М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 37
Текст из файла (страница 37)
а=! 6) Отображение внешности «звезды». П заключение, следуя Л. К. Л а х тип у, мы найдем обшую формулу для отображения внешности яру~а )з) ) ! на внешность «звезды», образованной и прямолинейными отрезками Е«, выходящими из начала координат (рнс. 82). се.!т хг Угол между Ез и Е«+! мы обозначим через ц«ц, точки окружности, соответствуюшие вершине этого угла и концу Еа — через а«и Ь» 1 соответственно (й= 1, 2, ..., а; Е +г= ' х«а = е!). Рассмотрим сначала отображение верхней полуплоскости Е аа заданную область.
Пусть а' н Ь„ будут точки действительной осн пло- ~« скости Ь, соответствуюшие вершинам углов Рис. 82. Е«Е««и концам отрезков Е«, и ае — точка верхней полуплоскости, соответствующая ш = со. Отображаюшая функция / ш = 1(ь), очевидво, в окрестности точек ь = аа должна иметь вид 1(~) = (й - аа)" фл (~), фа (аа) Ф О, а в окрестности Е = Ьа! г I'(й)=са+(4 — ьа) фа(4)* саФО, фа(ьл)чьО, где !р«(Ц и ф«(Е) — правильные в упомянутых окрестностях функции. Наконец, в точках а и а она должна иметь полюсы первого порядка и лолжна ГД. 11. КОНФОРМНЫЕ ОТОВРАЖГхННЯ '182 быть правильной в остальных точках плоскости ь. Отсюда, как и выше, заключаем, что логарифмическая производная отображающей функции должна иметь полюсы первого порядка с вычетами их в точках ь =аа, полюсы первого порядка с вычетами — 1 в точках ь = а и ь = а н быть правильной l в точках ь = Ьа и в остальных точнах плоскости ь. Таким образом, !' (Ь) Чих а, )(ь) ь — аь ь — а ь — а и, следовательно, после интегрирования и потенцпрования получаем: а И(ь — а„) а ) (ь) = С' (ь — а) (ь — а) где С' — некоторая постоянная.
ь — а Совершая дополннтельное отображение а = верхней полуплоскости ~ — а на внешность единичного круга (а) ) 1, получим искомое отображение в виде в=С вЂ” Ц(а — аа) а, а йй, Ь=г (10) а в = С! ~ Ц (а — аь) ь (а — Ь ) †. а -1 Совместное рассмотрение формул (10) п (!1) позволяет избежать утомительного интегрирования. В качестве прамера рассмотрим частный случай л = 2, когда многоугольник представляет собой ваешность двух отрезков, пересека1ощихся в начале координат под углом аг = а. Имеем ах — — 2 — а и формулы (!0) и (11) принимают соответственно вид: в = — (г — а,) (а — ат) С а х-а а (12) ! а — а1!а г(а в= С, ) ! — ) (г — Ь!) (а — Ьх) —. ',) !хг — ах) х аа — а „а — а, "ь=аа:1 а а ъч и, кроме того, Ь-1 ( а аь — постоянные), ь — а = ") Имеем ь = а — 1 (а — а) а — а —, ь — а= а — 1 а — 1 где С и ах ()ах( = 1) — некоторые постоянные *).
Наряду с форчулой Лахтииа (10) удобно использовать обычну1о формулу для отображения внешности нруга на внешность многоугольника, которая для нашего случая имеет внд зз) й з. пяпнцпп симметрии 183 Приравнивая производпые, после простых преобразований будем иметь: С, — (» — Ь,) (» — Ьг) = »г — (а — 1) (аг — а,)» — а,а„ С откуда для определения постоянных Ьг и Ь, получаем ураваеипе »г — (а — 1) (аг — а,)» — а,а, = О. Можно припять, например, Ь, = 1; тогда (и — 1) (а,— а,) =. 1 — а,аг и Ь, = — а,аг. Формула (12) содержит четыре действительных параметра (С = С, + гС„а, = епг', а, = егег); подбирая их, гюжио добиться соответствия точек Ьг, Ьг и концов отрезков ь', и ьг. В следующем пункте мы приведем ряд примеров применения формулы Шварца — Кристоффеля к отображениям многоугольников.
39. Примеры. !) Отображение аерхией полуплоскости )т» ) О и а яр я м о у г о л ь и и к А,АгАгА, (рпс. 83). Рассмотрвм сначала очображеиие первого квадраата плоскости» иа правую половику ОА,А,В данного прямоугольника с соответствием точек О ч-ьп, А, ч — ь 1, В ь ь Прообраз точки Лг обозна шм 1)Ь, где О ( Ь ( 1. Искомое отображение можно рассматривать как продолжение этого отображения по приишшу симметрии через положительную по.туеса !С, слеловательио, можно считать, что Аг~ 1(Ь.
Такич образом, искотгое отображеппе запишется в виде » в=С'~ . + о ~; (» — 1) (» — — г) 7 с(» +С, =С ) (!-») (1 — й'»') о Р .8З. (ггостоянпая Сг = О в силу соответствия точек О ч-ь О). Для определения постоянных С п Ь воспользуемся соответствием точек А,ч-ь 1: ! г(С К=С (! Сг) (! Ьгтг) о а также точек Ага-ь 1/Ь: ! см !!а К+!К'=С ~ + С ~ =К+ !С ~ о ! (мы разбили интеграл от О до 1/Ь па два — от О до 1 и от 1 до 1/Ь п воспользовались равенством (1)).
