Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 29
Текст из файла (страница 29)
в этом случае по кажлой траектории Х = Х (1) совершается бесконечное множество рзэличных движений Х = Х (Г + с), где е — произвольная постоянная, в чем легко убедиться, совершив замену переменных 1, = 1 + с, при которой динамическая система не изменит своего вида: — = Р(Х).
ах ае, и следовательно, Х = Х(1,) булет ее решением, или в прежних переменных Х = Х(1 + с]. интегРНРСВАние системы уРАВнении Если бы через некоторую точку Х„ фззового пространства в рассматриваемом случае проходили две траектории Х2 (г) и Х Хз (г)' Х2 (гэ) Хз (гз) Хс' то, взяв на каждой из них то движение, при котором точка Хэ постигается в момент времени г=гз, т.
е., рассматривая решения Х = Х,(à — Г,+7,) и Х = Х,(à — ус+72), получим противоречие с теоремой существования и елинственности, так как два различных решения Х,(à — Ге+ге) и Хз(à — гс+Гэ) удовлетворяют одному и тому же начальному условию Х (гс) = — Х . П Р и м е р. Система уравнений — =у, — „= — х лх лу кт ' кг (3.3) имеет, как нетрудно проверить непосредственной подстановкой, слелующее семейство решений: х = с, соз (2 — с,), у = — с, мп(г — с,). рассматривая г как параметр, получим на фазовой плоскости х, у семейство окружностей с центром в начале координат (рнс.
3.1). Пра- Рис. 3.1. вая часть системы (З,З) ие зависит от Г и удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, поэтому траектории не пересекаются. Фиксируя сь получим определенную траекторию, причем различным с, будут соответствовать Различные движения по этой траектории, уравнение трзектории х + у = с, не зависит ат с,, так что все движения прн фиксированном с, 2 2 совершаются по одной и той же траектории. Прн с, =О фазовая траектория состоит нз одной точки, называемой в этом случае точкой покоя системы (3.3). ф 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению более высокого порядка Олин из основных метолов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений системы (3.1) и из уравнений, получающихся дифференцированием урзвненнй, входящих в систему, исключают все неизвестные функции.
кроме одной, для определения которой получают одно дифференциальное уравнение более высокого порядка. Интегрируя зто уравнение более высокого порядка, находят одну из неизвестных функций, а остальные неизвестные функции, по возможности без интегрзций. определяются из исходных уравнений и уравнений, получившихся в результате их дифференцирования. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНБИАЛЬНЫК УРАВНЕНИЙ (гл. а Иллюстрируем сказанное примерами. Пример 1. сгх лсу у. — х. с(с ' лс "х лу Дифференцируем одно из уравнений, например первое.
†. = — и, исклюльч с(с сссх чая — с помощью второго уравнения, получим —. — х = О. откуда ссг ли х с,ес+ ссе . Используя первое уравнение, получаем у — = с,в — сяе с -с с(с Мы определили у без интеграций с помощью первого уравнения. Если бы мы определили у из второго уравнения — х= с,е +ссе сту с -с ет ! у с,е — с,с + с,, лх — = Зх — 2у, ссс (3.4!) ссу — = 2х — у.
с(с (3.4с) Дифференцируем второе уравнение: лсу лх ссу — = 2 — — —. стас с(1 (3.5) лх Из уравнений (3.4,) и (3.5) определяем х и —; л) ' (3.6) Подставляя в (3.4,), получим псу с!у — — 2 — + у = О. с(С с с(С Интегрируем полученное линейное однородное урзвнение с постоянными коэффициентами у= лс(с, + ссТ) н. подставляя в (3.6). находим х(С)! 1 х= —,е'(2с,+с,+ 2с,с).
