Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 33
Текст из файла (страница 33)
стр. 61 — 62), или методом Рунге. 5. Метод Рунге. Вычисляются числа анп = Л (л» Уаа. Уга ° ° ° У„а) Л гат,1 Лалы Лаи„, 1 «112 11(~А+ 2 ' У1А+ 2 У22+ 2 ' ' ' ' Уаа+ ты =11(ха+" Уал+ "таз Угл + "тгз ° ° ° Уаа + Лтла)' Виая КОтОрЫЕ, НаХОдИМ у1 ат, ПО фОрМуЛЕ Л Уг,в+а=уаа+ — (тн+2тг+2тж+ты) (1=1, 2, ..., л). Порядок погрешности такой аке, как и для одного уравнения. Грубо ориентировочно шаг Л в зависимости от требуемой точности результата выбирается с учетом порядка погрешностей з применяемых формулах и уточняется путем пробных вычислений с ша- Л Л гом Л и — .
Надежнее всего проводить вычисления с шагом Л и— 2 ' 2 всех требуемых значений у,(хз), и если при сравнении результатов все они в пределах заданной точности совпадают, то шаг Л считают обеспечиваюшим заданную точность вычислений, в противном случае Л Л снова уменьшают шаг и проводят вычисления с шагом — и— 2 4 и т. д. При правильном выборе шага Л разности аадга, Ааааа, ...
должны меняться плавно, а последние разности в формулах Штермера должны влиять лишь на запасные знаки. Задачи и главе 3 1. — =у. — = — л, х(0)=0, у(0)=1. агх иу Лг ' аГГ Гах, ага ха 2. — '=кь — а= ен ха(0)=2, ха(0)=2, Ига = «нма ла(0) =2, ха(0) = 2. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 3. — + 5х-1-у г. — — х — Зу е . 2(Х ау 22 сй гй ах, ну 4. — у, — г, — х. гй ' гй ьй 2(х 2(у у' 5. — у, гй ' гй х ' ах 2(у ах ду О.
— + — - — х+у+3. — — - +у — 3. сй гй й нт г 2(г 7. — = — — — ху 2(х х' ах ах ау аг в. — = г — у х — г у — х' 2(х 2(У аг 9. — — х+у+г, — х — у+г, — = х+у — г, гй гй ьй = 10, т — +у-О, т — + х-О. нх ну гй ' гй 2(х ау ! Ы. — = у+1, — — х+ —. 2(т я(п С ' ах у ау х 12. — = —, гй х — у' гй х — у 13. х+ у = сов А у+ х я(п Г. 14. х+Зх — у О, у — 8к+у О, х(0) 1, у(0) 4.
н20 и с(0 15. — +2)п0=0 при т О, 0 —, — =О а(2 Зб' 2й Определить 0(1) с точностью до 0,001. 10. х(т) =ах — у, у(т)= х+ау; а — постоянная. 17. х+Зх+4у О, у+2к+5у О. 18. х — 5х — 2у у = х — 7у. 19. х=у — г, у=х+у, г=х+г. а).
х — у+а=О, у — х — у й г — х — г Нх 2(У Нг ' х(у — г) у(г — х) г(х — у)' 2(х ау 2(г к (у' — г') у (г' — х') г (х' — ут) 23, Х АХ, где Х ~! ((, а А ~! ГЛАВА 4 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ В 1. Основные понятия Для возможности математического описания какого-нибудь реального явления неизбежно приходится упрощать, идеализировать это явление, вьшеляя и учитывая лишь наиболее существенные иэ влияющих на него факторов и отбрасывая остальные, менее существенные. При этом неизбежно встает вопрос о том, удачно лк выбраны упрощающие предположения, Возможно, что неучтенные факторы сильно влияют на изучаемое явление, значительно меняя его количественные или даже качественные характеристики. В конечном счете этот вопрос решается практикой — соответствием полученных выводов с опытнгямн данными, но все же во многих случаях можно указать условия, прн которых некоторые упрощения заведомо невозможны.
Если некоторое явление описывается системой дифференпиальных уравнений У' = сР, (Е ун у,, ..., у„) (1 = 1, 2, ..., и) (1.!) с начальными условиями у; (1„) = ум (1= 1, 2...., л). которые обычно являются результатами измерений и, следовательно, неизбежно получены с некоторой погрешностью, то естественно возникает вопрос о влиянии малого изменения начальных значений на искомое решение. Если окажется, что сколь угодно малые изменения начальных данных способны сильно изменить решение, то решение, определяемое выбранными нами неточными начальными данными, обычно не имеет никакого прикладного значения и даже приближенно не может описывать, изучаемое явление.
Следовательно, возникает важный для приложений вопрос о нахождении условий, при которых достаточно малое изменение начальных значений вьиызает сколь угодно малое изменение решения. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ !Гл. 4 Если 1 изменяется на конечном отрезке 1а ( 1 ( Т, то ответ на этот вопрос дает теорема о непрерывной зависимости решений от начальных значений (см. Стр.
54). Если же 1 может принимать сколь угодно большие значения, то этим вопросом занимается теория устойчивости. Решение ф,(1) (1 = 1, 2, ..., н) системы (4.1) называется устойчивым, или, точнее, устойчивым по Ляпунову, если для любо~о е > О можно подобрать Ь(е) ) О такое, что для всякого решения у, (Г) (1=1, 2, ..., л) той же системы, начальные значения которого уловлетворяют неравенствам ~у!((а) !р!((о)~ < б(е! (1=1, 2, ..., и), для всех Г )~ Г, справедливы неравенства ~у,(1) — рг(г)~<е (1=1. 2, ..., и), ' (4.2) т. е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех Г р Замечание, Если система (4.1) удовлетворяет условиям теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных значений. то в определении устойчивости вместо 1)~ (з можно писать 1)~ Т ь(В, так как в силу этой теоремы на отрезке 1, С((Т решения остаются близкими при достаточно близких начальных значениях.
