Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Пример 1. йх лу лг ' лг Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию откуда )о)х+ у)= г-1-1псь х-1-у = се'. Почленно вычитая из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию о (х — у) и (х — у) = — (х — у) или = — ег, лг х — у )п ) х — у ! = — С +1п сь х — у еле Итак, найдено двв конечных уравнения: х+у=с,е и х — у=с,е с -с из которых может быть определено решение исходной системы х = — (с,е + сяе ), у = — (с,е — еле ) 1 с -с 1 с -с 2 или х=с,с+с,е .
у=сге — сае — с — -с — с — -! 4 .з! нл хождяние интвгяиявямых комвннлцип !Уй Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно конечное уравнение Ф,(1, хн хг, .... х„) =сн связывающее неизвестные функции и независимое переменное; такое конечное уравнение называется первым интегралам система (3.1). Итак, первым интегралом Ф(т х~ хз хя) с (3.! 3) Ф,(Е хн х, ..., х„)=сн Фг ( хн хг...,, хв) — сг. Фа(г, хн х,, ..., «„)=с„, (3.14) Если все зти интегралы независимы, т, е, если хотя бы один определитель В(Ф~ Фг Фа) В(х,хт,...,х ) где х, х), ..., х) — какие-нибудь )г функций иа хн хг, ..., х„, то из системы (3.14) можно выразить м неизвестных функций через остальные и, подставляя в систему (3.1), свести задачу к интегрированию системы уравнений с меньшим числом неизвестных.
Если )г = и и все интегралы независимы, то все неизвестные функции определяются из системы (3.14). системы уравнений (3.1) называется конечное уравнение, обращающееся в тождество прн некотором значении с, если вместо х;(() (1=1, 2, ..., и) подставлено решение системы (3.1). Часто первым интегралом называют также левую часть Ф((, хн хг, ..., х„) уравнения (3.13), н тогда первый интеграл опрелеляется как функция, не равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение вдоль интегральных кривых системы (1).
Геометрически первый интеграл Ф(Е хн хг, ..., х„)=с при фиксированном с можно интерпретировзть как и-мерную поверхность в (а+1)-мерном пространстве с координатамн г, хн хм ..., х„, облалающую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имеющая общую точку с атой поверхностью, целиком лежит на поверхности. При переменном с получаем семейство непересекающихся поверхностей, обладающих тем же свойством, т. е. состоящих из точек некоторого (и — 1)-параметрического семейства интегральных кривых системы (3.1). Если найдено л интегрируемых комбинаций, то получаем )г первых интегралов: системы днеаеиенцидльных уравнении (гл. а Пример 2.
г(х ну тх — =у — л, — а — х, — =х — у. л(= ' и ' и= Сложив почленно уравнения этой системы, получим — + — + — = О или — (х+ у+ л) О, т(х Иу л'т лт т(т лт откуда х+у+» с,. Найденный первый интеграл позволяет выразить одну из неизвестных функций через остальные переменные и тем самым свести задачу к интегрированию системы двух уравнений с двумя неизвестными функциями. Однако в данном случае легко можно найти еще один первый интеграл. Уыпо>ким первое уравнение почленно на х, второе на у, третье на л и сложим: лх лу Лл х — + у — + л — = О. ти лт йт или, умножив на 2, получим — (ха+ ут+ лт) О, И т(г откуда хт+ ус+за = сг. Из двух найденных первых интегралов можно выразить две неизвестные функции через остальные переменные и тем самым свести задачу к интегри, роваиню одного уравнения с одной неизвестной функцией.
Пример 3. А — = ( — С) уг,  — = (С вЂ” А) гр. С вЂ” (А — В) рф ир , ло и'г лг л'т лг где А, В и С вЂ” постоянные (эта система встречается в теории движения твердого тела). Умножая первое уравнение на р. второе на и, третье на г и складывая, получим лр Ио и'г Ар — + Вд — +Сг — =О, л( лт дт откуда находим первый интеграл Ар'+ Вот+ Сг' с,. Умножая первое уравнение на Ар, второе на Вф третье на Сг и складывая. будем иметь Атр — + В'о — + Саг — = О.