Отсюла ! са К'= С У (М вЂ” 1) (1 — Ьг(г) ! !зз Гл. н. конФОРмные ОТОБРАження Мы будем считать постоянную й (О ( й !) заданной, а размеры прямоугольника К и К' выбранными так, что постоянвая С в формулах (!) и (2) равна ): 11З й1 К= Рг(! — 1) (! — ! Н') К'= . (3) ьг(1» )) (! 1,»11) 1 Тогда отображение полуплоскости на наш прямоугольник будет осуществлять- ся функцией йг э (4) Интеграл (4) не выражается в элементарных функциях, он принадлежит к числу так казываемых эллиптических интегралов, а функция, обращающая его (т. е.
реализующая отображение прялщугольника на полуплоскость), — к числу зллиягических функций Якоби. Она имеет специальное обозначение г=*пш=зп(мп й) *) Мы изменяем обозначения переменных. (читается «зс эн ш» или «эс эн гэ, й») и название эллиптический синус. Подробнее мы ознакомимся с пей в последней главе (см. п (02); там же «1ы рассмотрим решение задачи об отображения на полуплоскость произвольного прямоугольника (а не с фиксировзн- яЯ о ными размерамн, как здесь), Здесь мы лишь отметим интересо 'Ю о ное свойство функции зп г *): она ))( «)г оказывается мероморфной функцией, (1) „)) (й!' обладаюшеа днумя периодами, отно- 1' шение которых чисто мнимое.
2!г Для доиазательства этого утверо 1'2 12) П (У ждення мы обозначим нзш прямоугольник цифрой [1), а его стороны — цнфрамп 1, П, !11, !!', кан ука',г, Г вано на рис. 84. Функцию ш = зп г, псрвоначально определенную в пря- Р с. 84. нс. моугольнике (!), по прянципу симметрии мы продолжаем, например, через сторону 1 в прямоугольник (2). Это продол1кение реализует отображение (2) на нижнюю полу1лоскость. Продолжая далее зто отображение через сторону 11' прямоугольника (2), получим, гпо ш = зп г реализует отображение прямоугольника (3) снова па нерхпюю чолуплоскость и т. д. (прямоугольники, заштрихованные на рнс.
84, отобрзжаются на верхнюю полуплоскость, а незаштрихованные — на нижнюю). Таким образом, мы продолжим функцию ш = зп г на всю плоскость г. Прн этом фуккцня окажется однозначнов, нбо есле прн обходе какого. либо замкнутого контура мы вновь попадем, например, в прямоугольник (1), то новые значения ьп г будут совпадать со старыми (они отображают (!) на полуплоскость с той же нормировной, что и раньше), Далее, эта функция правильна внутри прямоугольников п на нх границах всюду, кроме точки 1К' и всех точек, соответствующих ей при продолжениях (они отмечены иа рис.
83 крестиком), где опа имеет полюсы, ибо эти точки при конформном отображении переходят в ш = ао, Итак, зп г является мероморфной функцией. зи 4 з. принцип симмнтпии 18$ Далее, на рнс. 84 черным нружком отмечена произвольная точка з прямоугольника (!) и все точки, которые получаются нз нее четным числом продолжений '). Во всех этих точках, имеющих вид г+ 4пК+ 2п'К'й где п, и' = О, ~1, ~2, ..., функции зп принимает одинаковые аначепия: зп (а + 4пК + 2п'КП) = зп з. (б) Это свойство и означает, что зп з имеет два периода т = 4К н т' = 2К'й Из рассмотрения продолжений зп з следует также, что эта функция нвляется нечетной зп ( — 2) = — зп 3. (7) 2) Полоса с горизонтальным вырезал! (рпс 85) представляет собой четырехугольник, три вершины Аь Аз и Аз которого находятся в бесконечности ц углы он = и, = аз = О.
Будем считать аз = О, а~ = 1 и аз = оа,, а также причем зе = О (тогда иэ соответствия точек а~ и Аз сразу находим С1=0). Точке Аэ, следовательно, соответствует некоторая точка аз = — а отрицательной полуоси. Интеграл Шварца — Кристоффеля принимает вид: и з дз (з — 1)( +а) о = С'~ )п (1 — я) + а1п (1+ — 1 ~ (8) а) (множитель, соответствующий точке Аь Рпс.
85. исчезает; см. 1) предыдущего пункта) . Длн определения постоянных С' и а мы воспольауемся следующим соображением: когда точка з обхолит точку а, = 1 по полуокружности с, достаточно малого радиуса г (т. е, ногда вектор 1 — з = гею поворачивается, изменяя свой аргумент от О до — л), то соответствующая точка ш должна перейти с луча А„А, на А1Аэ и приращение щ должно мало отличаться от — ьйи Лщ = — !Л, + 0 (г), где 0(г) — беснонечно малая при г -ь О. Это соображение оправдывается тем, что образ полуокружности с, при малых г мало отличается от отрезка праной, соединяющего лучи А,А1 и А,А, и перпендннулярного к пнм. С другой стороны, при таком малом приращении Лг приращение второго слагаемого из фпгурвой скобки формулы (8) также будет малым, ибо это слагаемое непрерывно в точке з = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
