М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Приращение же первого слагаемого 1и(1 — з) = 1п г+ пр равно — !и, следовательно, Лщ = — С'!и+ 0 (г). Приравнивая выражения, полученные для Лщ, и переходя к пределу при г-ь О, находим: С' = А,(л. Аналогично, когда точка з обходит точку аз = — а па онружности з+ а=ге пз (~р меняется от и до О), приращение Лщ = — С'а!я+ 0(г) должно мало отличаться от — (Лз, отаода а = Лз/Ьп ") Белыми кружками отмечены точки, в которых паша функция при- нимает значения зп з. 186 гл. м. кОнФОРмгтые ОтОБЕАжеггия 139 Окончательно, функция, реализующая конфоряное отображение полуплосиости !гп г ~ О на полосу с вырезом (рнс.
85), имеет вид й! й! гв — )п (! — з) + — )п (! + — з). (О) и и Совершая дополнительное отображение нашей полосы с вырезом яа верхшою полуплоскость 1ш ы В. О с выброшенным наклонным отрезком длины ! (рис. 86): Н ы=е где П = й, + йв и используя 4!ормулу (9), мы находим отображение полу- плоскости !и! а ) О на зту область; И й, й ( й! — 1п э — й!! = — )п (! — ) + — 1п (1+ — ' г) и а й (мы обозначим са снова через ш).
После простых преобразований получим: =( — Пн' (1+ — ~' . А,нГ й! !г, ) й! Выброшенный отрезок составляет с полон<птелы<ой осью угол и —, которьш Н ' мы обозначим через ап (рис. 86); вводя параметр а, получим окончательно Рис. 87. Рис. 86. отображение веркней полуплоскостн 1ш г ) О на верхнюю полуплоскость 1ш ш ) О с выброшенным отрезком (О, агап): а т! — а 1)а (1 (10) а — ! ) Иа рис. 86 указаны ланки, соответствую!цпе прк зтом отображении прям !м )ш = соньц Прн а = 1,72 получаем старый результат (см, и. ЗЗ, припер 2).
3) й)погоугольннк на рис. 87 представляет собой четырехугольник с двумя вершинами в бескон ечност и. Имея в виду применение принципа симметрии, мы ограничимся рассмотрением верхней его половины — треугольника Л,Л,Лз с углами а! —— О, а! = — а, аз — — ! + а (~ аь = 1). Пазначнм точки оси х, соответствующие иершннам, так: о, = О, аз = сю, пз = — 1; угитывая соответствие точек аз и Лз, имеем: в=С ~ г(г+!!ь ! 187 5 э пииныип симмптпиг! зз) )хля определения постоянной С мы воспользуемся тем, что прп обходе точкой г полуокружности гы а = гегч (~р меняется от н до 0) ф>нкция, определяемая последним интегралом, получает приращение бю = С Л! — + О (г) = — Сп! + О (г) ( Аз с, (функция (з+1)" на окружности с, мало отличается от 1: (г+!)~=1+0(г)). С другой стороны, при этом обходе соответствующая гочка ю переходит с луча А~Аз на луч Л~Аь следовательно, йю мало отлп жется от — 8!.
Таким образом, С = 6/и, и функция, осуществляющая конформное отображение верхней полуплоскостп на верхнюю половину многоугольника рпс. 87, имеет внд щ= — ) с(а+И. й !" (+П" Заменяя здесь а на е*, полу шч отображение полосы 0 < у ( н па верхи~ею половину многоугольника: (12) Так как согласно вашему выбору соответствующих точек нижнему краю полосы соответствует средняя линия многоугольника, то по прнипипу симметрии та же функция (12) реализует нонформное отображение полосы — и ( у ( и на весь многоугольник.
При рациональных гх интеграл (12) выражается в элементарных функциях (он сводитсн к интегралу от биномиального дифференциала). Прп м = 1 получаем уже известное отображение (см. пркмер 5 п. 30): ю = — (с*+ х+ 1) Я (! 3) При гх = '/т змеем: ю = — 1 'ггег + 1 + 1п ()7е*+ 1 — 1) — —, и 2 !' (14) 4) Найдем конформное отображение п о л о с ы — и ( !т з ( н н а п л оскость с двумя выброшенными лучами (рис. 88, 0<се(1). Опять применим принцип симметрви — верхняя половина области в плоскости н представляет собой треугольник с двумя вершинами в бесконечности и углями а~ =- а — 1, пт = — и, ссз = 2.
