М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 86
Текст из файла (страница 86)
е. /(г) =е ) (1 — х) (1+х)'1 интегралы же по малым 3 7 и окружностям с, н с,, очевидно, стремятся к нулю при г-ьО. Следовательно, по теореме Коп«и для многосвязных областей Для вычисления ( лучше всего воспользоваться разложением нашей л с 3' ветви — в окрестности бесконечно / (г) удаленной точка. Имеем, вынося нз-под знака корня — г', 1 -ч«! !« где (1 — — ) и (! -1- — означают ! -! l те ветви этих функций, которые положнтельны на отрезке (1, со) положительной осн.
Разлагая последние по формуле бинома, находим вычет выбранвой ветви 1//(г) л в бесконечно удаленной точне: он равен -е"гд (коэффнпяент прн !/г с обратным Рис. 164. анаком). Но интеграл ~ равен этому вычету, помноженному на 2п! (см. ц 24), сл следовательно, имеем: (! езя«!3) ! еяцзйп! откуда окончательно «(х и 2п (6) , у(, х> (, + „>, „„ Уз Приведем еще два примера вычисления интегралов с ионечными пределами. П ример 6. Для вычисления интеграла зп и,.„,, (а) Ь)0) гл.
и. игиложгния творим оункцин к дндлиэх 452 !те И 2(г 2(г 1 ! 12 поло2к2!и е! =г, тогда 2(1= —,= —, созт= — 1г+ — ) и этот ивте2е 2« 2 ~ г ] грал перейдет в интеграл по единичной окружности: тп 2(1 4 г»(г (а+Ь со» т)2 2Ь«,) ! 2 2а )г ' э 1» 1=! ~г + г+ +Ь +' 2( г Ь'а 1 т' ໠— Ь' + а ) ~ 4 (ૠ— Ь«) " (г+ Ь «=«, По теореме о вычетах искомый интегра.л тл Н 2па о (а+ Ь сов() (а' — Ь') Л (а > Ь >О). (7) П р и ы е р 7.
Аналогнч22о вычисляется интеграл гя (1+ 2 со»))" сова! 7 1 ! !-1< а< — ). ! — а — 2асоз( (2 3)' о После подстановки ен = г имеем; (1 + 2 соз 1)" е!"' 1 ~ (1 + г + г')" И= —, с(г. 1 — а — 2асозт 2 „' (1 — а) г — а (1+ г') а 1«'=.! 1 — а -2- ) 1 — 2а — За' г Один нз полюсов подынтегратьной функции «2, » = 2а лежит внутри окружности, а другой — вне ее, ибо по свойству корней квад- 1 ратного урэвнения г,г, = 1; при этом в силу услоння — !< а< — эти корни 3 действительны и различны. Таким образом, по теореме о вычетах гл (1 + 2 со«))" е2а (! + г + гз!) 2(! = 2п 1 — а — 2а соз ! 1 — а — 2аг2 о 2п г! (8) 'г 1 — 2а — За' а У 1 — — И вЂ” ° -2 г-э= ъ 3--э«.- ° 22ь ° ° -22- 2а Так как правая часть (8) действительна, то она дает искомый интеграл '(22-2 ) 2 2.
1 — а — 2а соз ! 'г»1 — 2а — За' 2аз Вяутр2! окружности ) г , '= 1 подынтегральиая функция имеет один полюс !' а' — Ь' — а га = Ь с вычетом $2. ИпиложБиия теОРии ВычетОВ 211 453 В заключение принедем несколько интегральных представлеаий так называеиой гаима-функции. П р н м е р 8.
Гамма-функция опредетяется интегралом (Э й л е р) ч Г(г) ) е 11» й1, (10) о который берется по положительной полуоси. Этот интеграл абсолютно схо дится и представляет аналитическую функцию для всех г, лежащих в правой полуплоскости йег>0, ибо (е 11» ')=е 11" ' (см, теорему 4 п.
