М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 101
Текст из файла (страница 101)
В гл. АУ(1 мы увидим, что все решении уравнения (25), правнльныв в точке 1= О, пропорциональны решению (26). Решения этого уравнения, линейно независимые с (26), имеют особенность прн 1 = О. где го =1(О) — начальный ток. Если считать зо — — до = О, что соответствует задачам включения, то вместо уравнений (2) будем иметь: С ббо ГЛ.
и!. ОИЕРАИИОИНЫГ! МЕТОД И ЕГО ИРИЛОЖЕНИЯ 1вв где сумма берется по всем элементам, образующим этот контур, и (1 означает сумму операторных э. д. с,, приложенных к нему. Первый закон Кирхгофа дает для любои точки разветвления Х 1.=0, (12 у где сумма берется по всем элементам, ведущим в эту точку. Система уравнений (11) и (12) позволяет определить оператор- ные токи во всех элементах цепи. Отметим еще роль интеграла Дюамеля при решении задач включения. Рассматривая для простоты случай одного контура, получим для включения этого контура соответственно на э, д. с.. и(1) и единичную э.
д. с. следующие операторные уравнения: 1=А(l, 1,=А — ', Р' 1 где А = —.— операторная проводимость («адмитанц») контура г Поэтому 1= р1!(1 и по формуле Дюамеля ! с !' (1) = ) и (т) т! (1 — т) дт = т! (1) и (О) + ) т! (т) и' (1 — г) т(т, (13) где !!(1) — оригинал функции 1,(р) — ток в контуре прн включении его на единичную э. д. с.
(«временная проводимость»). Таким образом, зная ток в контуре при включении его на единичную э, д, с., мы можем по формуле Дюамеля (13) сразу написать значение тока в этом контуре при вк!иочении его на произвольную э. д. с, (ср. формулы (14) н (15) предыдущего пункта). Предельные соотношения (1) и (2) и. 83 позволяют указать простую связь временной проводимости т!(1) для момента включения (1= О) для установившегося режима (1= ) со значениями операторной проводимости А (р) для р = оо и р = О. Именно, из равенства А =1!.р на основании этих соотношений получаем: т,(0) = 1ип 1,р = А (оо), т,(оо) = Ит 1,р = А (О).
(14) Р "+ п-о Соотношения (14) удобно использовать для проверки вычислений. Приведем несколько примеров применения операционного метода к расчету контуров и ценен; 1) Включение постоянной а. д. с. Уч в контур рис. 186 в последовательно соединенные самовидукпия и емкость, нтунтироваиная сопротивлением.
4 2. ПРИЛОН(ЕНИЯ 551 Операторное сопротлвление ааходим по формулам (4), (5) и (б): СС»(р + Ер+»7 »7 'Операторная э. д, с. (» = —, следовательно, по формуле (3) операторный ие 1 .ток (Уз (»7ср + 1) ) р( К '+б +)!) ' Временной ток находим по второй теореме разложения. Функция 7(р) имеет полюсы первого порядка в точках р = 0 и / — + 2»7С г 4»7»с» !.С Если Е < 4)7»с, то коРин комплексно сопРЯжены, Рь» — — — о ж»оз, где Рпс.
18б. Рпс. 187. чг = — ы = 1» — — — и процесс имеет колебательиый характер, =2)(С' У ЕС 4»7»С ' По формуле (!5) п. 82 находам тогда » (») = — ! 1 — е [соз ы»+1 — — — ) з!п ы»1 ~, (»з 1 — и» 1 (п»7) (,ы ыь,) (15) Если же б > 4»7'С, то а будет чисто мнимым и, початая в (15) в = »л, где А — действительно, найдем: » (») = †' ~ 1 — е о» [с)» )»» + [ — — — ) зй )с»~ ~.
(18) Процесс имеет аперподнческий характер. 2) Найдем ток »',(»), текуп»ий через емкость С в контуре рис. 187, вклю- 1 ченвом па постоянную э. д. с. Уз. Пусть 2»=»7»+ — и 2»=»7»+»р— Ср импеданцы ветвей контура, по которым текут токи», (») н», (») (см. рис. 187) и 2»2» г= г+ 552 ГЛ. у!. ОпЕРАцИОННЫЙ метОд т! еГО приЛОЖения (йа — импеданц всего контура. Имеем 1= — ° !'!+ йм У!Х! /22„следова0о ,ОХ 1зХ! тельно, 1, =! — —, откуда Хз ' 21 иг 1'= г,+г, р(г,+г,)г' Подставляя найденные значения Хз н (Х!+ Хе) Х, получаем: р = ар'+ 2(!р+ у ' где а = Я+ й!) Ь, 2() = (те!+ )(~) й+ й!Вз+ С, у, .
ВременЕ )с!+Лз ной ток находится по формуле (13) п. 82: 2 из Яз+ ЕЛЕ а з(!)- —,7, е 2 Ь ада+8 ь=! где р — корни квадратного трехчлена в знаменателе выражения длн 1 (р). ь ! 3) Включение тсьС-контура ва сннусоидальную э. д. с. Узз(пе!. Здесь и,е Х = йр + и' + —, (! =, следовательно, операторный ток равеа Ср ~ рт+ сез (18) (з!ез)(йз(ор() По теореме разложевия (15) п. 82 еа р,елд !з (!) = Узе Ке 2 е — [ез+ и!е+ 1 (ро+ е )(25ро+ й) С / 1 оз где Ре = — — + ! )/ — — — = — ое + гео — корень квадратного трех- 25 У ЕС 4Е члена в знаменателе выражения (18) (мы считаем, что выест место колебательный случай, т. е.
