Главная » Просмотр файлов » Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление

Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 21

Файл №1118006 Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление) 21 страницаЛ.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006) страница 212019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Легко проверяется сушествование предела у (г) при е- О, не завив сяшего от выбора функции у',(Г), в прелположении, что она не меняет знака. Лействительно, у, (г) = ) К (г, г) у, (г) аг. Применяя теорему о среднем при 1) г+ е, получим еее у,(1)=К(г, г+е")~ у;(т)лгт=К(г, г-1-е"), с где 0 ( е' ( е; следовательно, ! нп у, (1) = К (1, г).

е-ъз Поэтому функцию К(г, г) естественно назвать фунниаел' влияния мгновенного импульса в момент г=г. Разбивая промежуток (ге, () точками г, (1=0, 1, ..., и) на лг го равных частей длины Ьг= ', представим функцию у(1) в (2.65) в виде суммы функций Дг (Г), где Л (1) отлична от нуля лишь на 1-м промежутке г,, (Г(гн на котором она совпадает с функцией у'(1): у(г) = Х.гг((). В силу принципа суперпозиции(стр.

1!4) решение уравнения (2.66) имеет вид у (г) = "". у, (г), г где у, (1) — решения уравнений у'"'+ )я (г) у'" "+ " + рч (() у = Гг я УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО ГГЛ. Я с нулевыми начальнымк значениями. Если га достаточно велико, Го решение у,(1) можно рассматривать как функцию влияния мгновенного импульса интенсивности у,(г,)оьг. Следовательно, ж й(1) — л~ К(г, г;) у(г,) Лг. Переходя к пределу при и — РОО, получим решение уравнения (2.65) с нулевыми начальными условиями в виде у= ~ К(1, г)у(г) Иг, показывающем, что влияние непрерывно действующей силы можно рассматривать как наложение (суперпозицию) влияний мгновенных импульсов.

й 6. Линейные неоднородные уравнения с настоянными коэффициентами и уравнения Эйлера При решении линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами во многих случаях без труда удается подобрать частные решения и тем самым свести задачу к интегрированию соответствующего однородного уравнения. Пусть, например, правая часть является многочленом степени г, и слеловательно, уравнение имеет вид аоуоо+ а,у<"-О+ ... + а„,у'+ а„у = = Аох'+ А,х'-'+ ... + А„(2.66) где все а1 и А, — постоянные. Если ао Ф О, то существует частное решение уравнения (2.66), имеющее тоже вил многочлена степени г. Действительно, подставляя у=В,х'-1- В,х'-'+ ...

+В в уравнение (2,66) и сравнивая коэффипиенты при одинаковых степенях х з левой и правой частях, получаем для определения коэффипиентов В; всегда разрешимую, если а„чьО, систему линейных уравнений: аВ=А, В= —, до и о — о о — „ алВ1+ га,Во = Ап откуда определяется ВР а Во+(г — 1) а„,В, +г(г — 1) а„оВо — — Агя нводноводные тялвнения с постоянными коэ«ь !25 а а! откупа определяется Вг, а„В,+- ... = А„ откупа определяется В,. Итак, если а«чаО, то суп(есагвует частное решение, имеюп(ее вид многочлени, спгепень которого равна степени жного- члена, столп(его в правой части. Предположим теперь, что а„=О, причем для общности допустим, что н а„, = а« = ... = а„,, = О, но а„„~О, т.

е. lг =О является а-кратным корнем характеристического уравнения, причем случай а= 1 не исключается. При этом уравнение (2,66) принимает вил а«уоо + а,у<" - Ч+ ... + а„ у"' = Аьх' + А~х'-' + ... + А,. '(2.67) Полагая у~«~ = г, мы приходим к предыдущему случаю, и слеловательно, существует частное решение уравнения (2.67), для которого уш! = Вех'+ В,х'-'+ ...

