М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Литература к главе т'! [Ц А. М, Эфрос и А. М. Да н иле вский, Операцяонное исчисление н контураые интегралы, ДНТВУ, 1937. [2) А. М. Л у рье, Операционное исчисление и его приложения к задачам механики, Гостехиздат, 1950. [3] Х. К а р слоу и Д. Егер, Операционные методы в прикладной математике, Гостехиздат, 1948. [4) М.
И Кон тор о в н ч, Операционное исчисление и нестацнонарные явления в электрнческих цепях, Гостехиздат, 1953. [5] К. А. Кр у г, Переходные процессы в линейных электрических цепях, Гостехиздат, 1948. [6] А. В. Л ы к о в, Теплопроводиость нестационарных процессов, Госэнергоиздат, 1948. [7] С.
И. Е в ! я н о в, Переходные процессы в приечио-усилнтельиых схемах, Гостехиздат, !948. [8] В. В. В у л г а к о в, Колебания, Гостехиздат, 1954. ]9] Е. Т и т ч м а р ш, Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948. [10] И, С и е д до н, Преобразование Фурье, ИЛ, !955. [1Ц В. А.
Днткин и А. П. Прудников, Интегральные преобразования и операционное исчисление, Физматгиз, 1961. [!2] Я. М и к ус инск на, Операторное исчисление, Инонздат, 1956. [13] Г, Де ч, Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, «Наука», !965. [14] И. М. Г ел ь фа н д и Г. Е. Ш ил о в, Обобщенные фуннции и действия пад ними, Гостехиздат, !958. [!5] Л.
Ш в а р ц, Математические методы для физических наук, «Мир», 1965. *) А. О. М а с 1с! е, Соп1оцг 1п]ебга! зо1онопз а! а с1аеа о[ ШПегеп1!а] ейиа!!опз, Л Йа!1опа! Месь. апб Апа1узнч 4, 5 (1955), 733 — 750. Глава П) Специальные функции 9 1. Гамма-функция Эйлера В большом числе формул анализа участвует впервые введенная Л. Эйлером (1729 г.) функция «гамм໠— в предыдущем изложении мы не раз встречались с нею. Значение этой функции видно хотя бы из того, что она является естественным распространением факториала на дробные и даже комплексные значения аргумента *). Это соображение мы и положим в основу определения гамма-функции.
89. Определение и основные свойства. Рассмотрим функциональное авнение (1) УР ) (з + 1) = вг (я), *) Ср., напрвмер, формулу 14) п. 83. В этой главе мы рассмотрим основные, наиболее часто встречающиеся в прикладных задачах классы так называемых специальных функций и главнейшие их применения. Многие из этих функций (гамма-функция, цилиндрические функции, специальные многочлены Чебышева, Лежандра и др.) уже рассматривались в предыдущих главах в качестве примеров, здесь их свойства будут изложены более систематически. Основными методами изучения свойств специальных функций в данном изложении будут методы, развитые в предыдущих главах.
Однако многие важные свойства специальных функций нс связаны с теорией функций комплексного переменного, и нам придется затрагивать иногда вопросы, довольно далекие от этой теории. Целью настоящей главы является лишь общее ознакомление читателя с важнейшими свойствами специальных функций. В приложениях к отдельным конкретным задачам приходится иногда пользоваться свойствами значительно более детальными. Не имея возможности на них останавливаться, мы отсылаем читателя к литературе. % Ь ГАММА-ФУНКНИЯ ЭИЛЕРА 589 которому для всех целых неотрицательных значений г = и удовлетворяет функция 1(и+ 1) =и! (2) Буделг искать аналитическую функцию !'(г), удовлетворяющую уравнению (1) для всех колнглекснгях г и, для определенности, равную 1 при г = 1 (условие У), Прежде всего заметим, что искомая функция для любых целых положительных и должна удовлетворять уравнению ) (г+и+ 1)=(а+п)(г+п — 1)...
(г+1)) (а+ 1), (3) которое получается повторным применением формулы (1). Полагая в соотношении (3) г = О, получаем, что для всех целых положительных п значение )'(п+ 1) совпадает с п1. Заменив в (3) ) (г+ 1) = г((г) и переписав это соотношение в виде ! (г+ п+ !) (г+п)(Я+и — )) ...
г ' (4) мы видим, что искомая функция !(г) должна имети полюсы во всех целых неполозкительных точках г = — и (и = О, 1, 2, ...). В самом деле, при г- — и числитель выражения (4) стремится к 1, а знаменатель к нулю. Из той гке формулы (4) видно, что я+-и т. е, что все полюсы )(г) — первого порядка, причем вычет в по))и люсе г = — и равен Мы предположим еще, его ('(г) не имеет других особенностей, кроиге г = О, — 1, — 2, ..., и нигде не обращается в нуль (условие П), 'Тогда логарифмическая производная функции !(г+ 1): ф(г+ 1) = — „!п((г+ 1) = будем мсроморфной функцией, имеющей в точках г= — 1, — 2,... простые полюсы с вычетами, равными — 1 (см. и.
