М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Докажем одно вспомогательное предложение. Лемма. Каковы бы ни были комплексные числа т и т', удовлетворяющие условию (1), ряд Х з )з Таким образом ряд (2 ) м ажорнруется сходящиыся рядом в ъз — — и, следовательно, сходится абсолютно. Лемма доказ=-! вана.
Из леммы вытекает, что ряд ! ! (3) (г пт и т )з Г г (г т)з ! (а)= л, зЗ'=-зз в котором суммирование распространяется на все целые значения и и и', кроме п = и' = О, абсолютно сходится, Точки Т = пт+ и'т' лежат в вершинах сети параллелограммов. Рассыотрны сначала параллелограмм Пз. на котоооы лежит 8 точек Т (рис. 224). Обозначая через 1 кратчайшее расстояние от а = О до точек Пь заыетнм, что для каждой нз ! ! ! этих 8 точек — ~ ( —, так г" ! 1"' ! что сумма, на них расправ страиенная, удовлетворяет неравенству пг и, Рнс.
224. Аналогично на параллело- грамме Пг (рнс. 224) лежит 8 2 = 16 точек Т, кагкдая из них удалена от начала не менее чеы на 21, и сумма, на нпх распространенная, з~з ! В тг !т!з В= 2згз ' и, Вообще для параллелограмма П„, на котором лежит 8п точек, удаленных от начала ие менее чем на п1, имеем: гтл $4. эллиптические Функции 705 сходится абсолютно и равномерно в любом круге (г!()т, если иснлючить из него конечное число членов, имеющих полюсы в этом круге (здесь значения и = и' 0 допускаются). Действительно, рассматривая лишь члены, для которых (Т'!) 2Р, имеем !М Ф ° !( < ! ! .
1 1 8 ( !)з / ~ ~ з !~з ' ~~~з !г!3 т откуда по лемме и получаем наше утверждение. Представляя )(а) для г из круга !я~ )г в виде (, т,. ~~ (, т,. !г~<а !г!ьл мы видим, что первая сумма есть рациональная функция, имею- щая в каждой точке Т полюс третьего порядка с главной 1 частью (,, а вторая, по только что доказанному, — функ- ция, аналитическая в круге !з)~!Л!.
Таким образом, можно утверждать, что )(г) является мероморфной функцией. Далее ясно, что Г(г) будет иметь т и т' своими основными периодамп. Действительно, например, 1 (з + г) ~~~а~ (а (Т т))3 ~ ( )~ ибо Т вЂ” т снова является периодом и пробегает всю совокуп- ность периодов вместе с Т. Следовательно, т и, аналогично, т' являются периодами г(з). Но если Т вЂ” произвольный период !(г), то из того, что Т является полюсом )(г), можно заключить, что и Т+ Т = Т' является полосом. Отсюда Т = Т' — Т, т. е. является целочисленной комбинацией т и т'; следовательно, т и т' являются основными периодами Г(г).
Итак, Г(г) является эллиптической! функцией третьего поряд- ка с заданными периодами т и т'. Кроме того, она нечетна; дей- ствительно, ибо — Т пробегает всю совокупность периодов вместе с Т. Отправляясь от !'(з), с помощью интегрирования можно по- строить четную эллиптическую функцию второго порядка: если г, и г — точки, отличные от периодов, то, интегрируя почленно ряд (3) вдоль кривой, соедипяющеи г, с г и не содержащей периодов, получаем: 7 Е( ) =С+ ~1(з) !( =С вЂ” — ~~)~~ и !(03 ГЛ. 1'Н. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКШ1И Выделяя в сумме член с Т = О, мы перепишем последнюю фор- мулу в виде ! ! ! (Г 1 1 2()-(- — 2=24- —,— — 2', —,~.
(4) 2« 2«22 2 ~ (е — Т) («2 — Т) Правая часть здесь правильна в точке г = О, поэтому постоянную С э)ожно выбрать так, чтобы значение этой правой части при г = О равнялось нулю: 1 !Ъ2(Г ! ! (5) 2222 2 ~ Т («2 — Т)2 )' Вычитая (5) из (4), находим: ~()=-Я вЂ”,', +У'~,, '„, — ф1~. Мероморфная функция, стояшая в фигурных скобках, называется функцией Вейерштрасса и обозначается символом В (г) (читается «пе от г)2)( ((г)= — 22+,'~, ~(2 Т!2- Т21 (6) Ряд (6) сходится абсолютно, ибо модуль его обшего члена для достаточно больших (Т) оценивается неравенством 1 —— ! —— Т где Л вЂ” некоторая константа. Пользуясь этим, мы доказываем, что )) (г) — четная функция: (( —.)= — ',+~ ~ ',,— ', ~=((г), (Т) ибо замена Т на — Т сводится лишь к перестановке членов ряда.
Производная функция Всйерштрасса 2 ъ.з ' 1 Ъ-2 1 )2'(г)= — — -2,т, — — =-2,~, 2 =-2~(г) — 2г (, — т! — 'т~ (.— т» = лишь мно1кителем отличается от функции Т(г), определяемой по (3), и, следовательно, является двоякопериодической с периодами т и т'. Таким образом, (2'(г+«) — !ч'(г) =О, (э'(а+ «') — Го'(г) =О, и, ичтегрируя, получим: !2 (г + т) — д (г) = с, (2 (г + т') — В (г) = с. 1 ГО7 з с эллиптические Функции Полагая здесь г = — т/2 и г = — т'/2 и пользуясь четкостью р (г), найдем С = С~ = О, откуда следует, что Р (г) является эллиптической функцией с периодами т и т'. Она, очевидно, является функцией вгорого порядка и в каждом параллелограмме периодов имеет двойной полюс в точке Т с главной частью 1/(г — Т)з, Производная!и(г) — нечетная эллиптическая функция третьего порядка.
