Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Следовательно, точка покоя х О, у 0 систем (4.21) и (4.22) асимптотически устойчива. ч прн достаточно малых ут, так как все й! < О, а улвоенная сумма 2 и.", Дтутйт ~=! при достаточно малых у! может быть сделана по модулю меньше сума мы ~~~~~ Лгу!. т'= 1 Наконец, вне окрестности начала координат исследование нл остопчивость Пример 3. Исследовать нз устойчивость точку покоя х О, у О системы — — 4у — х, ах з аг (4.23) ау аг — = Зх — у'. — Ф вЂ” 4 Характеристическое уравнение ~ ~ = 0 для системы первого приближения имеет чисто мнимые корни — критический случай.
Исследование по первому приближению невозможно. В данном случае легко подбирается функция Ляпунова о = Зхз + чу'. 1) о(х, у) ) О, о(О, 0) О; й'о 2) — = бх( — 4у — х )+ау(Зх — у') = — (бх'+Зу ) к,О, причем вие аг' ло некоторой окрестности нзчзлз координат — < — р < О, следовательно, ~очка аг покоя х = О, у = 0 по теореме предыдущего параграфа зсииптотнчески устойчива. Остановимся несколько подробнее на последнем примере.
Система уравнений первого приближения — = — 4у, — =Зх пу а) ' л'г (4.24) имела в начале координат центр. Наличие нелинейных членов в системе (4.23) превратило этот центр в устойчивый фокус. Аналогичная, но несколько более сложная геометрическая картина наблюдаегся и в оббгем случае. Пусть система первого приблизкения для системы Их, — = аих, + а„х, + Й, (хо х ), Их, — = амх, + аззхт+ Йз(хо хз) (4.25) 1б л. э. эльггольц имеет точку покоя типа центра в начале координат.
Предположим, как и на стр. 221, что нелинейные члены Й,(хи х,) и Й,(хо х,) имеют порядок выше первого относительно у'х',+хз. Эти нелинейные члены в достаточно малой окрестности начала координат малы по сравнению с линейными членами, но все же они несколько искажают поле направлений, определяемое линейной системой первого приближения, поэтому выходящая из некоторой точки (ха, уз) траектория после обхода начала координат немного смещается по сравнению с проходящей через ту же точку траекторией линейной системы ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ 1гл. 4 и, вообще говоря, не попадает в точку (лв, уе) — траектория не замыкается. Если после такого обхода начала координат все траектории приближаются к началу координат, то в начале коорлинат возникает устойчивый фокус; если же траектории удаляются от начала коор.
динат, воаникает неустойчивый фокус. В виде исключения возможен также случай, при котором все траектории нелинейной системы, расположенные в окрестности начала координат, остаются замкнутыми, однако наиболее типичным надо считать случай, при котором лишь некоторые (может быть, и ни Рнс. 4,14. Рис. 4.15. одной) замкнутые кривые остаются замкнутыми, а остальные превращаются в спирали. Такие замкнутые траектории, в окрестности которых все траектории являются спиралями, называются предельными циклами.
Если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, приближающимися при 1-«со к предельному циклу, то предельный цикл называется устойчивым (рис. 4.14); если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, удаляющимися от предельного цикла при à — «Оо, то предельный цикл называется нвуслгойчивьгм; если же с одной стороны предельного цикла при à — «со спирали приближаются к предельному циклу, а с другой стороны удаляются от него (рис. 4.15), то прелельный цикл называется иолуусглойчивым.
Итак, переход от системы первого приближения (4.16) к системе (4.25) приводит, вообше говоря, к превращению центра в фокус, окруженный р (случай р=О не исключается) предельными циклами, На стр. 154, исследуя периодические решения автономной квази.шнейной системы х+ аял= Ру(л. х, р), (4.26) вц пеизнлки отеицлтельностн депствительных члстеп 227 мы уже встречались с аналогичным явлением. Действительно, заменяя (4.26) эквивалентной системой, получим »=у, у= — азх+ру'(х.
у, р). (4.27) Соответствующая линейная система: х=у, у = — а'х имеет в начале координат точку покоя типа центра; добавление малых при малом р нелинейных членов превращает центр, вообще говоря, в фокус, окруженный несколькими предельнымн циклами, радиусы которых н определялись из уравнения (2.!28), стр. !56.
Различие между случаями (4.25) и (4.27) заключается лишь в том, что члены Й, и Йг малы лишь в достаточно малой окрестности начала координат, тогда как в случае (4.27) слагаемое !г/(х, у, р) может быть сделано малым прн достаточно малом р не только в достаточно малой окрестности начала координат.
В примере 2 (стр. 156) при малом !г в окрестности окружности ралиуса 6 с центром в начале координат, являющейся траекторией порождающего уравнения, воаникает предельный цикл. В приложениях устойчивым предельным циклам обычно соответствуют автоколебательные процессы, т. е. периодические процессы, в которых малые возмущения практически не изменяют амплитуды и частоты колебаний.
$ 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корней многочлеиа В предыдущем параграфе вопрос об устойчивости тривиального решения широкого класса систем дифференциальных уравнений был сведен к исследованию знаков действительных частей корней характеристического уравнения. Если характеристическое уравнение имеет высокую степень, то его решение представляет значительные трудности, поэтому большое значение имеют методы, позволяющие, не решая уравнения, установить, будут лн все его корни иметь отрицательную вещественную часть или нет.
