М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 129
Текст из файла (страница 129)
е 2 — а е г — а а2 — 1 (точкамн обозначена правильная часть разложений). Положим адесь снова я! Я = е", Ф(Я) !р(г), обозначим г» = —.!па» точку, соответствуюшук» ГЛ. ЧЦ1. СПЕЦ«!АЛЬНЫЕ ФУНКЦЫЦ ЦО« Таким образом, все особые точки двоякопериодической фупкцип ф(г) в ее прямоугольнике периодов — полюсы, следовательно, эта функция является эллиптической. Все эти пол«осы — простые и сумма вычетов в цпх, согласно соотношению (29), как и должво быть дчя эллиптических функций. Пользуясь разложением (29) п. 103, мы можем выразить 9«(г) через дзета-фупкцию; в Ъ~ «о 1 2в ! в «р (г) = —.
ч, (а — 1) ь (г — — !п а ) — —, ь !г — —.!п а)— л«лв' л« о) л! ( л« ь=! — + — (п а) + С, (32) 2в 7 в где С вЂ” постоянная. ! «о ! )" (г) Теперь вспомним, что «р ( — !и г) =б«(г) =г,, и учтем, что по ! (() формуле (27) и.!03 г «о лрг «( !в гй й! —,((пг — !па )«= — — !па( — !п — «, в «(г ( л! аа)" Подставляя это в (22), получим о Г' (г) Ъ «у го«г! — (а — 1) — 1п а~ —.1и — )— (' (г) уа " «(г (, л«ао ) о=! — 2 — !п и ( —. 1п — ! — 2 — (п а ! —.
(п аг1, Иг (гб ! бг (л! откуда, интегрируя и потенцяруя, найдем выраг««е««ие ['(г) через сигма. функцию: о [' (г) = С' ао ~ — !и — ) а' ( —, !и аг1 Заменяя а через тэта-функцию О, по формуле (37) п. 103 (в которой т 2в), будем иметь )'(г) = С"го '«2л«' а««12л« где С" и с — постоянные. Рассужде««ием, которое ыы опускаем (см. [11), стр. 186), можно доказать, что с = 2. Интегрируя еще раз, получим оконча- литцРАтуРА к ГлАВе у11 727 тельную формулу для конформ))ого отображения кольца г < [к]( 1 иа двусвяэную многоугольную областЬ, содержащую бесконечно улаленную точку: (ЗЗ) Точно так же доказывается аналог этой формулы для отображения кольца на ограничевную двусвязную многоугольную область, у которой внутренний (по отношению к области) угол при вершине Л, равен иьп (й = 1, 2, ..., л): л В"К аь-11 ! з т с(г [(з)=С ~ дййв 6, [ —, !и — ~ —,.
[2пг а ~ з' А=1 (34) Заметим, что, как и формулы Шварца — Кристоффеля, эги формулы содеРзкат неизвестные паРаметРы (С, аь в г), котоРые должны опРеделЯтьсЯ в процессе решения задачи. Трудности их определения ограничивают практические применения этих формул. Литература к главе тг!1 [1] В. И. С м и р н о в, Курс высшей математики, т. Н1, ч. П, Гостсхиздат, 1949. [2] Р. Кура н т и Д.
Г ил ь берт, Методы математической физики, т. 1, Гостехиздат, 195!. [3] А Н. Тихо нов н А. А. С а ма р с к и й, Уравнения математической физики, Гостехиздат, 1953. [4] Н. Н. Лебедев, Специальные функции и их приложения, Физматгнз, 1963. [5] Е. У н т т е к е р и Г. В а т с о н, Курс современного анализа, т. Н, Фнзматгнз, !963. [6] Д. Д ж е к с о и, Ряды Фурье и ортогональные полиномы, ИЛ, 1948. [7] Г. В а т с о и, Теория бесселевых функций, ч. ! — теория, ч. 2 — таблицы, ИЛ, 1949.
[8] Р. О. К уз ь м н и, Бесселевы функции, ОНТИ, 1935. [9] Э. Г р ей и Г. М э т ь 1о з, Функции Бесселя и нх приложения к физике н механике, ИЛ, 1953. [10] В. А. Ф о к, Дифракция радповолн вокруг земной поверхности, Издательство АН СССР, !946. [! Ц Н. И. Ах и евер, Элементы теории эллиптических функций, Гостехиздат, 1948. [12] Ю. С. С и к о р с к и й, Элементы теории эллиптических функций с при.чожевиями к механике, ОНТИ, 1936. [13] А. М.
Ж ура вски й, Справочник по эллиптическим функциям, Издательство АН СССР, 1941. [14] Е. Я н н е п Ф. Э ч де, Таблицы функций с формулами и кривыми, Фнзчатгиз, !959. [15) А. Крат пер и В. Фрап ц, Трансцендентные функпии, ИЛ, 1963. [16] Ф. М. Морс и Г. Феш бах, Методы теоретической физики, т.т.