Как и в и. 101, мы найдем три ее нуля в точках а = т/2, т'/2, (т+ т')/2 (сумма нулей т+ т' =— 0 (гпод т, т'), как н должно быть по теореме 5 п. !01). Следовательно, этн точки являются двукратными для р (г), так что значения 1а Д=ео 1э( ) =е„(а( — ) =ез (8) (так же, как и значение оо) принимаются функцией р в слившихся точках. Другие значения р (г) принимает в двух различных точках, пбо в противном случае мы получили бы еще один Рис. 225. нуль 1э'(г) в параллелограмме периодов, что невозможно.
На рис, 225 мы приводим рельеф функции р (г). Чтобы получить дифференциальное уравнение, которому на основании теоремы 7 п. 101 удовлетворяет р (г), найдем разложение этой функции в ряд Лорана в окрестности г = О. Для любого Т чь 0 имеем: Гл. Ги, специлльные Фэнкцни Н ГО следовательно, пользуясь выражением (6) и тем, что в силу четности р (г) наше разложение содержит лишь четные степени г, мы получаем: [Ф(г) = —, + Зг'~ —,+ бгз )~~ — + ... Вводя принятые обозначения Г Г ] йе=бОХ т йз=(401 т (9) мы получаем искомое разложение в виде Р(г) = — '+ — ""+ — '"+ г' 20 2з (10) Дифференцируя ряд (10), найдем разложение р~(г) ~ +Ыг [ а' з [ (11) Отправляясь от разложений (10) и (11), мы найдем искомое дифференциальное уравнение, составляя рациональную комбинацию [з и 1~', не имеющую полюсов в параллелограмме периодов и, следовательно, постоянную (теорема 2 п.
101). Имеем: [Р(г))з- 1 [ з2 г~ [ ~' ге+ следовательно, искомой комбинацией будет [д~ (г))е — 4 [р (г)[з+ д р (г) = — д + с ге + с гз + ... (12) Действительно, левая часть (12) есть эллиптическая функция с периодами т и т' (теорема 1 п. 101); единственным ее полюсом в параллелограмме периодов могла служить бы точка г = О, но, как показывает правая часть (12), функция правильна в этой точке.
Следовательно, эта функция постоянна и равна своему значению при г = О, т. е. — дэ Таким образом, мы получаем искомое дифференциальное уравнение [~> (г)[г 4[В(г))з дер(г) д (! 3) Выше мы нашли нули р'(г) н обозначили значения в них р (г) — см. (8). Учитывая это, равенство (13) можно переписать в виде [[з'(г)]з = 4 [д (г) — е~) [[з (г) — е [ [[э (г) — ез!.
(14) Сравнение формул (13) и (14) по известным из алгебры свойствам корней уравнений дает соотношения е, -[- ез + е, = О, е,ез + е,ез + е,е, = — - '-, е,е,е, = †' . (16) Ыь аз 4 ' 4 4 и зллиптичнскив етнкции 709 (с1и г)— ! ь (г) = — — ~ [)о (2) — — ) 4(2; ь (2) = — 14 (2). (18) о Подставляя вместо )о(г) ее разложение (6) на простейшие дроби и интегрируя, получаем: ~()=-,+~ ( —,', +ф++), (19) Дзета-функция нечетна. Действительно, [ь (г) + ь ( — г) Г = ь' (г) — ь' ( — г) = 1о ( — г) — д (г) = 0 для всех г, следовательно, ~(г) + 9( — г) = С. Устремив г-оО, из формулы (18) найдем, что С = 0 и ь( — г) = — ь(г). Обозначая р (г) = и!, мы переписываем уравнение (13) в виде оо ! ~Ъ У4в' — иои — но откуда заключаем, что )о (г) является обращением интеграла ~й~ о (гео = 1о (го)). ,~4..
„„, . Устремляя здесь го к О, отчего шо устремляется в оо, получаем эллиптический интеграл в форме Вейерштрасса Ым 2= !' 4~' — д~~ — д~ Э обращением которого является функция р (г). В заключение отметим без доказательства теорему сложения для 1о (2): 4 ~ Р (о) - (о (ь) ее вывод можно найти, например, в книге Н. И. Лхиезера [11), стр. 60 — 63. 2) Функции Вейерштрасса ь и в.
Среди периодических функций аналогом р(г) является функция !/з(пог, также имеющая в своих периодах Т = пп двойные полюсы с главными частями 1/(г — Т)о. По аналогии с функцией с1и г = -~. — ~ ~ —., — — о) с12; о Вейерштрасс ввел функцию Ь(г) (едэета-функцилъ) соотноше- нием Гл.
ън. спГцнАльныя Фут(кцнн 7(0 Функция Ь(г) имеет простые полюсы в периодах Т и поэтому не может быть эллиптической (п. 101). Однако прн изменении аргумента на величину периода она изменяется лишь на постоянное слагаемое; действительно, например, К(г+ ) — 6(г))'=!о(г) — !о(г+ ) =0 при любом г и аналогично для т', следовательно: ~ (г + т) — ~ (г) = 6, тг (г + т ) — ~ (г) = 6 . (20) Между ве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