Если при сколь угодно малом б) О хотя бы для одного решения у,(Г) (1=1, 2, ..., и) неравенства (4.2) не выполняются, то решение я!,(Г) называется неустойчивым. Неустойчивые решения лишь в редких случаях представляют интерес в практических задачах. Если решение гр,(Г) (1 = 1, 2, ..., и) не только устойчиво, но, кроме того, удовлетворяет условию П ш ) у, (г) — !р, (1) ~ = О, (4.3) если !у!(ГВ) — ф!(ГВ)! ч. бн б, ) О. то решение ср,(() ((=1, 2, ..., н) называется асимлтоглически устойчивым. Заметим, что из одного условия (4.3) еще не следует устойчивость решения <р,(1) (1= 1, 2, ..., п). Пример !.
Исследовать иа устойчивость решение дифференциального уравнения — — а у, а ~ О, определяемое начальным условием у (Га) = ур. н,у аг Решение — а'н-и! аснннтвтнческн устойчиво. так кая 1уае ' " "— у,е " " "'1= в а !' н1) у — у, ! < а ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ при т;> т„если !у,— у,! < ее а' и !йп е «'! и!! у, — у ! = о. )-ФС~ П р и м е р 2. Исследовать на устойчивость решение уравнения— лу а'г = азу. а чь О, опрепеляемое условием у(тя) = уя Решение у =- у,еа П И неустойчиво, так кзк нельзя подобрать столь малое Ь > О. чтобы из неравенства !у, — у,! < Ь(с) следовало бы !уеап "' — у,е" и "!!<е я нля еа " "'! у, — у, ! < е при всех Г > те Исследование на устойчивость некоторого решения у,=у,(() ((=1, 2, ..., и) системы уравнений — '=Ф,(С, у,, ум ..., у„) (1=1, 2, ..., и) (4.1) может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения — точки покоя, расположенной в начале координат, Действительно, преобразуем систему уравнений (4.1) к новым переменным, полагая х, = у, — у, (!) (! = 1, 2...
и). (4.4) Новыми неизвестными функциями х, являются отклонения у,— у,(г) прежних неизвестных функций от функций у,(!), определяющих исследуемое на устойчивость решение. В силу (4.4) в новых переменных система (4.1) принимает вид — „' = — — ' + бэ, (г, х, + у, И), х, +. уФ),, х„.+ у„(()) (1=1, 2, ..., и).
(4.5) Очевидно, что исследуемому на устойчивость решению у, = у, (1) ((= 1, 2, ..., и) системы (4.!), в силу зависимости х, =у, — у,(У), соответствует тривиальное решение х,=О (1=1, 2, .... л) си. стемы (4.5), причем исследование на устойчивость решения у, = у,(Г) (1=1, 2, ..., и) системы (4.!) может быть заменено исследованием на устойчивость тривиального решения системы (4.5). Поэтому в лальнейшем без ограничения обшности можно считать, что нз устойчивость исследуется тривиальное решение или, что олно н то же, расположенная в начале координат точка покоя системы уравнений 1гл. 4 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ Сформулируем условия устойчивости в применении к точке покоя х4= — О (1= 1, 2, ..., а). Точка покоя х,=О (1=1, 2, ..., а) системы 14.5) устойчива в смысле Ляпунова, если для каждого е ) О можно подобрать Ь(е) ) О такое, что из неравенства 1х4((е)~ <Ь(г.) (1=1, 2, ..., а) следует ! х! (Т) ) < е (1 = 1, 2, ....
и) при Т )~ Т )~ Те. Илн несколько иначе: точка покоя х,= — О (1=1, 2, ..., а) устойчива в смысле Ляпунова, если для каждого е ) О можно подобрать Ь,(е) ) О такое, что на неравенства ~, х! (1 ) < Ь! (е) 4=1 следует при Г )~ Т, т. е. траектория, начальная точка которой находится в Ь;окрестности начала координат при 1 )~ Т не выходит ва пределы е-окрестности начала координат. й 2. Простейшие типы точек покоя Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя х = О, у = 0 системы двух линейных однородных уравнений с постояннымн коэффициентами: ах Л4 = "ПХ + "4ЭУ (4.
6) — = аэ,х+ аээу, 44'У 44! Э! где Ишем решение в виде х= а,е, у=о е (см. стр. 193). Лля ы ы определения л получаем характеристическое уравнение йа — (ап+ аш)14+(апа,э — ашаы)=О, ПРОСТЕПШИЕ ТИПЫ ТОЧЕК ПОКОЯ а, и аг с точностью до постоянного множителя определяются из одного из уравнений: (ап — А) а, + ажаг = О, иэ,а, + (и„— Ф) аэ = О, Рассмотрим следующие случаи: а) Корни характеристического уравнения я, и (гг действительны и различны. Общее решение имеет вид ьи ьн х = с,а,е ' + с,р,е ьк Фн (4.8) у = с,а,е ' +сфэе ', где а, и б, — постоянные, определяемые иэ уравнений (4.7) соответственно при !г=й, и при н=йг, а с, и сэ — произвольные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
