Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 22
Текст из файла (страница 22)
9 Л. Э, Эеьсгохьч действительная часть решения которого должна удовлетворять исходному уравнению (см. стр. П4 — 115). Частное решение уравнения (2.75) можно искать в вида у= Ае'". УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО )ГЛ. 2 Непосредственной проверкой легко устанавливается справедливость следующих тождеств: 1) Р(О) ел"— = егиР(а), 2) Р(02) я!п ах в = з!п ахР( — ат), 3) Р (02) соз ах= — соз ахР( — ая), 4) Г(0) еи "о(х)=ел"Г (В+ 12) о(х). Действительно: 1) Р(0) е~"=(аяО" + а,Ол '+ ... +а„)еел= 2) Р(02)з!пах=(аеО~" +а,022 +... + ал,02+ а„)я!пах= = [ая( — а )л+ а,( — ая) +... + ал,( — а )+ а„|я!и аХ = = я!и ах Г ( — а').
Тои!Дество 3) доказывается совершенно аналогично: Р(02) соя ах =сояахР( — ая). л 4) Г (О) е" и(х) = ~„аи РОР (е"" о (х) ) = р=я и =еьи У ал р ~А~О(х)+ Р)2» Оо+ р=е + р(,Р— 1) ар-202 + + Ор 2! = Еаи у ал (О+ й)р О = Е"иГ (О+ гг) О(Х). л-р Р=О Суммой двух операторов Р,(О) и Г2(0) называется оператор (Р,(0) + Р2(О)). действие которого на некоторую функцию у (х) определяется равенством [Р, (О) + Р2 (О)] у (х) = Р, (О) Г' (х) + Р2 (О) 1' (х). Из этого определения следует, что и л и так как действие левой и правой частей этого равенства на некоторую а раз дифференцируемую функцию у (х) приводит к одному и тому же результату, т. е.
правило сложения операторных много- членов не отличается от правила сложения Обычных (не операторных) многочленов. неоднородные грлвнення с постоянными коэи. !31 Произведением двух операторов Р,(В) ° Гт()р) называется оператор, действие которого на некоторую достаточное число раз дифференцируемую функцию /(х) определяется равенством Р, (О) ° Гя (1)) /(х) = Р, (0) [Ро (й) /(х)!, т. е. на функцию /(х) действует сначала правый множитель, а затем на резуоьтат действия правого множителя на функцию /(х) действует левый множитель. Исходя из этого определения, нетрудно обнаружить, что правило умножения операторных многочленов не отличается от правила умножения обычных (ие операторных) многочленов. Действительно, о 1 Я О р=.о о=о так как '! Рй р=о о=- о р ь о р=о о о р=оо=о что совпадает с результатом действия оператора ~ ~ а„ рб 0р+о на /(х). Из (2.77), в частности, следует коммутативность умножения операторов Г,(О) Г,(О) =Г,(п) Г,(О).
Справедливость дистрибутивного закона Г(в)(Р,(В)+Г,(ВИ=Р(о)Р,Ф)+Р(0) Г,(О) непосредственно следует из правила дифференцирования суммы. Следовательно, действия слоисения и умножения с операторными многочленами не отличаются от тех же действий с обычными (не операторными) многочленами.
1 Определим теперь оператор Г( ) . 1 Результатом действия оператора —. на некоторую непрерыв- Г(Р) ную функцию /(х) является решение уравнения Г(О) у =/(х), у = —,/(х). 1 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫП!Е ПЕРВОГО 132 !гл. я Следовательно, (2.79) 1 Можно было бы считать, что /(х) является решением уравнения (2.
78), определяемым какими-нибудь конкретными, например нулевыми, начальными условиями, однако для наших целей удобнее 1 считать, что — /(х) является одним из решений, все равно каким, г (В) 1 уравнения (2.78) и, следовательно, действие оператора — на нег" (В) которую функцию /(х) определено лишь с точностью до слагаемого, равного решению соответствующего однородного уравнения. 1 При таком понимании действия оператора „, будет справедливым равенство — [Р (В) /(х)) = /(х), 1 г ()Э) так как /(х).