1, 2, ИЛ, 1958. Предметный указатель Абель Н. 70 Абеля теоремы 70, 684 Автоморфизмы верхней полуплоскости 140 — единичного круга !39 Адиабатности условие 334 Амплитуда эллиптического интеграла 695 Аналитическая дуга !62 — функция 38, 97 — — полная 97 Аналитическое продолжение 93; 95, 163 — — гармонической функции 2!4 — — непосредственное 53, 94 Аналитичность в еэ 92 Аргумент комплексного числа 13 — производной 11! Аргумента принцип 88 Арккосинус 41 Арккотацгенс 42 Арксинус 42 Арктангенс 42 Асимптотическое выражение второй ханкслсвой функции 659 — — гамма-фуйкцин 452, 598 — — мпогочленов Ле».андра 488, 627 — — первой ханкелевой функции 659 — — функций Бесселя 486 — — — Вебера 660 — разложеяае 471 — — обобщенное 475 а-точка 90 Ахпезера — Голузшга формула 723 Ъезцнркулярное обтекание 256 Бернулли Д.
6?6 — задача 676 — интеграл 334 — теорема 399 Бернулли — Эйлера формулз 247 Бесконечно удаленнан точка 90 Бесконечное произведение 432 н сл. Бесеелевы функции 548, 637 — 674 Бесселя интеграл 419 Бета-функция Эйлера 586, 598 — †,аналитическое продолжение 599 Бнгармоннческая функция 276 — †, комплексное представление 277 Биномнальиый ряд 487 Буняковского неравенство 605 Бурмана — Лагранжа ряд 422 Вариационный принцип 359 Вариация граничной производной 385 — отображения 384 — подъемной силы 393 †3 Вебера функции 652 Вейерштрасс К. 1О Вейерштрасса теоремы 68, 69, 436, 437 — функции 703, 709 Вектор потока тепла 249 Векторное поле 235 — — безвихревое 238 — — потенциальное 238 Векторное поле соленондальное 237 — — стационарное, плоскопараллельное 235 Ветвь 27, 31, 35 Вихревая точка 238 Внхренсточвик 242 Вихрь поля 238, 24! Волна длинная 401 — малой амплитуды 401 — уединенная 403 Волновое уравнение 634 Волны период 401 Вторая краевая задача 229 Вычет функции 84 — — в полюсе 84 — — — се 92 — — логарифмический 86 Вышнеградского — Найквиста метод 464 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Гамма.
функция 453, 59! — †, аналитическое представление 453 — †, аснмптотвческая формула 452, 598 — †, интегральные представления 453, 454, 595, 598 — †,свойства 591 †5 — —, формулы Эйлера 595, 604 — —, функциональное уравнение 592 — †, — — второе 593 — —, — — третье 603 Гармоническая функция 199 — —, аналитическое продолжение 214 — — многозиачная 202 — †,сопряженная 200 Гаусс К. Ф.
105 Гахова теоремы 300, 303 Гельдера условие 117, 288 Гильберт Д. 296 Гпльберта — Привалова краевая задача 296 Гиперболические функции 41 Гипергеометрический ряд 634 Гипергеометрическое уравнение 634 Главное значение интеграла 289 Годограф частотный 461 Годографа плоскость 337 — уравнение 338 Голоморфная функция 23 Граница области 16 Граничная задача 255 — теорема единственности 2!2 — точка 16, 57 — функция 1!5 Граничное значение 2!1 Грин Дж. 221 Грина формула 221 — ФУнкция 221 Грунтовые воды 406 Гука закон 274 Гурвиц А. 457 Гурвпца критерий 457 Даламбер Ж.
9 Даламбера — Эйлера условна !6 Дарбу метод 486 Дарсн закон 407 Движение грунтовых вод 406 — жидкости под действием силы тя. жести 576 Двойной слой 243 Деление степенных рядов 420 Деформация 273 — контура 359 Дзета-фуннцня Вейерштрасса 709 Дивергенция 236 Диполь 242 — точечный 242 Дирихле Л. 2!5 — задача 215 — — для круга 219 — — — полуплоскостн 224 — — обобщенная 215 — —, формула для решения 221 Дифференциальные уравнения сме. шанного типа 326 Дифференцирование изображения 505 — оригинала 504 Длинная волна 401 Дополнительный модуль 697 Дробно-линейные отображения 128 Дроссельный фильтр 555 Дуга аналитическая 162 — Ляпунова 116 Дюамеля интеграл 510 5-функцвя 529 Единичная функция 495 Естественная граница функции 97 Жордапа лемма 439 Жуковский Н. Е.
24 Жуковского профилв 150, 264 — теорема 261 — формула 261 — функция 24, 29, 30 Задача Дирнхле 215 — — обобщенная 215 — †, теорема единственности 216 — †, формула для решения 221 — наклоиноа производной 311, 312 — Неймана 229 — Трикоми 326 — о штампе 355 — Эйлера 678 Закон Гука 274 — Дарси 407 Извлечевие корня из комплексных чисел !2 Изображение дробных степеней 522 — интегралов Френеля 524 — функции (по Лапласу) 495, 536 Изолированная особая точка 78, 98 Изотермическая линия 249 Изотроппое тело 274 Иззнтропнчности условие 334 730 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Импеданц 548 Импульсные функции 529, 531, 532 Инверсия 15, 131 Интеграл Бернулли 334 — Бесселя 419 — вероятности ошибок 473 †,главное значение 289 — Дюамеля 510 — Лап.часа 441, 496 — Лежандра 445 — Л вирша 671 — несобственный 61 .— огобый 289 — от функция комплексного переменного 43 — псевдоэллиптический 694 — †,модулярный угол 695 — — полный 695...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
