Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 25
Текст из файла (страница 25)
тем более, хя и хя с большими индексами, будут иметь множитель 1А в степени не ниже л + 1. В этом параграфе мы рассматриваеи лишь вопрос о нахождении периодических решений, поэтому на правую часть уравнения 149 МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА % з! А(ля нахождения периолического решения уравнения (2.108) в виде х(1, !Г)=хз(Х)+ цх,(~)+ ... +!А"х„(!)+ ... (2.110) надо определить периодические решения хл (г) уравнений (2.109) Действительно. если решение х ((, (А) имеет постоянный период 2п (или 2тп, пг — целое число) при любом достаточно малом по модулю )А, то хз(~)+ !Ах, П)+ ...
+(г"х„(!)+ ... = — хо(!+2п)+ + Рх, (1+ 2п) + ... + !г" х„(Г + 2л) + ... (2.111) Следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях 9 в левой и правой частях тождествз (2.111) должны быть равны, т. е. х„(!) = х„((+ 2п), а это и означает периодичность функций е„(() (в=О, 1, 2, ...). Совпадение. коэффициентов при одинаковых степенях 9 в левой и правой частях тождества (2.110) можно обнаружить, например, дифференцируя тождество (2.! !О! а раз по !А, после чего, полагая 9 =О, получим лл (2п + ~) = х„(!) (и = О, 1, 2, ...). Итак, нам надо найти периодические решения уравнений (2.109).
При этом целесообразно отдельно рассмотреть следующие случаи. 1. Нерезонансный случай: а отлично от целого ч и с л а. Если а не равно целому числу, то первое нз уравнений (2.109) имеет елинственное периодическое решение хз=грз(!), которое находим метолом предыдущего параграфа (см.
стр. 144). Затем тем же методом находим х,(Г), хя(() и т. д. Если бы этим методом мы нашли общий член ряда (2.1!0), установили сходимость этого ряда и законность его двукратного почленного лифференцировання, то сумма ряда (2.! 10) являлась бы искомым периодическим решением периода 2п. Однако обычно нахождение общего члена ряла (2.110) является крайне сложной задачей, в силу чего приходится ограничиваться вычислением лишь нескольких первых членов ряда, что было бы достаточным для приближенного нахождения периодического решения. если бы была уверенность в том, что рял сходится и его сумма является периодическим решением.
В связи с этим большое значение имеют теоремы А. Пуанкаре о существовании периодических решений, позволяющие, в частности, найти условия, при которых заведомо существует единственное периодическое решение уравнения (2.107), стремящееся при !А-Р 0 к периолическому решению порождающего уравнения. Если условия теоремы А. Пуанкаре выполнены и, следовательно, существует единственное периодическое решение уравнения (2.107), стремяшееся при р- 0 к периодическому решению порождающего уравнения. то сумма единственного ряда с периодическими козффи- УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЪ|ШЕ ПЕРВОГО !Г.Я. Э 160 циентами (2.110), формально удовлетворяющего уравнению (2.!07), должна существовать и должна совпадать с искомым периодическим решением.
При этом отпадает необходимость нахождения общего члена ряда (2.110) для исследования ряда на сходнмость и можно, найдя несколько первых членов ряда (2.110), утверждать, что при малом р их сумма приближенно равна искомому периодическому решению. Теоремы А. Пуанкаре, опирающиеся на сведения из теории аналитических функций, довольно сложны, поэтому мы приводим в конце этого параграфа лишь простейшую из этих теорем, которая, однако, уже позволяет утверждать, что в рассматриваемом иерезонансном случае уравнение (2.107) всегда нчеег единственное периодическое решение прн достаточно малом р.
П р н м е р 1. Приближенно определить периодическое решение уравнения х+ 2х = з!п Г+ рх', где р — малый параметр (определять два члена ряда (2.!10)). Ищем решение в виде х(д !г) =х,(Г)+Их, (!)+ ... +!гяхя(Г)+ ... Находим периодическое решение порождающего уравнения х,+2х,=мпд хя(!)=з!ВГ Периодическое решение уравнения 1 — соа 2Г х, -(-2х, = з!п'Г илн х, -1-2х, = 2 имеет анд 1 соа 2! х,= — + 4 ' 4 Следовательно, периодическое решение 1 х (1, р) ге з!и г + — (1 + соа 2!) и.