2 ' Пример 3. Лх аеу — =у, — х. ли ' ли то ввели бы лишние решения, так как непосредственная подстановка в исходную систему уравнений показывает, что системе удовлетворяю~ функции х = с,с!+с!в ', у с,с' — с,е с+с! не прн произвольном си а лишь прг сз О. Пример 2. 173 ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ еру их 1(ифференцнруя первое уравнение, получим — — , я, подставляя во ли Ф' ' вчх второе уравнение, будем иметь — х. Интегрируя ето линейное одно- Ж" родное уравнение с постоаннымв коэффициентами, получим х с,е'+е,е '+с,созе+с,в!пд и, подставляя в первое уравнение, находим у е,е'+ е,е — с, сое т — е, в!па Опишем теперь более точно процесс исключения из системы уравнений всех неизвестных функций, кроме олной.
Покажем вначале, что одна из неизвестных функций. например х,(т), входящая в состав решения х~(1), хз(1), ..., х,(1) системы дифференциальных уравнений: лх, лх1 — =уз(1, хн хз, ..., х„), (3.1) — "=у„(1, х„х,, ..., х„), удовлетворяет некоторому уравнению а-го порядка, при этом мы предположим. что все функции ~, имеют непрерывные частные производные до (и — 1)-го порядка включительно по всем аргументам. Подстзвив в систему (3.!) некоторое решение х,(У), хе(1), ..., Хе(1), обратим все уравнения системы в тождества.
В частности, в тождество обратится и первое уравнение системы л'х, ХН Хт Хе) Продифференцируем это тождество по 1: и Лех| дЛ ~ч дУ, Лх~ Ше Ш + а~~а дх; Лг или (3.7а) 1=1 и, обозначив правую часть последнего тождества Гт(1. хц х,.... х„), получим: — „,„' =Ря(1, хн хз..... х„). (3. 7зе) системы диеевявнцилльных яяавнвнии (гл. а Снова дифференпируем это тождество: п азх! дРз Сч дРз ахз ан дГ +д'.а дх; и ' 11 или п азх! дРз ~~ дРз — = — + ' — 7!. атз дГ гп' дх! !и1 (3 7з) и, обозначив правую часть послелнего тождества Рз(~, хн хя, ..., х,), получим: — „,' = Рз(Г, х,, хя, ..., хп). (3 7з) ап 1Х, агл =Рп,(Г, хн хя, ..., «п), (3. 7„1) дифференпируя которое еще раз и пользуясь тождествами (ЗИ), будем иметь: алх! агп Рп (Г Х! ° ХМ ' ', Хп) Итак, получены и — 1 тождеств ах, — =Д1(г, х,, хя, ..., хп), а'х, —,' = Ря(Г, х,, хя, ..., хп), (3,7,) (3.7я) (3.7) ал-1«, ,' = Рп, ((, хн хя, ..., хп) (3.7п 1) — п — 1 ° 1 я ° .
л и еще одно тождество ах, агл = Рл(з «1 Хя ° ° ! Хл) (3.8) Предположим, что в рассматриваемой области изменения переменных определитель О(7!, Рз, Рз, ., Р.,) ~ п~ (Хз Хз Х» " Хп) Тогда систему (3.7) можно разрешить относительно х, х, ..., хп, выразив их через переменные 1. хн — ', ..., — '. Подставив аг атл Опять днфференпируем это тождество и, продолжая этот пропесс и — 2 раза, получим, наконеп, тожлество ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 175 найленные нз системы (3.7) переменные хм хз, ..., х„в последнее уравнение (3.8), пвлучим уравнение а-го порядка (3.81) которому удовлетворяет функция х,(Т), являвшаяся по предположению функцией х1(К) решения х1(Т), ха(Т), ..., х„(Т) системы (8.1).
Докажем теперь, что если взять любое решение х1(Т) полученного уравнения л-го порядка (3.8,) подставить его в систему (3.7) и определить из этой системы хз(7), хз(Т), ..., х,(г), то система функций х1И), хз(т), ..., х„(т) (8.9) дх1 1 Л( х1 ха ''' х) Дифференцируя это тождество по Т, будем иметь: (8.71) Фх, ду1 ~~ ду1 дх1 11Н дФ + ~Й~ дх1 дг 1=1 (8. 16) В этом тождестве пока нельзя заменить — функциями 71, так как дх1 дГ мы еще не доказали, что полученные указанным выше путем из уравнения (3.8) и системы (3.7) функции х,, хз, ..., х, удовлетворяют системе (3.1), более того, именно это утверждение и является целью нашего доказательства. Вычитая почленно из тождества (3.10) тождество (3.71), взятое в развернутом виде (3.71), получим х 11 илн, в силу (3.7,), 1юв будет решением системы (3.1).