23). Из формулы (3) логарифмированием и последующим дифференцированием получаем: и р (г + и + 1) = ~~ — „~ + ф (г + 1). А-1 590 гл. ти. спкцихльныв етнкции Подставим здесь г = 0 и обозначим ф(1) = — С: ф(а+ 1) =~ — „— С; ь ! вычитая полученное равенство из предыдущего, найдем: е Ф(г+ 1) = — С вЂ” ~~)~~~ — „— — ~+ ф(г+а+ 1) — ф(а+!).
(6) ь-1 Ряд с общим членом — г иь (г) = а+Ф а А2 г '+а очевидно, сходится при любом г ~ — и (й = 1, 2, ... ), ибо огношение его общего члена к члену сходящегося ряда 1/йт стремится к конечному пределу — г. Кроме того, в любой ограниченной области, начиная с некоторого й, имеем ~иь(г) ~ ~М/Ю, где М вЂ” некоторая постоянная, следова|ельно, этот ряд сходится равномерно. Таким образом, по теореме Вейерштрасса п. 16, сумма ряда 2~ иь(г) представляет собой функцию, аналитическую во всех конечных точках, кроме точек г = — й (й = 1, 2, ...), где она имеет полюсы первого порядка с вычетами, равными — 1.
Перейдем в формуле (6) к пределу при а- оо; по только что доказанному существует предел ~~ иь(г), следовательно, ь=~ существует и предел ф(а+а+ 1) — ф(а+ 1), который мы обозначим через ф,(г). В пределе будем иметь: ОФ ~>(г+1) =-С-~~,1 ь — -„(+Чч(г) (Т) ь=1 Так как по доказанному 1(г+ 1) имеет в точках г = — й (й= 1, 2, 3, ...) полюсы первого порядка, то главные части ее логарифмической производной ф(г+ 1) в этих полюсах 1 равны — — (см.
п. 23). Отсюда следует, что функция фе(г) 2+ й должна быть целой. Очевидно, что и обратно, какова бь1 нн была целая функция фе(г), функция 1(г), определяемая по своей логарифмической производной ф(г), будет удовлетворять условию И. 5 ь ГАММА-ФУИК11ИЯ ЭИЛЕРА 891 591 Условие 1 налагает на функцию фа(г) дополнительное ограничение. В самом деле, из функционального уравнения (1) логарифмированием и дифференцированием получаем следующее уравнение для функции ф(а): ф (г + 1) — ф (2) =— Но из равенства (7) следует: (8) (постоянная С и все слагаемые, кроме первого, при вычитании сокрашаются), поэтому для того чтобы удовлетворялось соотношение (8), функция фа(г) должна быть периодической с периодом 1, т.
е. ф,(а) = ф,(г — 1). Обратно, для любой такой фо(г) функция ф(г) будет удовлетворять уравнению (В) и, интегрируя и диффсрснцируя послсднсс, найдем: !п ! (а + 1) — !п! (г) = 1п и + А, ф (а + 1) = — С вЂ” ~а ~— А 1 (9) где С вЂ” постоянная, которую мы сейчас определим. Интегрируя разложение (9) вдоль некоторого пути, соединяющего точку г = О с произвольной точкой а Ф й (й = — 1, 2, ...) и не содержащего точек й, получим разложение логарифма гамма- функции: 1п Г (а + 1) = — Са — )~~ ~ !п (! + А 1 — — ~. (1О) А=! где А — некоторая постоянная. Если функция !(г) удовлетворяет еше условиям 1(1) = Д2) = 1, то, подставляя в последнее уравнение г = 1, найдем А = О, т. е.
после потенцирования получим функциональное уравнение (1). Таким образом, для любой целой периодической с периодом 1 функции фа(г) соответствующая функция !(г) (если для нее !(1) = !(2) = 1) удовлетворяет обоим условиям 1 и П. Иными словами, условиям ! и И удовлетворяет целый класс мероморфных функций. Простейшую из функций этого класса мы получим, если положим в (7) фа(г) = Π— она и называется гамма-функцией Эйлера и обозначается символом Г(г). Для логарифмической производной гамма-функции имеем, следовательно, разложение ГЛ.
Л!. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 592 Постоянная С определяется условием Г(2) = 1, которое мы наложили выше на гамма-функцию *). Подставляя в (!0) г=!, получим: л л л С = ~У ~ —, — ! п (1 + — ) ~ = ! 1пт ! ~~)~~~ —, — 1п П ь=! 2 3 л+! Последнее произведение равно, очевидно, — —...
— =а+1! ! 2 добавляя в сумму, стоящую под знаком предела, стремящийся ! к пулю член 1 и заменяя еще и + 1 через п,получим окончательно: 1 — ф(Ц=С= 1!гп У вЂ” — !пи е=! (1Ц Эта постоянная носит название постоянной Эйлера; ес приближенное значение равно 0,5772157 "'). Из формулы (10) потенцированием получаем представление 1 функции Г + ! в виде бесконечного произведения Г (а+ 1) =ее.Ц(1+ '~е-а)а е=! (12) Г (г + Ц = гГ (г), (13) или более оби!ему Г( +.+Ц=(.+.)(.+.— Ц... (.+ЦГ(.+Ц. (14) 3) 77ри всех целых положительных г = и значение Г(н+ Ц совпадает с п1: Г(п+ Ц=п!. (15) *] Второе условие Г!1) = 1 имеет место прп любам С в силу паюего выбора пачала пути интегрирования (ср, рааложеиие (10)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