очевидно, является решением уравнения гч(В) у = г". (В)/(х). (2.80) Поэтому в формулах (2.79) и (2.80) скобки можно опустить. Заметим еще, что 1 ! так как — /(х) является по определению оператора — реше- ВР Р (В) нием уравнения Вгу=/(х). ! Проверим следу!Оц(ие свойства оператора 1 1 !) )г/(х) = )1 — /(х). где )г — постоянный множитель, так как Г(В) й — /(х) =)ГР (В) /(х) = (г/(х). 1 1 Г(В) 2) —.
е = —, если 7' ((г) ~ О, еьг 8(В) г !)г) ' Произведение операторов Ф (В) на определяется равенсгвоч Ф(В) „(В) /'(х) =Ф(В) ~„~~» /(х)~ Аналогично Р(О) Ф(В)/(х)= (Ф(В)/(х)). нводноподныя явлвняния с постоянными коэе. ех' Действительно, — является решением уравнения тч(р)у=ах", Р'(А) таь как по формуле 1) стр. 130 ел» Р (А) е»' ~(~) ~~и> = г(л) 1 Мп ах 3) — в!пах =, если хо( — а')~ О. Р(Р') Р( — ас) ' и!и ах Действительно, является решением уравнения Г(ра)у= =а!пах. так как по формуле 2) стр. 130 а!и ах ! Р(ра) „,, ==- „я) то( — ат)а!и ахи = шпах, 1 сох ах 4) — совах = ~(ЕИ) Р( — а') ' , если !о( — а!)+ О, так как по формуле 3) стр.
130 Действительно, е „. о (х) является решением уравнения хх тт(Р) у=с"о(х), так как по формуле 4) стр, 130 ~(р) Хх ( .) Мхо (р + х) ( ) Ейх ! хх Р(Е>+ А! ! ! ! 6) — [у!(Х)+ус(х))= ~(„) у!(х)+ (р ся(х). Это равенство является следствием принципа суперпозицни (стр. 114).
1 1 1 " ('(Р) ЫЮ~(")= ~,(Р) ~ (Р)У"' т. е. 1 Г 1 у= р (р) ~~ (р) у(")1 (2.8! ) является решением уравнения ~с(р) ~я(р) у =у(х). (2.82) Действительно, подставляя (2,81) в (2.82), получим )с (р) ~с(р) — ~ — Е (х)~= Ря(р) — 1(х) — = у (х). 1 Г ! т ! 'я ! а,(ст) ~ л,(р) (= я н,(тт! Р(р ) —.— соа ах д ( — а') 5) — е хо и (х) = еах Г (В) Г( — ае) совах==соя ах. 1 1 + о (х). УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО ]ГЛ. 2 Приведем несколько примеров нахождения частных решений линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами операторным методом: «у" +4у=е", или (Вз+4) у =а".
откуда ах В'-1-4 5 ' 2) у'У+ у = 2 сов Зх, или (В'+ «у = 2 соз Зх, 1 2созЗХ ! Вз+ 1 ( — 9)'+! 41 3) У"-1-9У =-5ып х, (Вз+9) У = 551п х, 1 55]их 5 у= 55]п х= = — 5]п х. 4) уа — 4у -(-4у=хех ( — 2) у=хе», 1 2х 2 2х 1 2 2» у= е-х =е — х =е ( — 2)' Вз 12 5) у — Зу" +Зу — у= 5", ( — «у = е', 1 У= (В «з х(Л)=О, поэтому вместо второй формулы применяелз формулу 5) (стр. 132 †1). рассматривая ах как произведение ех 1: 1 1 ххз у (В «за '! з Вз]=х б) у" — у = 5]п х, (2,83) (В' — «у = ]и 1 у=, ! мпх. Так как оператор содержит нечетные степени В, то воспользоваться формулой 4) нельзя.