Подставим найденную систему функций (3.9) в систему (3.7) и тем самым обратим все уравнения этой системы в тождества; в частности. получим тождество СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ 173 [Гл. 3 Совершенио аиалогично, диффереицируя тождество (3.7Д и вычитая (3.72), затем дифференцируя тождества (3.7з) и вычитая (3.7а) и т. д., получим: л 1=2 Так как определитель линейной однородной системы уравнений 1=2 (3.11) состоЯщей из (и — 1)-го УРавиеииЯ с и — 1 неизвестными ! — — 72) 7 а(ха ! лг (1=2, 3, .
Л), совпадает с ог1личиым от нуля функциональным определителем !)(У' Р' " Рл- ) Ф О Р (х,, ха...., х„) — ' — У'1= — О (1=2, 3...., Л). «ГХ1 лг Принимая во внимание еще (3.7,), получаем, что и функций х,, х, ..., хл являются решением системы уравнений — '=71(1, х,. хг... ° хл) (Е=1, 2, ..., Л).
Заме ч а ние 1. Указаииый здесь процесс исключения всех функций, кролае одной, прелполагает. что В(л Р'" Рл-1) ФО. (г (ха ха ° ° хл) (3.12) то система (3.! 1) в каждой точке рассмзтриваемой области имеет только тривиальные решения ннтегэнпованне системы эелвненнн Если это условие не выполнено, то можно применить тот же процесс, но вместо функции х, взять какую-нибудь другую из функций хю хз, ..., х„, входящих в решение системы (3.1).
Если же условие (3.12) не выполняется при любом выборе вместо хз какой- нибудь функции из хз, хз, ..., х„, то возможны различные исключительные случаи, которые мы иллюстрируем следующими примерами. Пример 4. Фаз — -Л(г л) згг Нлз — =уз(т лз) лз' лаз — =/з(т лз). лз Система распалась на соверщенно независимые между собой ураввения, каждое из которых приходится интегрировать отдельно. Пример 5. Их, — =уз (д х,). дс — =уз(Г -тз лз) — Ф О лиз дУз зтт ' ' ' дхз дхз ,гз(Г лз лз) лт Два последних уравнения можно указанным выше методом свести к одному уравнению второго порядка, но первое уравнение, содержащее неизвестную функцию хь не входящую в остальные уравнения, надо интегрировать отдельно. За меч ание 2. Если применить указанный выше процесс исключения всех неизвестных функций, кроме одной, к системе — = Г а, (т)х (1=1,2,..., и), )=з называемой линейной однородной, то, как нетрудно проверить, уравнение и-го порядка тоже будет линейным однородным, причем если все коэффициенты агу были постоянными, то и уравнение (3.8,) будет линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами.
Аналогичное 12 Л. э. эльсглльч )тв СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ )гл. з замечание справедливо и для линейной неоднородной системы лх! ъч — ! = у аы (!) х) + у! Щ (Х= 1, 2, ..., и), ) 1 для которой уравнение (3.8!) будет линейным неоднородным уравнением и-го порядка. $3. Нахождение интегрируемых комбинаций Интегрирование систем дифференциальных уравнений лх! — '=уг(1. х!, хз...., х„) (1=1, 2, ..., и) (3.1) нередко осуществляется путем подбора так называемых интегрируемых комбинацпй. Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (3.1), но уже легко интегрирующееся, например являющееся уравнением вида СЮ(Г, ХР ХЗ ' ' ° Хл) О или уравнением, сводящимся заиеной переиенных к какому-нибудь интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
