М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 96
Текст из файла (страница 96)
21 г! ' 2( г! Нз прямой ннтегрироаания йе р, = а, имеем г соз ф = ан следовательно, параметрическими уравнениями кривой й будут: н где — — С ф( —. Из этих уравнений видно, что й лежит в полосе мегкду 2 2' з = и' = — (а~ — — ! и з = о = —, а, и имеет вертикальную асимптоту 2(, а! 2 н з = о" при ф -ь -ь —. Второе уравнение показывает, что при гр, изменяющемся 2' от — — до — и изменяется от — оо до оо, причем при 2 2' достаточно больших а, (что можно предполагать без ограничения общности) — монотояно.
Таким образом, кривая Е имеет вид, изображенный на рис. !82. 11 1) После нашей подстановка и = — (р р~ = я+ Урз+ 1, соотношение (5) перейдет в У„(1) = —, егл л (6) — )л (мы пишем опять 1 вместо т). Так как подыптегральная функция здесь вмеет особенности лишь в точках Ш1 (точки ветвления) и кривая й имеет вид, указанный на рис 182, то мы можем, не меняя величины интеграла, заыевить й прямой Ве и = и" ) О.
Вспоминая формулу обращения, мы получаем изображение цилиндрической функции 1 (!/ р' + 1 — р)" )г г 1 ! ( 1 )7 з + 1)" )Г рз Р 1 (7) В частности, для цжзвндрш!есной функции нулевого порядка имеем: 1 те (В 1/де+ 1 (8) Для одного важного класса изображений г (р) легко получить разложение оригиналов в ряд, члены которого соответствуют особым точкам изображений. Именно, имеет место Х11!. Вторая теорема разложения. Пусть функция Г(р); 1)мероморфна и правильна в некоторой полуплоскости гсе р ) зо) 2) существует система окружностей С„: ) р)= Я„, )(! ()(з ~...ч )(„— оо, на которой г(р) стремится к нулю равномерно относительно агбар; 3) для любого а ) ье абсолютно а+(а сходится ~ г (р) с!р. Тогда оригиналом ("'(р) служит (умно- а-( а женная на т)(!)) функция )(!) = ~~'., гезр(р) еа', (9) (Ра) РА где сумма вычетов берется по всем особым точкам р(, функции Е(р) в порядке неубывания их модулей.
В самом деле, в наших условиях применима теорема 4 р. 79 а), согЛасно которой Е(р) является изображением функции а+~ 1(!) = — ~ еа(г (р) йр. а-( (10) Обозначим через С,' часть окружности С„, расположенную слева от прямой Гсер = а, через а ~ (܄— точки пересечения С„ с этой прямой и через Ä— замкнутый контур, составленный нз отрезка (а — (Ь„, а+ !Ь„) и С'„и проходимый против часовой стрелки. Так как по .немые Жордана при ! (0 1цп )Г еа(Р (р) др = О, с„ то при г = 0 вместо (10) можно написать 2 га (11) Применяя теорему Коши о вычетах, мы получаел(, что ) (г) = 1!т,а( геа г'(р) еа', а-Ь (Г„) Ра где сумма берется по всем особым точкам функции Е(р), лежащим внутри Г„, а это и есть нужный результат.
С л е дс т в и е. Если функция Р (р) = ! дробно-рацио- А (Р) в (р) нальна, причем степень многочлена А(р) в числителе меньше степени многочлена В(р), то оригиналом ее служит (ул(ноженная на т)(!)) функция аа-1 '((!) = )~~ )1 !)гп „, (Р(р)(р — ра)"'еа). (12) ( а )1 Р "РРА ((р а ') То, что у нас Г"!р) — О прп р; са лишь по некоторой системе окружностей не ваосит в доказательство этой теоремы существенных изменений. 5!8 Гл и(. ОпеРАциОнный метод и еГО пРиложения (аз 5 1. ОС1ЮВНЬ!Е ПОНЯТНЯ И МЕТОДЫ м! 5)9 где р» — полюсь! Е(р), а и» вЂ” их кратности и суяма берется по всем полюсам. В самом деле, то, что г"(р) служит изображением, следует немедленно из свойства линейности преобразования Лапласа и формул (11) п.
80 на основании теоремы о разложении дробнорацнональной функции на простейшие дроби (см. п, 71). Справедливость формулы (11) следует из леммы Жордана, которая применима, ибо Р(р)- О при р- Оо. Поэтому справедлива и формула (9), в которой ряд заменен конечной суммой. Остается воспользоваться формулой для вычисления вычетов в полюсах нз и. 23, и мы получим искомую формулу (12). В частности, если все полюсы т(р) простые, то фор,яула (12) упрощается: — е» ,! (Р) А (Р») р в (Р1 в'(Р») (13) (мы воспользовались формулой для вычисления вычетов в простых полюсах; множитель т)(() в правой части мы опускаем сотласно принятому условию). В приложениях (главным образом электротехнических) важна разновидность этой формулы, которая относится к случаю, когда изображение имеет вид Р(р) =-, где степень А(р) А (р) РВ (Р) не превосходит степени В(р) и В(р) имеет простые корни, отличные от нуля.
