Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(2. 122) АГ, где И. — некоторые, пока неизвестные нам постоянные величины. 7 Преобразуем переменные так, чтобы периодическое решение х(г, р) уравнения (2.122) имело бы период не 2п+аОА), а постоянный период 2п. Это достигается заменой переменных Гг =та(1+.Иг(с+Из(г~+ ... +И„Р" + ...), (2.124) так как, в силу зависимости (2.123), при 2п-1-а(р) новое переменное га изменяется уравнение (2.122) преобразуется к виду х,, +(1+Ииц+ ... +И„р" ', ...)'х= =р(1+ Ими+ " +И.р'+ " )'Р +И„(г + изменении (, от О до от 0 до 2Л.
При зтои (х, (! +И,р+ ...) х,. 1Г). (2.125) Периодическое решение итого уравнения ишем в виде х((з (г)=хо((з)+1ьх,((з)+ ° ° - +р"хл((з)+ ..., (2.126) где х„((а) — периодические функции аргумента г, периода 2л. Подставляя (2.126) в уравнение (2.125) н сравнивая коэффициенты при одинаковык степенях (А в левой и правой частях равенства, получим х +х =О, откуда х =ссоз(С,— (,), х, + х, = — 2И,ха+ Р, (хз, хз, О) или х, + х, = — 2Игс сов ((а — (в)+ + Р, (с соз (Гв — (а), — с з(п (гя — Фа), О) (2.127) Для того чтобы уравнение (2.127) имело периодические решения, необходимо и достаточно,. чтобы в его правой части отсутствовали Каждое Решение поРождаюшего УРавнениЯ хв (Г,) = с, соз (1, — гз) будет иметь период 2П, а периодические решения уравнения (2.1221 при р ~ О, если они сушествуют, будут иметь период 2п+а(р), причем можно доказать, что а(р) является аналитической функцией р при достаточно малом р.
Разложим а(р) в ряд по степеням рл тогда 2Л+ а((ь) = 2П(1+Иггг+ И,(та+ ... -1-И„(г" + ...), (2.123) зялвнвния пояядкл выше паевого 156 1гл. з резонирующие члены (см. (2.106)), т. е. чтобы Ре(с сов(Ея — Ез), — се)п(Ея — Ез), О) Яп (Ея — Ез) пгг = О, е <2.128) — 2 ЕЕ, с + — ) Р, (с сов (Ея — Ес). — с з! п (Š— Е,), 0) Х з Х соз (Ез — Ез) сЕЕз = О. Первое из этих уравнений дает возможность найти значения с, а второе — Ьн определив которые, мы найдем те решения порождающего уравнения хе = с соя(Ез — Ез), в окрестности которых при малом 1ь появляются периодические решения уравнения (2.122), и приближенно определим период искомого решения 2п+п(ц) ж2п(1+ЕЕ10). Зная с и йн можно определить х,(Ег) и, если необходимо, тем же методом вычислить хг(Ез), хз(Ея) и т.
д. Пример 2. х+х= их(9 — х'). (1.129) Определить решения порождающего уравнения, к которым при р-+О приближаются периодические решения уравнения (2.129). Решения порождающего уравнения имеют вид х = с соз (Š— Еь) Для определения искомых значений с воспользуемся первым нз уравнений (2.128): гя с(9 — с'соз'(Š— Ез)) з!и'(Š— Еа) НЕ = О з с'1 или пс(9 — †) = О, откуда с, = О, сзн = ж 6. л)= ° Прн с, =О получаем тривиальное решение х — О порождающего уравнения, которое остается решением уравнения (2.129) прн любом 1ь При с,,= ж 6 получаем х= д 6 сов(Š— Еь).
Докажем простейшую из теорем А. Пуанкаре о существовании и единственности периодического решения, стремящегося прн р — ьО к периодическому решению порождающего уравнения, в применении к уравнению вида х=У(Е, х, х, р), (2. 130) где функция у удовлетворяет условиям теоремы об аналитической зависимости решения от параметра р при достаточно малых по модулю значениях р. Кроме того, предположим, что функция явно зависит от Е и имеет по Е периол 2п. Допустим также, что порождающее уравнение х =у(Е, х, х, О) имеет единственное периодическое решение х=срз(Е) периода 2п.
МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА а В1 Решение уравнения (2,130), удовлетворяющее начальным условиям хИв)=<го®+Во хйо)=<Рв(~в)+В< х(2п. р Во В<) — «(О. р Вв В<)=0 (2.131) .«(2л, р Во В<) — х(0, р Вв В<) =О. Обозначая левые части зтих уравнений соответственно Фо(р, Вв, В<) и Ф<(р, Вв, В,), запишем систему (119) в виде <Рв(Р Во В<)=0 <р<(р. В,, В,)=о. (2. 132) Условия (2.132), называемые условиями периодичности, не только необходимы, но и достаточны для периодичности решения х(1 р, Во, В,) уравнения (2.130). Действительно, в силу периодичности правой х части уравнения (2.130) по эта правая часть в полосах 0 ( 1 ( 2п. 2п ( 1 ( 4П, ...