+ В,, у = х" (В,х' + В,х'-' -!- ... -(- В ). Пример 1. у" + у = х'+ х. Частное решение имеет вил у = В,х'+ В, х -!- В,. (2.68) Подставляя в уравнение (2.68) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем Вь 1, В,=1, В, — 2, У=ха-1-х — 2. Общее решение у = с, сов х + с, а! и х -1- хг -1- х — 2 Пример 2 у" +,у' = х — 2. Частное решение ищем в виде у= х(В,х+В,). Подставляя в уравнение и сравнивая ковффициенты при одинаковых степе- нях х в левой и правой частях полученного тождества, находим 1 - !1 Вь — —, В3= — 3 у х( х 3).

2' ' 12 а значит, у является многочлепом степени в+а, причем, члены. начиная со степени а — ! и ниже, у этого многочлена будут иметь произвольные постоянные коэффипкенты, которые могут быть, в частности, выбраны равными нулю. Тогда частное решение примет следующий вид: УРАВНЕНИЯ ПОРЯЛКА ЯЬШ!Р ПЕРВОГО !ГЛ. Я Общее решение г ! у с, + с,е™+х ~ — к — 3). 12 Рассмотрим теперь линейное неолноролное уравнение вила а У!"! + а,У!" И -+ ...

+- а„У = ел (А„х' + А,х'-' .+... -г А,), (2. 69) где все а) и А,— постоянные. Как было указано выше (стр. 109), замена переменных у=ее г преобразует уравнение (2.69) к виду е' 1(г г!т+Ьгг!" 'г+... -+Ь„г) =ел"(А х'+ А х' '+... -+ А ), или дог!о! + Ьгг!л-!1+ ° ° + дог = Аох'+ А! х' ' +...

+ А,, !2 70) гле все (!1 — постоянные. Частное решение уравнения (2.70), если Ь„ФО, имее! вил г =В х'+-В,х' '+... +-В,, а значит. частное решение уравнения (2.69) у = ее (В„х'.+ В,х' '+... +-В,). Условие Ь„Ф 0 означает. что и = 0 не является корнем характеристического уравнения Ьо)г" + 1)г)г" ' +... (-по=о, а следовательно, )г = р не является корнем характеристического уравнения а„й" +- а!)г" + ... +-а, = О, (2,72) так как корни этих характеристических уравнений связаны зависимостью )г =!с+ р (см. стр. 109). Если же )г=О является корнем характеристического уравнения (2.71) кратности а, другими словами, й = р является корнем характеристического уравнения (2.72) той же кратности а. то частные решения уравнений (2.70) и (2.69) ° имеют соответственно внл г=.х" (Вох'+В,х' '-+ ...

+ В,), у=х"ее'(Вох'+ В,х '+... +В,). Итзк, если правая часть линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид ее" (Аох'+Агх'-'+... +А,), ИВОДИОРОПИЫГ лЯХЯНГНИЯ С ПОГтОЯИИЫМИ КОЗЕ. 127 то, если р не является корнем характеристического уравнения. частное решение надо искать в таком же виде; у = еех (В,х" + В, х' ' .+... + В,). Если зке р является корнем характеристического уравнения кратности а (этот случай называется осоллым или резонансным), то частное решение надо искать е виде у = хкеех (В х'+ В х' ' -1-...

-1- В ). Пример 3. у" + 9у е'". Частное решение надо искать в виде у = Вель Пример 4. у" „1 у еле(х 2) Частное решение надо искать я виде у = елх (В,х + В,). Пример 5. у — у = ех(х' — 1). Частное решение надо искать в виде у = хе" (В,х'+ В,х+ В,), так как Л 1 является простым корнем характеристического уравнения. Пример б. улх+ Зу" +Зу'+ у =е "(х — 5). Частное решение надо искать я виде у = х'е "(В,х+ В,), так как Л вЂ” — 1 является трехкратнылл корнем характеристического уравнения Эаиетим, чго наши рассуждения остаюгся справедливыми и прн комплексном р. поэтому если правая часть линейного дифференциального уравнения имеет вид ее" (Р, (х) сох дх .+- (;), (х) з(п дх(, (2.73) гле олин из многочленов Р,(х) или (ел(х) имеет степень з, а дРУ- гой — степень не выше чем з, то, преобразуя тригонометрические функции по формулам Эйлера к показательному виду, получим а правой части е(е+ел1хусл(х) + еш-ео"Т,(х), (2.74) где Й;(х) и Т,(х) — многочлены степени з.