Поэтому вместо исходного уравнения рассмотрим уравнение (В' — « у = е".. ила (В «у сох х'+15]пх. (2.84) Мнимая часть решения уравнения (2.84) будет решением исходного уравнения (см. стр. 115): .1, езх — хз» ( — 1+ 1) (соэ х+1 5]п х) у= — е» Вз ! ]з ! ] 2 1 з = — — (соэ х+ 5]п х)+ — (соз х — 51п х) 2 2 Сез Х вЂ” 5]П Х Мнимая часть решения уравнения (2.83) являезся решением уравнения (2.83). 7) у" + у = соз х, (Вз+ «у = соз х, у = соз х.
В'+ 1 Формула 3) стр. 1ЗЗ неприменима, так как Р( — а') =О, поэтому опять вместо заданного уравнения рассматриваем уравнение у" + у = Езх ИЛИ у" + у = СОЗ Х+15]П Х 4 61 НЯОДНОРОДНЫВ УРЛВНПНИИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЗФ. 13$ н берем действительную часть его решения "+1)у-"" у-В+1™-( ' „+, ""- ! е!» е~' ! егех х(соз х+Гз!их) = — — = —. — ° 1 Ег — ! 2! 21 Е) 2! 2! Взяв действительную часть найденного решения вспомогательного уразнехз!и х ния , получим решение исходного уравнения В) у'У у= ", (В"-1)у= ", у=,1, е"= 1 ! 1 ее 1 1 хе" Е! — 1 (В+!)(ЕЗ'+1)  — 1 4 4 В е" = — — = — е-' — 1 = —.
1 Выясним еще, как действует оператор — на многочлен г' (Ег) Рр(х) = Аехе+ Агхе '+ ... + Ар. формально разделим 1 на многочлен Р(0) = а„+ а„,Е)+ ... + аеЕ)', а„Ф О, расположенный по возрастающим степеням Е), по правилу деления обычных (не операторных) многочленоз. Процесс деления прекратим тогда, когда в частном получим операторный многочлен степени р: Ь +ьЕ)+ ... +Ь Ое=д„(о). При атом в остатке окажется многочлен содержащий оператор Е) в степенях не ниже р+ 1.
В силу зависимости между делимым, делителем. частным и остатком получим Р (В) О,(Е1)+ )Е(Е)) = — !. (2.85) Это тождество справедливо для обычных (не операторных) много- членов, но так как правила сложения и умножения операторных многочленов не отличаются от правил сложения и умножения обычных многочленов, то тождество справедливо и для операторных многоч тенов. Лействуя правой и левой частями тождества (2.85) на многочлен Асхр+ А,хр '-+ ... -+ А, получим [Р(Е)) Я (О)+ )2(Е))](Аехр-!- А!хе '+ ...
+ А,)= — = Аехр+ А1хр 1+ ... + А или, принимая во внимание, что Й(Е!)(Азхе+А,хе-г+ ... + А )жО, 136 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫ1ПГ ПЕРВОГО !гл. я так как й(/Э) содержит О в степенях не ниже р+1, будем иметь Р (О) [Я (О) (А хл+ А,хР 1+ ... + А,)) = =АсхР+ А,хл '+ ... + Ар, т.
е. А) (О) (А,хР+ А,хР-'+... -+ А ) является решением уравнения Р(О)у =Аахя+ А1хР-1.+ ... + А, Итак, 1 Ь (О) ('4охл+ А,хл-'+ ... + АР) = =1~р(О)(Аехл+А,хл-1+ ... + 4 ) Например: 9) у" + у= хя — х+2, (О'+!) у = х' — х-1-2 у =, (х' — х-)-ху О'+! Разлелив 1 на ! + О', получим 1;!т(О) = 1 — О', Следовательно, у = (1 — О') (х' — х+ 2) = х' — х. 10) у + 2у'+ 2у = к в х, (ОЯ+ 2О+2) у = х~я ", ~а х я х т «(! О~) Я х( т 2) 11) у"-)-у=хсояк, (О'+1)у=хсоях. Перейдем к уравнению (О1+!) у = кеы и поток возьмем действительную часть решения ,1х а1х ю О'+1 О(О+21) О !2! ! 4 ) О!21' 4) ' !4! хь к Взяв действительную часть — з!и х+ — соя х, получим искомое решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