В этом случае вместо (13), очевидно, получаем: А (Р) А (О) ~! А (Р») р»1 Рв(Р) . в(о) ~1 Р,в'(Р,) где сумма берется по всем корням В(р). 3 а меч ание 1. Если многочлен В(р) имеет действительные коэффициенты, то каждому его комплексному корню р отвечает комплексно сопряженный корень р. В самом деле, В (р) = а,(р)" + а,(р)" + ...
+ а, = а,р" + а,р"-' + ... + а„ = = В(р) = О. А (Р) — А (Р) ей! = е»1 в (Р) в (1) А (Р) н, следовательно, сумма выражений, Р - е»1, подсчитанных для в' ОВ А (и») корней р=р» и р= рю будет равна 2)(е, е» . Таким обв'(р,) Если, кроме того, и многочлен А(р) имеет действительные коэффициенты, то 520 гл е! ОпеРАнионныя метод и его пРнложення гм разом, если,нногочлгны А (р) и В (р) имеют дгйствиге.гьныг коэффициенты, то формулу (!3) можно представить в виде ~~И ма'~ Л(рь) Рг ~т Л(РА) (РА) мы (РА) (15) гдг первая сумма распространена на всг действительные корни В(р), а вторил — на все комплгксныг корни с полоэеитг,гьными ЛгииМЫЛги ггагтЯЛги.
3 а меча н и е 2. Каждый член формулы (13), соответствующий корню рь = эь+)оы можно представлять как запцсагшое в комплексной форме колебание в'А (сов вь)+ 1' з)п вь)). л (Р„) в' (Р,) Отсюда ясно, что действительным корням (оь = О) соответствуют апериодические колебания, комплексным корням с огрицательньы|и действительными частями эь — затухающие колебания, чисто мнимым корням (эь = О) — гармонические колебания.
Положительные действительные корни или комплексные корни с положительнымн действительными частями вообще не могут иметь места, если рассматриваемая система не допускает колебаний с неограниченно возрастающей амплитудой. Для таких систем легко написать колебание, соотвстсгвугои1ее усгановивьиглгуся режиму, !())=2)ге ~т, ." г"А', лл в'(гоь) 116) ") В (16) будет епге входитьпостопнпое слагаемое, 6, есле В!6) — -о гдг сулыга распространена на всг чисто мнимые корни рь =гол с положительными мнимьгми частями").
В самом деле, в нашем предположении действительные части всех корней неположительны, эь ( О, а амплитуды колебаний, соответствующих отрицательным эы стремятся к нулю по показательному закону и не входят в установившийся режим. Примеры применения теоремы разложения мы приведем в следующих пунктах. 83. Примеры. Дополнения. В этом пункте мы приводим ряд соотношений и теорем, полезных при работе операционным методом. а 1. Оси они ыг понятия ! г мято чы 521 !) Предельные соотношения. Если 7(г) является оригиналолг вместе со своей производной )'(!) я) и Г(р) =,' )(1), то Иш рР (р) — ) (О), р -ь где р-ь оо внутри угла)агд р)< —, — Ь и 1'(0) = 1пп )(1); если, г-а+о кроме того, существует Ит 1(Г)=1(оо), то !пп рР(р) = 1(оо), (2) р-ко где р- 0 внутри того же угла. В самом деле, соотношение (1) следует непосредственно из того, что рр(р) 1(0) является изображением 7'(1) и, значит, по замечанию и.
79 стремится к нулю при р- со, 1агпр1< —, — 6. 2 Для доказательства соотношения (2), заметим, что из существования 1ппг(1) следует ограниченность функции 1(г), Пог-ь этому можно принять з, = 0 и Р(р) определена в полуплоскости Кер ) О. По формуле преобразования Лапласа для любого р, Ке р О, получаем: ( Г (1) с-и' с(г = р Г (р) — 1 (О). е Так как при р = 0 интеграл в левой части существует, а в угле !ага р 1 < — — б он сходится равномерно по р, то в по- 2 следнем соотношении можно перейти к пределу при р-+ 0 в этом угле, и в пределе мы будем нметгп (1'(г) с(г = Игп рр(р) — ((0), о р-ге что равносильно (2). Соотношения (1) и (2) полезны для провсрки вычислений с помощью операционного метода, Например, из (22) п.
80 при й > 0 получаем: 1пп е-"'з!и ш! =1пп 1, а =0; из (16); з10 =1пп агсс1д р= (р+ Л)'+ ш' г-ь ~ и-ко = 0; из (18): 7(0) = Игл — (1+с(11 — ""') = А и т, д, *) Это ограничение вводится лишь для простоты доказательства, однако опо не является обреъгенительныы и на практике обычно выполняется. 522 ГЛ, ХЬ ОПЕРАИИОНПЫЛ МЕТОД И ЕГО ПРИЛожЕНИЯ 1Я 2) Изображения дробных степеней. По определению гамма-функции Эйлера для любого а ) — 1 имеем: Г (а+ 1) ~ рае — г!г(! (см. пример 8 п. 74).
Пусть р = геен — произвольное комплексное число нз правой полуплоскости ( — и С а С вЂ” 1, Введем в по- 2 2/' следнем интеграле вместо 1 комплексную переменную интегрирования д = †, получим: Р' Г (а + 1) = р'Р ' )Г д'е Рч г(д, где интеграл берется вдоль луча С: агяа = — а. На дуге Сги (д( = )!г, — а ( агп д ( О, положим д = тге!!г, тогда будем имст!и о ! ~ !)це-Ра г)!) ~()(Р ~ е- Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
