М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат - Методы теории функций комплексного переменного (1118149), страница 126
Текст из файла (страница 126)
ичннами т, т' и 6, 6' сушествует простая зависи- мость. Чтобы найти ее, проинтегрируем Ь(г) по контуру парал- лелограмма с вершинами —, —. Так как внутри паралле- 2 2 ' лограмма функция имеет лишь один полюс г = 0 с вычетом 1, то этот интеграл равен 2п!. С другой стороны, объединяя ин- тегралы по противоположным сторонам параллелограмма и учи- тывая соотношение (20), находим, что этот интеграл равен бт' — 6'т. Таким образом, 6т' — 6'т = 2н!.
(21) Это соотношение получено Л е ж а н д р о м. По аналогии с функцией ~ (с(㻠— ) гг з!из=ге о ((п з!п г)' = с!а з введем о(г) — ((сигма-4ункцию» Вейер(птрасса: г ) (С(г! — ') нг о (г) = ге; (!и о(в) )' = ~ (г). (22) Подставляя разложение (19) для ((г), интегрируя почленно и потенцируя, находим представление о(г) в виде бесконечного произведения; г'! г г' г г' о(г)=ге "( т~+т гт аП (! г ~ ет+:! (2З) 7/ Из этого представления видно, что о(г) является целой функцией с простыми нулями в точках г = Т.
Она нечетна, ибо из (22), пользуясь нечетностыо ь(г), можно заключить, что — г г о (С(г! — )»(г ~ (С(г! — — )»(г а( — г) = — ге = — ге о = — о (г) 7!1 ч е эллиптичвсхие Функции ! 03] (мы заменили и = — о). Из соотношений (22) и (20) находим: о (г + 'т) о (г) — — =6; а (г + т) а (г) интегрируя и потенцнруя, имеем: о (г + т) = о (г) еь'+т.
Подставляя здесь г = — т!2 н пользуясь нечетностью о(г), полуьт ьт — г-ьт чаем — 1=-е ', откуда ет= — е "" и о(г+ т) = — о(г) е ~ (24) Таким образом, при изменении аргумента на величину периода т функция о(г) приобретает показательный множитель ь 1 г+ —, ) — е ~ -') (то же справедливо и для т').
Кроме о(г), вводят еще три сигма-функции: ем ь'мг т о,(г)= — — 'о(г — —,'); ог(г)= — ', о(г — г 1; а~ — ) а( — ) (25) о,(г) = — „о(г — 2 ), о~ — ) где т" = т + т' и 6" — соответствующая этому периоду постоянная 6 из формул (20) и (24) (знак минус введен для того, чтобы оь(0) = 1, нумерация традиционна). В заключение докажем следующую теорему: Т е о р е м а, Любую эллиптическую функиию и-го порядка ((г) с нулями аь аг,, а, и полюсами рь (Ь, ° ., р„в параллелограмме периодов (каждьш считается столько раз, какова его кратность) можно выразить через о-функ1(ию: а (г — а,) а (г — а;) ... о (г — а„) 1(г) — С (26) о (г — 61) а(г — йг) ...
а (г — (3„) где С вЂ” постоянная и а, = ((), + ()г + ... + р„) — (аг + аг + ... + а„). (27) Действительно, в силу того, что по теореме 6 и. 1О1 (а, + а, + ... + а„) — ((), + ()г + ... + 6„) — = 0 (той т, т'), имеем а~ = а~ (тод т, т'). Рассмотрим теперь фуннцию а (г)— а(г — а~) о(г — а,) ... а(г — а„) а(г — р,) а (г — рг)... а(г — рь) 712 !103 гл. чп. спвцилльныа етнкции она имеет периоды т и т', ибо в силу формулы (24), учитывая нечетность о, получаем, например: й (а+ т) е'А+а~+" +а«-"~-'~-" -««)й(а) — й. (а) Крома того, отношение ~(а)/й(е) в параллелограмме периодов не имеет полюсов, ибо каждый полюс числителя является полюсом той же кратности для знаменателя и каждый нуль знаменателя является нулем той же кратности для числителя (мы учитываем, что а1 ~ сг1 (гпог)т,т')).