Для каждого слагаемого правой части можно уже применить указанное выше правило. а именно, если р+л)( не являются корнями 128 УРАННЕНИЯ ПОРЯДКА ИЫ1ПЕ ПЕРВОГО !ГЛ. 2 характеристического уравнения, то частное решение можно искать в таком же виде, как и правая часть (2.74); если же р+р( являются корнями характеристического уравнения кратности а, то частное решение приобретает еше мно1китель х". Если опять вернуться к тригонометрическим функпиям, то это правило можно сформулировать так: а) Если р + и! не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде у = ея«]Р, (х) соз (2х + (;2, (х) з1п их], где Р,(х) и (',)е(х) — многочлены степени в с неопределенными коэффициенл1ами. Заметим, что если один из многочленов Р,(х) или (е,(х) имеет степень ниже з или даже, в частности, тождественно равен нулю, то все же оба многочлена Р,(х) и 1,(х) будут, вообще говоря, иметь степень з.

б) Если р+д! являются и-кратными корнями характеристического уравнения (резонансный случай), Гио частное решение надо искать в виде у = х"ее" [Р, (х) соз дх -[- Я,(х) з!и вх]. Пример 7. у" + 4 у' + 4у = соз 2«. Так как числа й2! не являются корнями характеристического уравнения то частное решение ищем в виде У .4создх+Вз!п2х. у" + 4у = соз 2х. Пример 9.

Так как числа х2! являются простыми корнями характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде у х[Асоз2х+Вз!п2х]. у~~+2у +у з!ох. Пример 9. Так как числа х ! являются двукратными корнями характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде хз (А соз х + В з!я х). Пример !б. у" +2у'+2у е «(хсозх+Зз!пх).

у хе- [(А,х+ А,) соз х+(В,к+ В1) з!их]. Так как числа — ! х 1 являются простыми корнями характеристического уравнениа, то частное решение ищем в виде НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНГНИЯ С ПОСГОЯННЫМИ КОЭФ. 129 Во многих случаях при нахождении частных решения линейных уравнений с постоянными козффициентамн с правой частью вида (2.73) целесообразно перейти к показательным функциям. Например, в уравнении у" — 2у'-1- у = соек можно преобразовать сов х по формуле Эйлера или, еще проще, рассмотреть уравнение +у егх (2.75) Тогда А =- —,, у = — (сов х+ 1в1п х).

2 Частное решение исходного уравнения 1 у, = Йе у =- — — в1п к. 2 Лля нахождения частных решений линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами во многих случаях о юнь удобен операторный метод. Понятие об операторном методе решения линейных дифференпиальных уравнений с постоянными козффициентаии. Для производных порядка Гг введем обозна- чение ееу р~ Еха Пользуясь зтнм обозначением, запишем уравнение авт1ю + а уг" и + ...

+ а„у = Е(х) ггвЕ) у + ~,Е> ~у+... + а„у = Е(~) в виде или (а Е)'+ а,бе '+... +а, 1Е).+ а„)у=у(х). (2.76) Выражение авЕ)" + агЕ)' '+ ... + ах ГЕ)+ а называется опералгорным многочленом. Этот операторный много- член кратко обозначим гч(Е)), а уравнение (2.76) запишем в виде е" (Е)) у = у' (х).

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6363
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее