М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 108
Текст из файла (страница 108)
*') Постояииая Эйлера С встречается и в других вопросах. Полученное бесконечное произведение сходится для всех конечных г, для г ча — )г (й = 1, 2, 3, ...) это следует из доказанной стодимости ряда (9) и теоремы п. 72, а для г = — й непосредственно видно, что опо сходится к нулю, Перечислим основные свойства гамма-функции, которые мы получилп при ее определении: !) Г(г) аналити !на всюду, кроме целочисленных отрицательнык точек и точки г = О. 2) Г(г) удовлетворяет функционально ну уравнению 593 881 % Е ГАММА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА 4) Все полюсы гамма-функции первого порядка, причем вы- ( 1)л чет Г(г) в полюсе г = — и равен, (и = О, 1, 2, ...). Из сходимости произведения (12) заключаем: 5) Функция — целая, следовательно, гал1ма-функция 1 Г (а) не обращается в нуль.
Свойства 3) — 5) выясняют общий характер графика функции Г(х) действительного аргумента х. Этот график изображен на рис. 192*) пунктиром на том же рисунке изображен график — На рис. 193 приведен также рельеф гамма-функции, т. е. 1 Г (х) поверхность с уравнением и = )Г(г) !. Ярко выраженные пики над точками г=О, — 1, — 2, ... соответствуют полюсам, Два семейства линий на поверхности представляют собой семейства линий равного модуля п равного аргумента, цифровые отлтетки на пих указы- вают значения модуля и аргумента (последние — в градусах).
Приведем еще несколько свойств гамма-функции. Наряду с соотношением (13) во многих вопросах полезно еще второе функциональное уравнение для гамма-функции; 6) Для всех кохтплексных г Рис. 192. Г(г) Г(1 — г)= и, (16) (при г = и, п = О, +-1, -1-2, ..., обе части равенства обращаются в бесконечность), ") Л(аксиз1ут1ы п минимумы Г(х) лля отрицательных х приближаются к нул1о прн х-и — оо, это связано с теы, что по свойству 4) вычет, т е. козффиппент при главной части разложения Г(х) в окрестности точки л = — и, сильно убывает с ростом и.
Г (х) = + са + с, (х + и) + ( — 1)" 1 и! х+и Гл. Уп. специлльные Функции Для вывода этого соотношения подставим сначала Г(г+ 1) = гГ(г) в формулу (12), получим: г =г ц г' П'1 +~)е е=! (17) затем заменим в той же формуле (12) г на — г: О =е с*Д(1 г)еМ А=! Перемножив полученные произведения (это законно в силу их абсолютной сходимости, см. п. 72), найдем: ! ТТ( г(е)г(! — Е1 ай'! а!)' Ф=, ' Рис. !93. Отметим некоторые следствия полученных формул. Полагая г = 1/2 в формуле (16), находим Г'~ д) =и, откуда з! ! ! г~-,') =17.. Остается воспользоваться разложением з1п иг в бесконечное произведение (см.
п. 72), и мы получим искомую формулу (16). вз! !. ГАММА-ФУНКЦНЯ ЭИЛЕРА 595 Применив теперь формулу (14), в которой положено г= — 1/2. найдем: ! ° 3 ° 5 ... (2н — 1) . г — (2п)! 1' й 2" гп= 4" 1 . (!8) Г( + 2) ( ) ! 3 2 — 1 )/ ( ) 12 / ' (1й) Остановимся на интегральных представлениях гамма-функции, которые также использовались в предыдунтнх главах. 7)Для всех г из правой полуплоскосги Г (г) = ) е У ! с/1, о (20) где интегрирование производится по !!оложигельной полуоси ! (Э йл ер).