Таким образом, по теореме 2 п. 101 это отношение постоянно, и мы получаем искомую формулу (26). Формула (26) аналогична представлению дробно-рациональной функции в виде отношения двух многочленов, разложенных в произведения линейных множителей. Совершенно так же доказывается теорема, аналогичная теореме о разложении дробно- рациональной функции на простейшие дроби: если г(г) имеет в основном параллелограмме полюсы е = р«()г = — 1, 2, ..., тп) с главными частями (28) ( рл) ~ йг(а)=, "р +(, 'р),+ + то 1« ~ы-с~-~( „гь — м — .г и — м-> .. е=! ...
+( — 1)"ь ° ! ь!«г )(е — рг) . (29) 3) Тэта-функции Якоби. Для числовых расчетов с эллиптическими функциямн удобно пользоваться нх выражениями с помощью быстро сходящихся рядов, а между тем все разложения, которые мы до сих пор рассматривали, сходятся весьма медленно. Этот пробел восполняется тэта-функциями Якоби, которые представляются быстро сходящимися рядами и с помощью которых можно выразить все эллиптические функции. Обратимся к формуле (24) и заметим, что легко указать целую функцию, которая при изменении аргумента на период приобретает такой же множитель, как и о(е), именно 1 <р (е) е г« (ЗО) В самом деле, имеем: т '~ Обозначим $(а)= ) , 'очевидно,— это целая функция, пбо о(г) .
о и ~р — целые и гр(г) Ф. О. 4 с эллиптические этнкции т1з В силу (24), а также аналогичного соотношения для периода т' будем, следовательно, иметь: ф (г+ т) = ф (г), 2ясл ф(г+т')= — ф(г)е " » '/ ' » = — ф(г)е т (31) (мы воспользовались соотношением Лежандра (21) ).
Первая нз формул (31) выражает периодичность ф(г). По теореме 4 п. 100 целая периодическая функция ф(г) во всей плоскости г может быть представлена своим рядом Фурье ф (г) =,э с е~» ', »=-, (32) где »» = 2я/т. Для определения его коэффициентов мы воспользуемся вторым соотношением (31) и теоремой единственности разложения в ряд Фурье, которая в нашем случае вытекает из соответствующей теоремы для рядов Лорана. Подставляя в (32) г+ т' вместо г, получаем: пав' 4=е ' =е ', (33) ф(г+т') = ~, с»ф»е'»"', »= ..
откуда, используя соотношения (31), находим ф(г) = — е' »р(г-(-т') = — ~~ с»у'»еы»ч-и '. »=- м Сравнивая это разложение с (32), по теореме единственности имеем: с»„, = — с»д'» (й = О, .~ 1, -~- 2.. .). Обозначая для удобства коэффициент с»=Сд', где С вЂ” некоторая постоянная, последовательно получаем: 1 9 / Г»~ й с~ Сл 4 сз = Сд 4 Сдх»/ сз — Сд~ и вообще ЙЙЛ о »р(г) = Се» ~~ ( — 1) д~ з/е ~ »/~ . (35) ~~2 с»=( — 1) Сд~ »/ (Й=О, ~ 1, -~ 2, ...) (34) (справедливость формулы (ЗЗ) легко проверить методом полной индукции).
Подставив это в разложение (32), получим окончательно: ГЛ. УП. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 7!4 !Ив Функция ф(г) лишь несущественно отличается от одной пз тэта- функций Якоби, именно, по определению 4)! (г) = — 'е "'ф(тг) =1 ~ ( — 1)в!)~ е! е(ав-')и". (36) с Вспоминая, что о(г) = ф(г)ср(г) и пользуясь формулами (36) и (30), мы находим выражение сигма-функции Вейерштрасса через Ок де(г)= д! (г+ — ! = — ~ Ос г) ест' """''. 2/ ! ба (г) = дТЕв" О, (г + — + — ) = ~~У Г)"Е'А™, 2 2/ А-- (38) 0 (г) 0 (г ! ! ) ~ ( Цайе'ееьп! *) То, нто О,(г) имеет период 2, проще усмотреть иа (36); оттуда же видно, нто О,(г+ !) = — О,!г), Ег' ) г) о(г)= — 'Се'"О! ( ).