та тл, лг лт л'т лг и. интегрируя, получим енсе один первый интеграл Аврт + Вари + Стгт = ст Если исключить случай А = В С, при котором система интегрируется непосредственно, то найденные первые интегралы независимы и, следовательно, пользуясь втими первыми интегралами, можно исключить две неизвестные $6 системы линенных диФФВРенциАльных уРАВнениЙ 181 функции, причем для определения третьей функции получим одно уравнение с разделяющимися переменными. Для нахождения интегрируемых комбинаций часто удобно переходить к так навываемой симметрической форме ааписи системы уран.
пений (3.1): лх, Лхь й~ (д Хь Хь ..., Хь) фг (й хь Хь ..., Хь). (3.1 б) %,(д хь хь ..., х„) Е,(Г, хь хь .... х„) ' где Фг(Д х,, хь ..., х ) у!(г хп хш °... х„)= ' ! (1=1, 2, ..., п). тч (! х~ хг...., х„) Пример 4 лх уя г Интегрируя уравнение лу (3.18) 2ху йхг лг 2ху 2хг ' находим — = сь Умножая числители и знаменатели первого из отношений у г системы (3.16) на х. второго иа у, третьего иа г и составляя производную пропорцию, получим хлх+у чу+ге» Лу х(хг+уг+г~) 2ху ' откуда 1п(х'-)- у-'-)- г') = !в ! у1+ !и с„ или хг+ уг+ гг у = с,.
Найденные независимые первые интегралы у хт+ ут+ гь 1 =с, определяют искомые интегральные кривые. ф 4. Системы линейных дифференциальных уравнений Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она лннейна относительно всех неизвестных функций и их производных. Система и линейных уравнений первого порядка. записанная В системе, заданной в симметрической форме, переменные входят равноправно, что иногда облегчает нахождение интегрируемых комбинации. 182 системы диФФеРенциАльных уРАВнения !Гл. а в нормальной форме, имеет вил — а!1(Т)хт.+У!(Ю), (1=1, 2, ..., и), (3.17) 1 или в векторной форме — = АХ+ Р, (3.18) где Х есть и-мерный вектор с координатами х!(1), х2(1), ..., х„(!), Р есть и-мерный вектор с координатами у1(г), уа(г), ..., у„(г), которые удобно в дальнейшем рассматривать как одностолбцовые матрицы: ах! иг Согласно правилу умножения матриц строки первого множителя должны умножаться на столбец второго, следовательно, АХ+ г" = ~~х! ) Х= аи аж а21 а22 ''' атл ~ ал! ал2 ' ' ' ала 1~ аых! 1=1 хл "м 1=1 ~и~~ аыхт+ у', / 1 ю ~ а21хт-+ У"2 !=1 $ е! системы линейных лиФФеРенпиАльных УРАвнения 183 равенство натрии означает равенство всех их элементов, следовательно, олно матричное уравнение (3.18) или Х [ ~аых +7, /=1 ~!'".
2~~ ажху+ уэ ! ~ а,7х!+ух А 7=1 йх, йг Их, йг эквивалентно системе (3.17). Если все функпии аы(Г) н 7',(Г) в (3.!7) непрерывны на отрезке а ( Г ( К то в достаточно малой окрестности каждой точки (~в х1о хзв ° ° ., х„з), где а (!в (о, выполнены условия теоремы сушествования и единственности (см. стр, 169) и, следовательно, через кажлую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (3.17). Действительно, в рассматриваемом случае правые части системы (3. 17) непрерывны.
и их частные производные по любому х7 ограничены, так как эти частные производные равны непрерывным на отрезке а (г (й коэффициентам а,7(Г). Определим линейный оператор 7. равенством 7. [Х[ = — „— АХ, Если все Д,(!)=0 (1=1, 2, ..., п), или, что то же самое, матрица АР=О, то система (3.17) называется линейной однородной. В краткой записи линейная однородная система имеет вил Ь[Х)=0. (3.20) Оператор 7.