Для доказательства прежде всего заметим, что интеграл (20) сходится для всех г, для которых х = Гхег ) О. В самом деле, ~е 1* ~)=е " ' " =е !", и мы видим, что при /- со сходимость интеграла (для любого х) обеспечивается множителем е-', а прн !- 0 подынтегральная функция имеет порядок !", так что для х) 0 интеграл будет сходиться. Далее, рассмотрим еще функцию /„(г) = ~ (1 — — ) !* 'д/; ч вводя здесь новое переменное интегрирования т = //и и при- меняя затем формулу интегрирования по частям, находим: /А (г) = и* ~ (1 — т)" т'-' дт = — и ~ (1 — т)" т' сИ г Полагая в (16) г=а+ —, будем имет!и 1 г(+ )г( + ) —, — ( !)" Мп н+ — и 2 откуда по (18) получим формулу, которой мы уже пользовались в п.
88: гл: ун. спенинльные Функ!сии (зе — — Г (г) пп )и (г) сгЦ((+ ) е-! С та С другой стороны, так как (1 — — ) - е-' при и-ь со, то естеи ственно ожидать, что и !Ип („(г)= !ип ~ (! — — ) !' 'с((= ~ е "т~ 'с!( (2Ц а-+г и г е н тогда формула (20) будет доказана. Для доказательства последнего соотношения мы воспользуемся неравенством е) С та сг 0 ( е-с — (1 — — ) ( — при 0 < ( ( и.
(22) и) 2и ") Непосредственным днфферевпироваввем по ! проверяется формула с ! — е ~! — — ) =) е (! — — ) — с(т, и) 3 1 а) а о сг е — с(т = е' —; с и 2и' е причем интеграл в правой части заключен между О н отсюда н вытекает неравенство (22), (проинтегрированная часть исчезает). Повторив этот прием. до тех пор, пока не исчезнет асножитель (1 — т), получим: ! г иги! тг+н-! с(т— а (а+!) ... (а+ и — !) е и'и! Е- сна а (в+ !) ...
(е+ п — !) (а+ и) П(' -'1 А=! Угтсивжнх! ЧПСЧитСЛЬ Н ЗиаЫЕНатЕтсЬ ПОЛУЧЕННОГО ВЫРажЕНИЯ На а мс н е '=' =Це а, тогда найдем; а=! !па- ~ г„ (г) = П('+-') "' е=! Перейдем теперь к пределу прн и — оо; на основании формул (11), (12) и (13) получим: ! Г Э ' Ь ' ГАММА.ФУНКННЯ ЭЙЛЕРА Оценим. разность между предполагаемым пределом и 1 (г): Л= ~ ~е-.! — (1 — — ) 1!' 'А(!+ ~ е '!' 'А(й Ц силу сходимости интеграла (20) для любого фиксированного е ) 0 найдется такой ноъ!ер ао, что при л ) пе ы ~е '1' 'й (~е 'Г" 'е(!< —,. л л (23) Фиксируем этот номер ло и для любого и ) ло представим Л в виде Л=~[е- — (1-Я"11-' (1+ о л + ) '(е-' — (1 — — ) 1! Ж+ ) е 1 о(!.
~ <Я""(1, откуда видно, что при достаточно больших п (и фиксированном л,) это первое слагаемое по модул!о не превосходит —. е 3' Для второго слагаемого имеем: л л л < ~ ~е-' — (1 — — ) !) !" ' г(( < ~ е '1" '!(1 <— лр л~ л, (мы отбросили вычитаемое и увеличили интервал интегрирования, а затем воспользовались неравенством (23) ). Модуль е третьего слагаемого при любом п)~ ае не превосходит — и, 3 следовательно, (Л!< е. Соотношение (21) доказано, а значит, доказана и формула (20).
Из интегрального представления Эйлера (20) вышел) были получены следующие «) См. п. 24 формулы (!2) и (!5). 'Для оценки первого слагаемого воспользуемся неравенством (22); получим: гл. нн. специальные еюткции 8) интегральные представления гамма-функции во всей плоскости (Хан кель): Г(г) =,.„, 1 е-С1'-'ж~, с — = —.и! е~ Ий. ! С-а Г(к) 2и( 3 с' (24) (25) Здесь С и С" — контуры, указанные на рис. 165 и 166.