Чтобы найти входящую сюда постоянную С, дифференцируем это соотношение по г в точке г = 0 и учитываем, что в силу (23) о'!(о) о'(0) = 1; мы получим ! = — (С вЂ”, откуда вг' (37) Учитывая известные свойства о(г), мы можем теперь утверждать, что О! (г) — нечетная целая функция, периодическая г) с периодом 2 и с простыми нулями в точках г=и+и' —. Так как по нашему условию 1гп — ) О, то из (33) мы находим ! д )=е " ( 1, следовательно, ряд (36) для Ог(г) быстро сходится благодаря наличию в его членах множителей д~ С друтой стороны, так как через д! выражается о, а через последнюю, как мы знаем,— любая эллиптическая функция, то любая эллиптическая функция выражается через дь Таким образом, тэта-функция действительно восполняет пробел„о котором мы говорили в начале этого раздела. Кроме Ог(г) вводятся еще три тета-функции Якоби: 4 З ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУ!?К?1ИИ 1041 715 Все они — целые четные функции; 0 (2) имеет период 2, а бз(2) и 0,(2) — период !.
Через них выражаются оа-функции Вейер- штрасса по формулам, отличающимся от (37) тем, что вместо о слева стоит о?о а справа вместо 0,.и 0' — функции бич? и 4)' еи Если положить н = — 1 — (в силу нашего условия 1ш — ) 0 эта величина положительна), то из (33) получаем д = е- '.. По- этому тэта-функции Якоби зависят от н как от параметра и их часто обозначают символами О?(2, и) (1 = 1, 2, 3, 4). Дифферен- цируя ряды (Зб) н (38), мы найдем, что эти функции удовлетво- ряют дифференциальному уравнению дте? двт д, — ?1п —, (! = 1, 2, 3, 4), Так, например, — ( тс?з) — и Э Ьзоь'езазз?з дн дд ' " л 1 А=-ы (39) дзез з 4.с' 5~ ре'йзо?лаз откуда и получается (39).
Как доказано выше, любая эллиптическая функция выражается через тэта-функции. Приведем без доказательства такие выражения для эллиптических функций Якоби: — "(' — '.) — '(й сп2=1/ ? ', ЙП2= )? й ЕП2== "® (40) (это совпадает с формулами (34) предыдущего пункта). Вывод формул (39) и (40) можно найти, например, в книге Н. И, Ахиезера [11), стр. 92 — 95. 104.
Примеры. Приложения. 1) Вычисление ллины луги аллип- Х Д~ с а —, + —, = 1 приводит к эллиптическим иптегралаи. ??ействительно, здесь посточнную?), входящую в определение тэта-функций, слеа дуст выбирать нс в виде е ", а в виде е а, что совпадает с формулой (ЗЗ) предыдунгего пункта. Через тэта-функции выражаются также величины К и й, фигурирующие в теории функций Якоби, — именно, 716 ГЛ.
УЦ, СПЕЦИАЛ1И!ЫЕ ФУНКЦИИ 110$ отрезок дуги, соответствующий изменению абсциссы от О до х, равен: х хга 1(х)= ~ )г1+и дх=а ~ '$/ з д), о о х аз — Ьз где 1= — и й' а а' Это — эллиптический интеграл второго рода в форме Лежандра см. (2) из п. 102. Полная длина эллипса ныражается через полный эллиптический интеграл Г 1 — йзгз 1= 4а ~ ~~' - д(= 4аЕ (й). 1 — Гз о (2) Этому обстоятельству и обязаны своим названием эллиптические интегралы, а также их обращения — эллиптические функции. 2) Элли и т ические к о ардан а ты также связаны с эллиптическими функциями. Чтобы ввести их, рассмотрин уравнение хз у г' + — + — — 1=О; (3) р-а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