4 2. Р е з о н а н с и ы й с л у ч а й. Метод малого параметра может быть применен и в резонансном случае, т. е. в случае, когда В уравнении (2.! 07) а равно целому числу и или стремится к целому числу и при р — ьО. Если в уравнении (2.107) а мало отличается от целого числа и, . точнее. равность а' — ит имеет порядок малости не ниже чем рл аз — и' = а,р, (2.1!2) где а, ограничено при р -ь О, то уравнение х+атх=у'(Г).+)ггч(1, х, х, )4) можно переписать в виде х+итх=у (1)+(ит — ат) х+!АГ(!. х, х, !А), метод мАлОГО пАРАметРА з 8] откуда в силу (2.1121 х+птх =)'(Г)+ 122Е2 (г, х, х, 1А), где функция Р, удовлетворяет тем же условиям, которым по предположению удовлетворяет функция гч.
Следовательно, в дальнейшем в резонансном случае можно считать а равным целому числу: х+лзх=у'(1)+рР(1, х„х, 1А). Применяя метод малого параметра, ищем периодическое решение з виде ряда х(1, 1А)=хв(1)+12х,(1)+ ... +!А~ха(Ю)+ ... Для опрелеления функций хв(1) опять получаем уравнения (2.109), в которых аз=из, но в данном случае порождающее уравнение ха+' и хо =У(1) (2.! 13) имеет периолическое решение лишь в случае отсутствия резонирующих членов в правой части. т.
е. при выполнении условий (см. стр. 145) ~У(г)созл1 (1=0, о 2л ~ У (г) з1 и п1 Г11 = О. е (2. 106) хе (1) = сю соз п1+ сзе з1п лг + ф (Г). Функция х,(1) определяется из уравнения х,+лзх, = г (1, хе, х„, 0). (2. ! 14) Это уравнение также имеет периодические решения лишь в случае отсутствия реаонирующих членов в правой части, т. е.
при выполнении условий Г" (1, хе, х,, 0) созиг Ш =О, 0 2л Р(~, хе, хв, О) з1п лт пг =О. в (2.115) Если зти условии выполнены, то все решения уравнения (2.113) будут периодическими периода 2п (см. стр, 146) УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО 152 !Гл. т Уравнения (2.115) содержат сга и сю, которые, вообще говоря, и определяются из этой системы. Пусть сы и сзе удовлетворяют системе (2.115); тогда все решения уравнения (2.114) имеют период 2п: х, (1) = с н соз п1 -1- сю зш пГ + 4~, (Г), (2.!!6) причем сн и с„ опять определяются из двух условий отсутствия резонирующих членов в следующем из уравнений (2.109): к=к, х = ко к=х, Р=О Р=З Р=О ит.
д. Следовательно, не каждому периодическому решению х, = с| сов аГ + с, з ! и л1 + ~р (1) порождающего уравнения, а лишь некоторым, значения сю и ст которых удовлетворяют уравнениям (2.115), соответствуют периодические решения уравнения (2.!07) при малых р. Конечно, и в резонансном случае для того, чтобы, не находя общего члена ряда (2.110), быть уверенным, что указанным процессом будет найдено периодическое решение, надо предварительно доказать теорему о существовании периодических решений. Это замечание относится и к случаям, изложенным в следующих пунктах 3 и 4. 3.
Резонанс н-го рода. Иногда в системах, описываемых уравнением х+азх= 7(Г)+рР(1, х, х, р), (2. 107) удовлетворяющим указанным выше условиям, наблюдаются интенсия- 1 ные колебания, когда собственная частота мало отличается от — , л' где а — целое число. Это явление получило название резонанса и-го рода. С математической точки зрения это означает, что при а, мадо 1 отличающемся от —, где и — целое число.