Формула (24) представляет мероморфную функцию Г(г), как отношение двух целых функций (ср. п. 72); формула (25) прсд! ставляет целую функцию —, Г(к) ' 9) В заключение приведем полученную нами в п. 77 асимптотическую формулу для гамма-функции (Стирлинг): для больших положительнглх х Г (х + 1) = )I 2пх ( — ) ~ 1 + О ( — ) ~. (26) (интеграл (1) в наших предположениях, очевидно, сходится). Для вычисления интеграла (1) мы воспользуемся операционным методом.
Рассмотрим несколько более общий интеграл ~ *-'(( — т) 'дт=((* '*( '), в который является сверткой функций (* и г (см. п. 81) и при ( = 1 дает В(г, те). По теореме умножения (п. 81) изображением этой свертки является произведение изображений Р-' и ( -', т.
е. по формуле (6) п. 83 и 1) . Г(г) Г(м) Г(к) Г(м) ре ри ре+и ") Введен Л, Эйлером в статье, опубликованной в «Коммвнтариик Петербургской Ака темин наук», ) 772 г. 90. Примеры. Дополнения. В качестве первого применения гамма-функции мы приведем вычисление так называемого эйлерова интеграла первого рода "), или бета-функции, которая для Гсег ) О, !(е те ) О определяется соотношением 1 В(г, те) = ) т*-'(1 — т)" ' дт 991 4 !. ГАммА.Функция эйлерл й99 С другой стороны, так как Г(г)Г(ю) — постоянная, то оригинал правой части можно найти по той же формуле (6) п. 83: ГООГ( ) =Г()Г( ) /! Г (х+ 99) По теореме единственности изображений получаем, следовательно, ( а-! н — !) Г (х) Г (ю) ч+и-! Г (х+ !9) Полагая здесь / = 1, получаем искомое выражение В(г, го) через гамма-функцию: В(~,~)= „ (2) Между прочим, заметим, что формула (2) дает аналитическое продолжение бета-функции, определенной интегралом (1) лишь для )сел ) О, Гсего ) О, на всю комплексную плоскость значений г и га.
К зйлеровым интегралам сводятся различные, часто астречаюп!неся в анализе интегралы. Приведем несколько промеров: 1) Интеграл ! (1 — х)р(1+х)чих (р) — 1, ч.ь О подстановной х = 2! — 1 приводится к виду 29+99! В(р+ 1, 4+1) и по формуле (2) он равен; \ х)Р (1+ )ч кх 2Р+ч+! 1 (р+ О 1 (9+ 1) (3) Г (р+ 9+ 2) -! 2) Интеграл ха '(1 — х'")ч о (р, д, пг)9) о подстановкой х = ! приводится к — В ! — , 4). Следовательно, по форП3 1 /р лг (!и! ' муле (42) он равен хн-!(1-хю)9 'Нх= — ' (4)" ГЛ.
ЧН. СПЕИИЛЛЫгын ФУНКИИИ (ва 3) Интеграл л/3 э)п ф соз ф оф о подстановкой з!пф=х приводитсд к интегралу, вычисленному в примере 2) з!и' 'фсоз' 'файф= к"-'(1 — х')' г)х= — . (6) ,+- '(М" ® ~!6 файф — — Г( )Г~ ). о Но по второму функциональному уравнению для гамма-функции (формула (16) п. 89) Г( 2 )Г( — 2 — )=Г( 2 )Г'(! — 2 )= —, т. е. соз 2 лгз е !ь ф "ф= 2 соэ— 2 (6) 1 5) К гамма.функции сводится после подстановки !и — = ! интеграл х ! 1п" — г)х = ( е !а И! = Г (р+!). х 6) К эйлеровым интегралам сводятся также полные эллиптические инте- 1 аралы при значении модулей я = й'= = (см. и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