что е, — действительное число). Вводя принятые 1, ! в электротехнике постоявные: Х = Ее — —, Х'= Вы+ — (реактнвные Се' Се сопротявлення), Х" = Р )ст + Х' (полное сопротивление), после простых преобразований найдем: !о (!) = — з!п (е! — 6) — е ' з(п (ео! — бо) (13) ('о Уо -о,! Х" еег* ~'ЕС где !85= —, 1йбе= —, ° Х е,Х й' оеХ'' 4) Пусть э. д.
с., действуюшая на А(ЕС-контур, на отрезке времеви 0 < 1 < —, равна (Уз Мп ет, а затем снова равна нулю. Найдем ток в кои- й 2. ПРИЛОЖЕН!!Я 553 туре прн 1 ) —. Действующая э. д. с. и(1) = Уо~ т) (1) в!па! — т)(1 — — ) вше!~ = Уо ~ о) (1) Ып аР + т) (1 — — ) в1п а (1 — — ) ~, где Ч(1) — единичная функция; мы преобразовали второй член так, чтобы воспользоваться теоремой запаздывания. По этой теореме У,е (, — — ) рв+аз Операторный ток равен -Р—.') ! (Р) =1о(р) (!+в /, где Ро(р) определяется формулой (18).
По той же теореме запаздывания 1(р), ' =Ро(1 ") (1 "); 1 Ео Ср ' г,=)(+Ср, Уо 1,2,=-/ог,=-— Р Рис. 188. (иаправления токов указаны стрелкамн на рио 188). Отсюда 1, =— У, 1в = УоС, следовательно, Уо Р', (1) = — — о (1 — е ), Рв (1) = УоСЬ (1), где Ь (1) — импульсная функция (см. п. 83). Таким образом, к моменту 1 = т я Уо —,-Й 1о Р', (г) — — '(1 — е /, Ее= УоС ~ Ь(1) йР=УоС (21) Рс о складывая правую часть этого соотношения с (19) п замечая, что при 1)— е имеем о)(1 — — ) о)(1)=1, находим искомый ток ящ Р (О = — е ' в)п (еоР— Ьа) + е в!п аоР— Ьо — и — .
(2О) 5) В контур рис. 188 включена на время т постоянная а. д. ц Уо н в момент 1=0 э. д. с. выключается; найти ток в контуре при Р ) О. Найдем ток на участке с самоиндукцней и заряд па конденсаторе в момент времеви 1 = О. Для этого предварительно решим задачу включения контура на э. д. с. Уо. Пусть 1 и 2 будут участки контура, содержащие соответственно Рс, 5 и С; имеем 554 гл, уи оин лииоииыи мптод и пго пгиложпиия (аз (см. свойство интеграла от импульсной функции — формула (22) п.
83). Теперь решаем задачу выключения контура КьС с начальными даннымн (21), По формуле (7) имееги ( 31 )(+ЕР ! — 1=й(с ' — ' - о(! с с 1 о Отсюда при обозначениях примера 3) и действительном в, получаем: А'т! ь(1) — — е ' Мп ма( — — е ' (васоева! — поз!пвс1) (1 — е 1. (22) (го -ср ()с — И вс( )тве 6) два олинаковых )тьС-контура связаны взаимной иядукпией М (рпс. 189). К одному из пих, начвиая с момента 1=0, 'ь р приложена постоянная з.
д. с. Ус, найдем ток в др гом. истема операторных уравнений будет йр+)(+ — )1, + МР1. = —, ( и, Ср) ' р ' ( (.р+ )(+ ) 1, + МР1, = О, 1 Ср Рис. 189. откуда находим операторный ток во втором контуре: М Р (11т +)ср+ — ) Полюсы 1, (Р) сУть Р,, = — и, ж Пеь Р,, = — и, ж йа„гДе )7 и, з 2(1 ~ М), в1 т — — С (б ж И) — п1 и Оригинал находим по второй теореме разложения п. 82; после простых преобразований получаем: / 1-с,+гв)г 1-а,+изб с (1. + М) гв (й — М) )вз 1 (/с ) е ' Мпв1 е с" з(пвт1 ) 2 ! в (5+М) в,(Š— М) )' 7) Рассмотрим так называемый фильтр, т. е. цепь, состоящую из некоторого количества последовательно соединенных ионтуров (секций, рис 190), Мы предполагаем, что э.
д. с. приложена к первой секции через импеданп 1 1 — Е' и что последняя секция замкнута на тот же импеданц — Л'. Применив 2 2 последовательно к замкнутым контурам закон Кирхгофа, найдем: 1 —, г'1з + 2 (1, — 1,) — и, 2 г (1с — 1,) -1,2 - г (1, — 1,) -О, (241 л (1~-~ — 1и) + — 2'1„= О. 1 2 4 т. пРилОжения 555 Постоянные А и В определяются «граничными условиями», т.
е. первым н последним из уравнений (24). Найди этн постоя.ные, мы й г !! представим выражение (26) в !«! г ! вндс Е! Ж (л — й) 2 ьЬуьйлу г В качестве примера рассмотрим драго«льный фильтр, для которого Е' =- В+ Ер, 1 2 = —, аключеоны рс* Рис. 190. й на постоянную э. д, с, Егс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