большее единицы, уравнение (2.107) может иметь периодические решения периода 2пл, не являющиеся в то же время периодическими решениями периода 2п. Пусть х+ —, х = 7'(1)+!АР(Г, х, х, р) 1 (2.1! 7) МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА 2 2! Подставляя (2.110) в уравнение (2.117) и сравнивая козффипненты при 1 одинаковых степенях р, получим уравнения (2.109), в которых а = —. в Для определения хо(!) получаем порождающее уравнение хо+ —, хо =.7 и) 1 л !(2.118) котороо имеет периодическое решение периода 2пл лишь при отсут- ствии в правой части резонирующих членов, т. е. при 2лл 2ЛЯ / (1) сов — Г!! = О и ! 7 (г) в)п — ж = О. / л ',l л Если эти условия выполнены, то все решения уравнения (2.118) имеют период 2пл хо = сю соз + соо 3!п + ГРо (7) где сш и с,о — произвольные постоянные.
Уравнение, определяющее хо ! х2+ ло х2 =Р (г хо хо р) (2.119) будет иметь периодические решения периода 2пл лишь при отсутствии в правых частях резонирующих членов, т. е. при выполнении условий алл Р (~, х, х,, р)соа — Г12= 0, л а 2лл Р (!, хо, хо, !2) 21п — Ш = О, л о (2. ! 20) из которых, вообще говоря, определяются с,о и с .
! 2 (если а мало отличается от †, точнее, ло — — = ран где а, остается л по= ограниченной при 9-2 О, то, перенося член (а — — „) х в правую ! ! часть и включая его в рР(1, х, х, )2), получим уравнение вида (2.117) ). Ищем периодическое решение уравнения (2.117) периода 2пл в виде ряда х(! р)=х (!)+!Ах,(()+ ° .. +р х„(г)+ ° ° ° (2 110) 154 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !ГЛ. Я Если условия (2.120) удовлетворяются, то все решения уравнения (2.119) имеют период 2пп х,=сн сов — +сп Вш — +ф,(Г).
Для определения произвольных постоянных сц и сю пользуемся двумя условиями отсутствия резонирующих членов в следующем из уравнений (2.109): + 1 (др~ +(дР) +(дР') к=к, к=к и=з к=ко Р=о в=з и т. д. 4. Автономный случай. уравнения (2.107) не зависит явно Предположим. что правая часть от Г, и уравнение имеет внд х+аах=рГ(х, х, р), (2.12! ) х(Г, )ь)=ха(!)+!Ах,(Г)-+ ...
+и"х„(!)+ .... (2.110) так как каждая из функций х„(Г) в отдельности не обязана быть периодической функцией и, следовательно, функции хк(С) не могли бы быть найдены рассмотренными выше методами. Поэтому надо преобразовать уравнение (2.121) к новому независимому переменному так, чтобы по новому переменному уравнение имело бы уже постоянный период, а уж ватем искать решение в виде ряда (2.110).
где функция Г удовлетворяет поставленным выше условиям. На первый взгляд может казаться, что исследование уравнения (2.121) должно быть проще исследования уравнения (2.107), в котором правая часть зависит от аргумента Г, однако в действительности отсутствие аргумента Г в правой части уравнения приводит к усложнению задачи. Если правая часть явно зависит от Г, то, как уже отмечалось выше. известны возможные периоды решений, так как периоды решений могут быть лишь равными или кратными периоду правой части вдоль решений по явно входящему аргументу Е Если же правая часть не содержит Г, то ее можно рассматривать как периодическую функцию произвольного периода и, следовательно, не исключена возможность существования решений любого периода, причем период решений, вообще говоря, будет функцией параметра )ь. Ввиду того, что период решения х(Г, 1А) является, вообще говоря, функцией 1к, было бы нецелесообразно искать решение в виде ряда МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА $81 Предварительно для упрошения преобразуем уравнение (2.121) заменой независимого переменного Г, = а1 к виду Лах —,, +х= рР,(х, х, р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
