 2) Геометрические методы. Геометрически проблема Рауса — Гурвица сводится к вопросу о том, будет ли образ Л правой полуплоскости йе г ) О при отображении ис = ((г), осуществляемом данной мероморфной функцией, содержать точку ю = О.
На римаповой поверхности сх функции )'(г) область Л ограничена кривой 1', соответствующей мнимой оси плоскости г — в теории автоматического регулирования эту кривую называют частотным годогрифом. На основании геометрических свойств аналитических функций можно сформулировать следующий Крите р ий устойчивости. Если часть Л римановой поверхности функции 1(г), остаюи(аяся справа от частотного годографа при его обходе в направлении возрастания у, не содержит точек, располоэкенньсх над ис = О (и галс годог)эаф не проходит над этой точкой), то соответствующая система автоматического регулирования устоичива, если же это условие не выполняется, — то неустойчива.
В практических задачах исследование формы римановой поверхности часто оказывается затруднительным, между тем как построить проекцию 1' частотного годографа на плоскость пс обычно довольно легко. Для этого достаточно отделить действительную и мшсмую части в уравнении пс = )(1у) и мы получим параметрические уравнения и = и(у), о = о(у), — оо ( <- у ( оо, кривой Г. Однако если не рассматривать рпмановой поверхности и прнменягь сформулированный критерий и области Л, плоское~и тв, расположенной справа от Г, то можно прийти к неправильному выводу. Зто относится к тем случаям, когда Г проходит не по всем лис~ам Й, расположенным над à — по листам, свободным от точек 1', можно выйти за пределы области Л, и, быть может, дойти до точки ис = О, хотя Ла се и не содержит.
В силу односвязности области Л в этих случаях над точками Л, непременно существуют точки разветвления поверхности Й, связывающие листы, свободные от 1', с листами, содержащими эту кривую. П р и и е р. Для иногочлеиа 1(а) = а' — а' + 2а — 3 *) Интересно отиетнттч что А. Стодола предложил ато услоаие как необходимое и достаточное (1694 г.). 462 гл.
и. низложения тгопии емнкшпч к юччлизн 1>5 кривая Г: и уз — 3, п = у(2 — уз) имеет вид, изображенный на рис. 167. Область Аз (оттенена на рисунке) не содержит точки ю =- О, однако область Ь (проекдии б) представляет собой всю плоскость; соответствующая система автоматического регулирования, конечно, неустойчива (не выполняется условие Стодолы), Здесь риманона поверхность имеет точки нетвления *) иад точками, которые о>мечены звездочками па рпс. 167; кривая Г лснспт на олпом из трех ес листов 1 7(О(г) + (! 8) где 0(г) — дробно-рациональная функция и К вЂ” некоторая постоянная.
Это — случай так называемых систем с простой обратной связью. Постоянная К имеет определенный физический смысл и называется коэффициентом усиления; ее выделение из выражения для 6(г) оправдывается конструктивными сообра>кенияз>н: на величины К и ст влияют разные звенья системы регулирования, Чтобы получить искомый критерий устойчивости для функции (!8); мы воспользуемся принципом аргумента п. 23. Очевидно, полюсы фунсции 7'(г) являются нулями хт(г); если обозначить число этих полюсов в правой полуплоскости через Р, то согласно принципу аргумента условие отсутствия нулей 7(г) в правой полуплоскости сводится к условию — „Лс ~~8) (~) = Р, 1 ') Точки ветвления соответствуют прн отображении м = )(г) корням уравнения К(г) Згз — 2г + 2 О. В некоторых задачах вид области з Л вЂ” проекции Л на плоскость ы— удается выяснить без изучения рима- новой поверхности.
Для этого, например, можно рассмотреть систему полукругов 0и: ~г~ ( Р, )те =» 0 и выд ясиить вид областей Лги соответствуюРне. 167. щих этим полукругам прн отображе- нии гв =)(г). Згтая, как меняется Л„ при изменении Й, мы будем знать и вид области Л. Очевидно, в формулировке критерия устойчивости область Л на рима- новой поверхности можно заменить этойплоской областью. Приведем еще один геометрический критерий устойчивости, относящийся к важному классу задач теории автоматического регулирования, в которых исследуемая функция имеет вид 751 $2. ПРИЛО>КЕИИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 463 где ф— граница полукруга /)и (см.
выше) достаточно боль- шого радиуса, обходимая по часовой стрелке"). Таким образом, при обходе С„(по часовой стрелке), вектор /(г) должен Р раз поворачиваться вокруг начала координат против часовой стрелки. Учитывая, что поворот вгктора /(г) во- круг начала равносилен повороту вектора 1 К0 (г) =/(г) — 1 во- 1 круг точки ш = — 1, или вектора 0 (г) вокруг точки и> = = — К, мы приходим к следующему критершо устойчивости, который связывают обычно с именами Г. Найквиста и А.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