16). Деформацвей контура интегрирования можно получить другое представление гамма-функции, справедливое в более широкой области значений аргумента, т. е. осуществить аналитическое продолж е н н е этой функции. Рассмотрим функцию р (г) = ) е ьь» 1 йь, (11) С Рнс. 165 где интеграл берется вдоль контура С, состоящего из даубережного разреза по положительной полуоси и окружности )Ц = г (рнс. 165). Под ь~ здесь понимается функция е'» ! '" ь, гдс )п и — ветвь логарифма, для которой 0 ( агя и ( 2п, Полагая на верхнем берегу разреза ь =1, а на нижнем Ь=1е~нг, мы ыожеч представить Г(г) также в следующем виде: р (.) = ~+ ~ + ~ =(.2Я" — ) ~.-"-' + ~.-5~ -' ~.
| е И т е г Прн фиксированном г несобственный интеграл, входящий в эту формулу, сходится равночсрпо относительно г в любой ограниченной области значений г = х + |у. Это следует из того, что при (г) ( М подынтегральная функция мажорирустся фуякцией е Г , интеграл от которой вдоль отрезка (г, еа) -1 Х1Ч-! сходится. Так|О| образом, функция Р(г) аналитична для всех конечных значений г (целая).
На е„где ь" = ге а, имеем (е йь» | ) = е г'ь'ое(~ || |"' ч" < Агх |, где А — некоторая постоянная (при финсированнои г); отсюда следует, что >А2ят».Предположим теперь, что йег =х>0, тогда ~ — ьО при г-ьО. ег ег Таким образом, прн )!е г>0 мы инеем право перейтн к пределу пря г -ьО и на основании определения (10) получаем: Р (г) = (езн' — 1) ~ е 11» ' й1 = (езн㻠— 1) Г (г) ч (прн Ре г ( 0 этот предельный переход незаконен). Мы получаем новое интегральное представление еамма-функции (Х а н к е л ь) (12) 464 гл.
м приложнчия тиооиг! отнкции к анализу !тв Заиепш, что правая часть представляет собой отношение лвух целых функций Р (г) и ет™ — 1. В правой полуплоскости она совпадает с аналитической функцией Г(г); следовательно, (12) дает аналитическое продолжение Г(г) в левую полуплоскость и Г(г), таким образом, оказывается мероморфной функцией, аналитической всюду, кроме отрицательных *) цглых гочгк г — и и г = О, в которых знаменатель (12) обрагцается в нуль. Заменим в (12) г через 1 — г: Г(1 — г) =, е Сй ~дь=, е "( — й) дчь= С С е ь( — ь) зйь 2 з(п пг С (13) В главе ЧП будет доиазана формула Г (г) Г (1 — г) мп пг (14) справедливая Лля всех кочплексных г.
Пользуясь этой формулой и заменяя в (13) переменное интегрирование Г через —,. огчеу го контур С заменится контуром С* (рис. !66), по- 1 лучам интегральное представление функции Г (г) т (Ханкель): 1 1 Г (г) 2п! д — всй к дь. (15) С' Рнс. 166. 75. Подсчет числа нулей. Вопросы устойчивости. В анализе часто встречается задача определения числа нулей аналитической функции, лежащих в заданной области. Общее решение этой задачи дает принцип аргумента п. 23: число нулей функции ((г) внутри замкнутого контура С Лг = — д! — агг = —, Л ага) (г), Г р() 2п! д ((г) 2п С (2) ') В полоьчительяых целых точках, как ыы виделн раньше, Г(г) аналитична; следовательно, в этих точках обращается в нуль и числитель (12). где ЛсагйДг) обозначает полное приращение агй7(г) прн обходе контура С.
При этом предполагается, что )(г) аналитична внутри С, непрерывна на С и не обращается там в нуль; каждый нуль считается столько раз, какова его кратность. Иногда полезно воспользоваться простым следствием принципа аргумента. Теорема (Руше). Если функции ((г) и д(г) аналитицны внутри С, а на С непрерывны и удовлетворяют условшо ! 1 (г) ! > ! йг(г) (, 751 4 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 455 то функции )(г) и 1'(г)+йт(г) имеют внутри С одинаковое число нулей.
Для доказательства заметим, что в силу нашего условия на С (1(г) /) 0 и Ц(г)+д(г) ) ) (1(г) / — /д(г) /) О. Следовательно, функции 1(г) и 1" (г)+д(г) не обрашаются на С в нуль н к ним применйм принцип аргумента. Из соотношения агя(((г)+йг(23=агя((г)+агд~1+ 1 ) ~ получаем: Лс агй (( (г) + я (г)) = Лс агя) (г) + Лс агя ~ 1 + +у Но так как при движении точки г по контуру С точка ге = 1 + —.г я (г) 1(г) все время остается внутри круга ( и — 1 (( 1 (это следует из того, что ~ — ~ ( 1 на С), то точка ш не может обойти начала у (г) ( (г) координат и, значит, Лс агй~ 1 + )=О. Таким образом, я (г) 1 1() )' Лс агя ()' (г) + я (г)) = Лс агК ) (г), (3) и остается воспользоваться формулой (1). Приведем несколько примеров применения этой теоремы.