Теорема 4.6 (теорема Гурвицае)). Необходимым и дотматочным условием отрицательности действительны» частей всех корней мкогочлена г" + а,в"-'+ + а л+ а ) « ч * « г1р и «р * \ алгебры, например в «Курсе вывшей алгебрыя А Р. Куроша.
228 [ГЛ. 4 теояня ястончнности с действительными ' коэффициентами является аолоокительность всех главных диагональных миноров матрицы Гурвица а, 1 0 0 ... 0 аз аз а, 1 ... 0 1 аб 454 453 452 457 иб аб 454 0 0 0 0 ...а„ а, 1 0 аз аз аг а5 ' 454 аз а, ! Ь,= !аь~, Ь,= Ьз = аз а, ! 0 ... 0 аз а, а, а5 454 аз 000...а„ Ь, =- Заметим, что так как Ь,=Ь„,а„, то последнее из условий Гурвица Ь, > О, Ьг > О, ..., Ь„> 0 может быть заменено требованием а,>0*), Применим теорему Гурвицз к многочленам второй. третьей и четвертой степени. а) ге+а,г+а,.
Условия Гурвица сводятся к а, > О, аз > О. Эти неравенства в пространстве коэффициентов а, и аз определяют первую четверть (рис. 4.16). На рис. 4.16 изображена область асимптотической устойчивости тривиального решения некоторой системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющей условиям теоремы 4.1, если гг+а,а+аз является ее характеристическим многочленом. *) Заметим, что из условий Гурвица следует, что все аь > О, однако положительность всех коэффициентов недостаточна для того, чтобы действительные части всех корней были бы отрицательными, По главной диагонали матрицы Гурвица стоят коэффициенты рассматриваемого многочлена в порядке их нумерации, начиная с а, до а,. Столбцы состоят поочередно нз коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами, включая и коэффициент аб — — 1, следовательно, элемент матРицы ды — — аы ь. Все недостающие коэффициенты, т.
е. коэффициенты с индексами, большими и или меньшимн О, заменяются нулями. Обозначим главные диагональные миноры матрицы Гурвица: Б Б1 пРизнАки ОтРицАтельнОсти депствительных чАстей 239 61 гз+ ~,~' + а,л + оа, Условия Гурвица сводятся к а, ) О, и,и, — а, ) гд аа) О. Область, определяемая этим неравенством в пространстве .коэффициентов, изображена на рис.
4.17. в) ее+ анаа+ атла+ааг+ ач. Условия Гурвица сводятся к а,) О, а,ая — аа) О, (агвт — аз)аз — а1а, ) О, ач) О Зля рассмотренных многочленов условия Гурвица очень удобны и легко проверяемы, однако с возрастанием степени многочлена условия Гурвица быстро усложняются н часто вместо них удобнее прн- Рис. 4.17. Рис. 4.16. менять другие признаки отрицательности действительных частей кор- ней многочлена. П р и и е р. При каких значениях параметра а тривиальное решение х, =О. х, =О, ха=о системы дифференциальных уравнений кх,' лх, кх, — = х,, — = — Зх„— = ах, + 2х, — ха лг ' ег ' и'г асимптотнчески устойчиво? Характеристическое уравнение имеет вид ! — Д О 1 — 3 — а О =О или да+да — ай+6=0.
а 2 — 1 — а По признаку Гурвица условияни асимптотической устойчивости будут а, > О, а,аа — аз > О, аа > О. Эти условия в данном случае сводятся к — а — 6> О, откуда а < — 6. ~гл. л ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ф 6. Случай малого коэффициента прн производной высшего порядка Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра (см, стр. 54) утвер'кдает, что решение дифференциального уравнения х(г)=у(г, х(г), ц) непрерывно зависит от параметра (г, если в рассматриваемой замкнутой области изменения С х и р функция У' непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по х: где Ог не зависит от С х и (г. В задачак физики и механики условия втой теоремы обычно выполнены, однако один случай разрывной зависимости правой части от параметра, изучению которого и посвящается этот параграф, встречается в приложениях сравнительно часто.
рассмотрим уравнение р —,=у(г х) лх (4.28) где й — малый параметр. Задача заключается в том, чтобы выяснить, лх можно лн при малых значениях ~р~ пренебречь членом р —, т. е, лг лх приближенно заменить решение уравнения р — =/'(С х) решением лг так нааываемого вырожденного уравнения г'(г, х)=0. (4.29) Мы не можем здесь воспользоваться теоремой о непрерывной зависимости решения от параметра, так как правая часть уравнения — = — у(г, х) ах ! лг (4. 28,) разрывна при ц = О.
Предположим пока для упрощения, что вырожденное уравнение (4.29) имеет лишь одно решепие х=ф(Г), предположим также для определенности, что гг ) О. При стремлении параметра р к нулю л'х лх 1 производная — решений уравнения — = — у(г, х) в каждой точке, ш лт в в которой у'(Г, х)+О, будет неограниченно возрастать по абсолютной величине. имея знак, совпадающий со знаком функции у'(С х). Следовательно, касательные к интегральным кривым во всех точках, в которых У(С х) чь О, стремятся при )г-ьО к направлению. параллельному оси Ох, причем если у'(г, х) ~ О, то решение х(Г, р) лх уравнения (4.28,) возрастает с возрастанием г, так как †„ ) О, а если случАЙ мАлОГО иоэФФициентА 281 у'(Г, х) < О, то решение х(1. 1А) убывает с возрастанием 1, так как лх — ( О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