Чтобы воспользоваться форлгулой Шварца — Крястоффеля, отобразим полосу 0 ( у ( н на полуплоскость: ь =- е'. Учитывая соответствие точек, указанное на рнс. 88, ны принимаем а~ = О, аз = †, тогда точкз лэ попадает на отрицательную полуось н мы полагаем аз = — а, где а — пока неопределенное положительное число. Формула Шварца — Кристоффеля принимает тогда вид; гьа в=С~ Ьв ~Я+а)А~+С~=С вЂ” + Г )+ Сб (15) ~а а — 1 здесь С вЂ” положительная постоянпан, ябо луч А,А, не поворачивается при отображении и, следовательно, агн С = 0 (см, замечание в конце п.
37), !зз ГЛ. Н. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 188 С! — действительно, ибо подстановка в (15) положительнык значений ь должна привести к действительным ге (см. рис. 88). Чтобы формула (!5) приняла 1 а 1 — а наиболее простой вид, положим — = — —, т. а а —; будем а а — 1' а иметь; (Ьа Ь -1)+С а (16) Соответствие точек ь= — а и ш =!е дает: !аи С (е!опав+ е!оиао-!) ! С !е!ел ! откуда, учитывая, что постоянные С и С, — действительные, получаем значения С,=О и С=, 1а'+ (1 — а)' о.
Подставляя в (16) ь=ег, ао ' (а+1) находим искомое отображение. и, !аа (1 а)1-а (еог е!о-1! г) (1У) На рис. 88 показано также соответствие линий при этом отображении. ! ! 1 ! н! Рнс. 88. 3! 5! Ы н о го у г о л ь н и к на рис. 89 '(О ~(а< — ! представляет собой четы- 2) рех>тельник с двуми вершинами в оо и углами а! = а — 2, а, = 2, аз = — а.
а!=2, Погожим а, =О, п,=1, п, оо; тогда а, попадает на отрицательную ось и мы считаем а, = — Ь. Интеграл Шварца — Кристоффеля имеет вид г ж = С ~ »о '(» — !) (»+ Ь) б» = 1 „+ Ь вЂ” 1 „, Ь,,+ а(1+Ь) — 2 ! ~а а — 1 а — 2 а(а — 1)(а — 2) ~ Ь з. принцип симмнтрии 391 189 (а чь О, а ни 1). зхля определения постоянных С и Ь воспользуемся: 1) тем, что луч АзЛз переходит в положительную полуось, следовательно, агй С = О, т. е С вЂ” положительная постоянная; 2) соответствием точек г = — Ь и ш = л!. Отделяя в (18) после подстановки г Ье , ю = а! действительные н мни.
ш мые части, получим два уравнения: 2 — а(1+ Ь) аЬ а а (а — 1) (а — 2) 2Ь вЂ” а(1+ Ь) ' з!ппа 2Ь вЂ” а(1+Ь) которые и позволяют (хотя бы приближенно) найти нензвестныс постоянные. / / и й Аг/О Рпс. 89. Рис. 90. ! з~ 3 В частности, при а — получаем Ь=3, С 2 32 а, и отображающая функция принимает вид За — ! !тз ш= — УЗг !1 — — ) . !6 ~ г)' (20) При а 1 вместо выражения (!8) получаем: Ь ю = С ~ г + — + (Ь вЂ” 1) 1п г — ! — Ь ~! для определения постоянных имеем уравнения !пЬ=2 —, С Ь+1 а (22) Ь вЂ” 1' тс(Ь вЂ” !) ' 6] Мнвгоугольник на рис. 90 представляет собой пятитг о л ь н и к.
Рассмотрим его правую половину — четырехугольанк с углами а, = ~/т аз = а4 — — О, аз 3/2(~чр~аз 2). Конформное отображение верхней пэлуплоскостн ь на этот четырехугольник, если принять а~ =О, аз 1, аз = л', и, = оо, осуществляет функция о Лля подсчета постоянных а и С рассматриваем приращения ш прн об.