обладает следуюшими двумя свойствами: !) 7.[сХ[=с(.[Х[, гле с — произвольная постоянная. 2) 7.[Х, + Ха[=7.[Х,[+7.[Хз[. Действительно, — — А(сХ)= — с~ — — АХ~, й (еХ) гйХ йг 1 йт — А~Х А-ХЗ [ — — АХАА.[ — АХ) й (Х|+ ХА) гйх ! гйх йА — ~йг з~ ~й( тогла уравнение (3.18) еше короче можно записать в виде 7. [Х[ = )Р. (3. 19) СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 1гл. а Следствием свояств 1) н 2) является Л [ ч",,Х,1= — ч'„,С (Х,], [.ь=! ,1 1=! где с, — произвольные постоянные.
Теорема 3.1. Если Х является решением линейной однородной системы 1.[Х]=0, то сХ, где с — произвольная постоянная, является решением той же системы. Доказательство. Дано Е(Х]= — О. надо доказать, что А(сХ]=0. Пользуясь свойствои 1) оператора Е, получим Е [сХ] = сЛ [Х] = О. Теорема 3.2.
Сумма Х,+ Хе двух решений Х, и Ха однородной линейной системы уравнений является решением той же системы. Доказательство. Дано ЫХ!(= — 0 и 1,[ХЕ]=0. Требуется доказать, что Е (Х, + Хь] = О. Пользуясь свойством 2) оператора Ь, получим Л(Х!+Х,! ==1.[Х!]+С[Х,]=— О. Следствие теорем З.ь и 3.2. Линейная комбинация ~ с,Х, !=! с произвольными постоянными коэффициентами решений ХР Х,, ..., Хи линейной однородной системы Л(Х(= 0 является решением той же системы. Теорема З.З. Если линейная однородная система (20) с действительными коэффициентами аы(1) имеет комплексное решение Х= У+1]с, то действительная и мнимая части и, и„ в отдельности являются решениями той же системы.
Доказательство. Дано ь]е!+11']=0 паап аоказать, что А[[у]=— 0 и Аяе— т О. Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора Е, получаем У. [и+ И[=). [и]+ 1).т = О. Следовательно, А[У]=0 и Ь[["]=О. я а смстпмы линейных днааяиянпилльных аялвнянии Векторы Х,, Хз,,... Х„, где х1с (й) хш (й) 'Х/— х„, (() называются линейно зависимыми на отрезке а (1(Ь. если существуют постоянные а,, аз, ..., а„такие, что а,Х,+а Х + ... +а,Մ— = 0 при а (г (К причем по крайней мере одно а; Ф О.
Если же тождество (3.21) справедливо лишь при а, =аз = ... =а„=О, то векторы Хн Х,, ..., Х, называются линейно независимыми. Заметим, что одно векторное тождество (3.21) эквивалентно и тождествам: ~~ а,хы (т)— = О, 1=1 лл а,хы(т)=--0, 8=1 (3. 21,) ~ а,х„, (т) = О. Если векторы Х,(1 = 1. 2, ..., и) линейно зависимы и значит существует нетривиальная система а, (т.
е. не все а, равны нулю), удовлетворяющая системе и линейных однородных по отношению к а, уравнений (3.21,). то определитель системы (3.21,) 1~ 6 (р ~~~ хы хш ° ° ° хз„ хю Хт хле должен быть равен нулю лля всех значений г отрезкв а (1 (Ь. Этот определитель системы называют определителем Вронского для системы векторов Х,, Хы ..., Х„. Теорема 3.4. Если определитель Вронского (т' решений Хн Х...., Х„линейной однородной системы уравнений (3.20) с непрерывными на отрезке а ~,т (ф коэффициентами аш(г) равен нулю хотя бы в одной точке 1=1е отрезка ай С (о, то решения Хн Х, ..., Х„линейно зависимы на том зке отрезке, и, следовательно, на рассматпривавмом отрезке Ф' — О, Ф снствмы днеэвианцилльныя кялвняннп 186 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