1) Докажем так называемую основную теорему алгебры: урпанские ссг + с|г + .. + се †+ ск = О (сс ~ О) (4) инеет в комплексной плоскости и (кокечкем) корней Для доказательства примеч 1(г) = сег", у(г) = с1г"-'+... + с„и выберем )! столь большим, чтобы на онружности (г( = Й было ()(г) ( ) (у(г) ( — это можно сделать, ибо (1(г) ( = (сз()(ч, (у(г) ( ( !с~((!ч '+... + (с (, а )с" растет быстрее, чем любой иногочлен степени (и — 1). Тогда по теореме Руше число корней уравнения в круге (г( ( 11 равно числу нулей г", т. е. и.
С другои стороны, так как сзг" +... +с„-е со при г-е ос, то, еще увеличивая в случае надобности )1, мы можем считать, что вне нруга уравнение не имеет корней. 2) Для определения числа корней уравнения гз — бгз — 2г+ ! .= О в единичком круге положим Пг) = — 5г'+ 1 и у(г) = г' — 2г. Так как при (г( = 1 имеем (((г) ! ) (5гз( — 1 = 4, а (я(г) ( ( (г(з + 2(г( = 3, то наше уравнение в единичном круге имеет столько же корней, сколько 5гз = 1, т.
е. тять. 3) Докажем, что уравнение г+е е=Л, (5) где Л ) 1, имеет в правой полуплоскости единственный (действительный) корень. Для этого рассмотрим контур, составленный из отрезка ( — И, 1)1) и правой полуокружности (г! = )с, 5~ положим 1(г) = г — Л, д(г) = е-ч На отрезке, где г = гу, имеем (!(г)1=!Л вЂ” 1у(>Л ) 1, а (е(г)1=(е-'т(=!. На полуокружности: (г! = )с, Ке г = х ) О, при достаточно большом )1()( ) Л+ 1) имеем: (!(г) ! - (г( — Л=)5 — Л ) 1; (д(г) 1= е" ( 1. Сле- 466 гл.
ч. ппиложшпи теопии ью!кшпч к анализа !та доаательно, применима теорема Руше, н апутрн любого контура описанного инда уравнение (5) имеет столько же корней, что и ураанение л — ). = О, т. е. одни и тольно один корень. А значит, и но всей праной полуплоскости дашюе уранаение имеет единственный кореаь. Этот корень дейстзчтелен, ибо при х = О леная часть ураанения равна 1 ( )ь а прн х = х -ь оо она неограниченно аозрастаег; следоаатсльно, найдется таиое х = х, прп котором левая часть равна Х. Для прикладных вопросов особе>ио важна так называемая проблема Рауса — Гурвица ь); Найти условия, при которых лули многочлена или дробно- рациональной' функции (а в более общей постановке — целой или мероморфной функции) все лежат в левой полуплоскости. Значение этой проблемы определяется тем, что она связана с проблемой устойчивости колебаний в механических и электрических системах.
Чтобы пояснить эту связь, напомним, что простейшие задачи теории колебаний приводятся к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами: и ь Х н ь ! О[к[=а, „+а, „, + ... + а„х=О. (6) Общее решение такого уравнения, как известно, имеет внд: х =С,еду+ С,еп" + ... +С„еп"', где р!, ргь ..., р„— корни характеристического многочлена А(р) =а,р" + а,р"-'+ .. +а„, а Сь Са, ..., ф— произвольные постоянные**).
Каждому комплексному корню ра = за+ !оь многочлена соответствует колебание е'ь'=етд (созоз(+(з(поь() с частотой оы При зь(0 это колебание затухающее, при за = Π— гармоническое и при за ) О оно имеет неограниченно возрастающую амплитуду. Таким образом, если мы хотим ограничиться колебательными контурами, не допускающими собственных колебаний с неограниченно возрастающей амплитудой, мы должны потребовать, чтобы все корни многочлена А(р) лежали в левой полуплоскости пли на мнимой оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