принимает в точках (1, х, х), (Г + 2л, х, х), ... одинаковые с значения. Следовательно, если в точках 1 = 0 и Г = 2Л задать одинаковые начальные значения хв Рнс. 2.2 н х„, то ими определяются в полосах 0 (< (2п и 2п (1 (4п совершенно одинаковые интегральные кривые (рис. 22), точнее, кривые, являющиеся периодическим продолжением одна дру~ой. По теореме о неявных функциях можно утверждать, что. если якобиан оо (П<ы Ж) < (В,, В,) обозначим х(С, р, Вв, В,). Следовательно, Вв и В, являются отклонениями начальных значений решения х(1. р, Вв, В,) и его производной х(1, р, Вв, В,) от начальных значений <рв© и <рв(<в) периодического решения порождающего уравнения, Задача заключается в том, чтобы указать условия, при которых для каждого достаточно малого по модулю значения р существует единственное периодическое решение х(1, р, Вв, В,) уравнения (2.130), стремящееся при р — ь0 к периодическому решению <вв(1) порождающего уравнения.
Если решение х (1, р, Вв, В,) является периодичеа<им с периодом 2п, то, очевидно, должны удовлетворяться следующие условия: 158 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !ГЛ. 2 в точке р = О, ро = р! = О, то при каждом достаточно малом по модулю значении )г существует единственная пара функций ро()о) и рг(р), удовлетворяющих условиям периодичности (2.132) и стремящихся к нулю при р — ьО, т. е. в указанных условняк для каждого достаточно малого (ь существует единственное периодическое рещение уравнения (2.130), стремящееся к периодическому решению порождающего уравнения при )г-ьО*). Это утверждение и составляет содержание теоремы Пуанкаре. Пример 3. Доказать, что в нерезопансном случае для уравнения х'+ а'х = /(Г) + !ьн(г, х, х, и), (2.107) где 7' и Р удовлетворяют указанным выше условиям (см.
стр, 147),' вы. полнены требования теоремы о существовании н единственности периодического решения. Решение х(Г, р, ро, )),), являющееся аналитической функцией последник трех аргументов прн достаточно малых значениях этих аргументов, ищем в виде х(т Р ро 01) =хо(Г)+хо (Г) Ро+хм(Г) О~+«!о(т) П+ ° ° (2133) Подставляя (2333) в уравнение (2.107) н сравнивая коэффициенты при оди- наковык степеннх Р, Ро и Оь полУчнм длЯ опРеделениЯ хн и хш следУющие уравнения: х!,+сох„=О, хн(0)=1, хн(О)=0, (2.134) хы+ аох,о = О, х,о (О) = О, х„(О) = 1, (начальные значения получены из условий х(то р ро р!) =«о(то)+ро «(го, Р Ро. 3!) = «о(то)+Ро) откуда 1 хн = соэ ад хы = — э!и ат. а Условия периодичности (2.132) имеют вид 1 (соэ 2ап — 1) Ро+ — з!п2анро+ ... =О, а — а з!п 2апйо+ (соэ 2ап — 1) Р! + ...
= О, где невыпнсаниые члены не влияют на величину определителя 72 (Фо, Фо) пРи Р=Ро —— 3!=0. Определитель 7) (Фо Фо) ! 72((! р ) ! =(соэ2ап — 1)о+з!п22ап в=во= З,=о отличен от нуля, так как а ие равно целому числу, *) Подробнее о георемак существования периодических решений см. И. Г, Малкин [3]. ПОНЯТИЕ О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ф 9. Понятие о краевых задачах Как уже упоминалось во введении, наряду с основной начальной задачей часто приходится решать так называемые краевые или граничные задачи.
В этих задачах значение искомой функции задается не в одной, а в двух точках, ограничивающих отрезок, на котором требуется определить решение. Например, в задаче о движении материальной точки массы и под действием заданной силы Л гг Г (П г, г) часто требуется найти Рис. 2.3. закон движения, если в начальный момент 1=1а точка находилась в положении, характеризуемом радиусом-вектором га, а в момент Г=Ф должна попасть в точку г=ги Задача сводится к интегрированию дифференциального уравнения движения л'гг и —, =Г(П г, г) с краевыми условиями г(1„)=ге', г(Г,)=гн Заметим, что эта задача имеет, вообще говоря, не единственное решение; если речь идет о баллистической задаче и о точках земной поверхности, то в одну и ту же точку тело может попасть по навесной и по настильной траектории (рис. 2.3), более того, при очень больших начальных скоростях можно попасть в ту же точку и после однократного нли многократного облета земного шара.
Аналогичную краевую задачу можно поставить и для луча света, проходящую через преломляющую среду: найти направление, по которому луч света должен выйти иа точки А, чтобы он попал в другую заданную точку В. При этом очевидно, что задача не всегда имеет решение, а если решения существуют, то их может быть несколько и даже бесконечное множество (например, если лучи, выходящие из точки А, фокусируются в точке В). Если удается найти общее решение дифференциального уравнения краевой задачи, то для решения этой задачи надо определить произвольные постоянные, содержащиеся в общем решении, из граничных условий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