хозе г по полуокрунсностим Ся и с, с центром ь 1 и, соответственно, б сконечно бвльшого и бесконечно малого радиусов, Первому обходу соотьстствует переход с луча Л~А, на луч АзАь следовательно, Аш = П+ 0(!Я); с другой стороны, при больших (Ь) корень под интегралом близок к 1 н, г1! с,ждовательно, Аш = СА 0! -(- О ! — ) — !пС+ О (1/)!); сравнивая — (/() о ГЛ. СС.
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ !зэ 190 аг 1 1 1. (аг Псаг + 1 юг ~ о после чего интеграл легко вычисляется. Подставляя найденные значенчя а и С н интегрируя, получаем: 2с / / ю =~ — 1 !с агс19 — т/ — "" —, + Н аг!й 1/ ь — аг гг !' Вспомогательному разрезу по мнимой осп в плоскости ю соответствует разрез по отрицательной полуоси в плоскости Е, поэтому, по принципу симзсетрии, получепнал функция реализует отображение плоскости ь с вырезанной положительной полуосью на весь заданный злы тиугольник. Полагая ь = з', получим онончательное отображение верхней полуплоскости э на весь пятиугольник: г Ь 2с ! Ьа до ш = — ~Ь асс!а + ас Н)гаг аг о //с '"' Юг Ь + Н агбп 1. (23) г з — а ! 7) Углы многоугольника на //з рнс. 91 суть ас = аз = аз = О, = ссс = 3/2.
Пусть точки, соответствующие вершинам, будут ас = — а, аг = — 1, аг =. = — Ь, ас = О, аз = со, тогда функцил, отображаюшая верхнюю полуплоскость на этот многоуголыспк, имеет вид: г )/з (з+ П (а+а) (7+ Ь) о (24) Иатегрируя по бесконечно большой полуокружностн с центром в начале координат, найдем С( — !я) = — !!сг, откуда С = Лз/и.
Интегрируя по беско- нечно малым полуокружпостяч с центрамн в точках з = — а и з = — Ь, по- лучим *) у а (а — !) — С ( — !и)= — Ьс и — а+Ь Уа (а — 1) Лс )/Ь П вЂ” Ь) Ь, откуда — Последние два уравнения а — Ь Ьз а — Ь Ьз позволлют найти а и Ь; интеграл (24) выражается в элементарных функцилх. !УЬ(1 — Ь) С ( — с с) = Ьг а — Ь *) Нетрудно проследить, что здесь следует брать отрицательное значение корпя. зти выражения, находим С = Нс/и. Второму обходу соответствует переход с луча А,Аг па АзАг, следовательно, бш = сй+ 0(г), а интеграл Швзрца — Кристоффеля дает Лш = С У! — а' (- йс) + О (г); сравнение этих двух выражений приводит к равенству а' = (Н'+ Аг)/Нг.
ь — а' Подстановка ' = —, приводит наш интеграл к впду сзг к и! цнцмп симл!из пмм зм 191 8) В заключение приведем пример отображения к р у г а (з) < 1 на внутревносм много>гольнпка — п я т н к о н е ч п о й з в е з д ы, нзобра».еиной пз рнс. 92. Эта облает~ представляет отбой десятнугольннк, пять углов которого равны а — — 5П и пать (1 =- 1(5. Мы воспользуемся формулой (6) п.
88; пабы найти точка окружности, соотвегству|ошие вершинам звезды, рассмотрплг десятую ее часть — треугольн1иг А~В,О (рис, 92). Этот треутольнпк можно отобраз~ггь на сектор 0 < агпз ( гт(5, (г( < 1 так, чтобы точка А~ перешла в 1, а В~ — в е По прш~нппу симметрии наше отображение про- 5 зл — (а — !! на.=е дошкается на всю звезду, прячем точки Аа переходят (коршг пятой степени из 1), а Вь — в Ьь = ! — '„!2ь — 1! ==а ' (корпи пятой степени пз — 1); ! †-- 1, 2, ..., 5. В силу единственности отображения его можно найти по формуле (6) п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
