Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. производная у'»' является линейной однооодной функцией г, г', г", ..., г'»'. Следовательно, левая часть линейного однородного уравнения ав(х) УЫ'+ а, (х) у'" "+... + а„(х) у = О после замены переменных будет линейной однородной функцией г, г', ..., г!"'.
Запишем линейное одноролное уравнение у но + р, (х) уьл - н + ... + р„(х) у = О кратко в виде ~(у]=О где с. (У] = У он + Р, (х) У Ы " + ... + р (х) у, Будем называть»'. ]У] линейным дифференциальным оператора.и. Линейный дифференциальный оператор обладает с 1еаующнми двумя основными свойствами: 1) Постоянный мпожипгель выноси»ноя за знак линеиного оператора: 1. ]су! == с1.
(у! Действительно, (су)'"'+ р, (х) (су)" + ... ... +р„(х)(су)==с (уын+ р,(х)ушьн+ ... + р„(х) у]. 2) Линейный дифференциальный оператор, примененный к сумме двух функций у, и уг, равен сумме результатов применения того же оператора к каждой функции в отдельности: б !У + Уг! = б !У ]+ 1- (Уг! Действительно, (У|+ Уг) + Р1(~)(уг+ Уг) + ] Рл(х)(У|+уз): = ~У1»Ю+ р, (Х) 4л " + ° +, „(Х) У~ + ~4' -]- р, (Х) УГ " + ° ' ' + рл (х) уг]' ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Следствием свойств 1) и 2) является Г '" и е | У с,у1[ — = ~ с,(.[у,[, 1=! 1=! гле с! — постоянные.
Опираясь на свойства линейного оператора Е, докажем ряд теорем о решениях линейного однородного уравнения. Теорема 2.2. Если у, является ре1иением линейного однородного уравнения Е[у1= О, то и суп где с — произвольная постоянная, является решением того же уравнения. Доказательство.
Дано Е[у,[=0. Надо доказать, что Е [су,]= О. Пользуясь свойством 1) оператора 7., получим Е [су!] — = сй [у,] = О. Теорема 2.3. Сумма у, + у, решений у, и уг линейного однородного уравнения й]у]=.. 0 является решением того же уравнения. Доказательство. Дано Е[у,1=0 и С[у,]=0. Надо доказать, что Е 1у! + Ут[ Пользуясь свойством 2) оператора Е, получим: Е ]у + у ]†= С[у 1+ Е [уз[= О. Следствие теорем 2.2 п 2.3. ь7инейная 1сомбинация с прот извольными постоянными коэффициентами ~ь с,у, решений !=1 уи уг, ..., у линейного однородного уравнения С[у]=0 является ре!пением того же уравнения.
Теорема 2.4. Если линейное однородное уравнение Е[у] =0 с действительными козффициенгпами р,(х) имеет комплексное рви!ение у(х)=и(х)+!о(х), то действительная часть злого решения и(х) и его мнимая часть о(х) в отдельности являются решениями того же однородного уравнения. Д ок азат ель ство. Дано Е[и(х)+го(х)[=0. Надо доказать, что А[и[=0 и Е[о]==0. Пользуясь свойствами 1) и 2) ойератора Е, получим: Е [и + (о] = Е [и[ + (7. [о[ = О, откуда Е[и]= — 0 и С[о[в = О, так как комплексная функция действительного переменного обращается тождественно в нуль тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части тождественно равны пулю.
3 а м е ч а н и е. Мы применили свойства 1) и 2) оператора к комплексной функции и(х)+го(х) действительного переменного, УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [гп. г что, очевидно, допустимо, так как при докааательстве свойств 1) и 2) были использованы лишь следующие свойства производных (су)' = су', где с — постоянная, н (у>+ уг)' = у, + у', остающиеся справедливыми и для комплексных функций действительного переменного, Функции у,(х), уа(х), ..., у„(х) называются линейно зависимыми на некотором отрезке изменения х, а (х (/>, если существуют постоянные величины ан а,, ..., а„такие, что иа том >ке отрезке ау,+аауэ+ ...
+а„у,=О, (2.12) причем хотя бы одно а; =,' О. Если же тождество (2.12) справедливо лишь при а, = а> = ... = и, =- О, то функции ун у>, ..., у„называются линейно неэаеигиммми на отрезке а (х (/>. Пример 1. Функции 1, х, х', ..., хл линейно независимы на любом отреаке а (х( а, так как тождество а, +а,х+а,х'+ ... +а«,л« вЂ”.=О (2. 13) возможно лишь, если все а;=О. Ес.«и бы хоть одно а>~О, то в левой части тождества (2.13) стоял бы иногочлен степени не выше н, который может иметь не более и различных корней и, следовательно, обращается в нуль не более чем в и точкзх рассматриваемого отрезка.
а,х л к >г х Пример 2. Функции е', е',...,е«, где Л>~Л/ при /~У, линейно независимы на любом отрезке а (х (/>. Допусти». что рассматриваемые функции линейно зависимы. Тогда лх лх а к ае' +ае'+ ... +ае" О, (2.14) где хоти бы одно а;~О. напРимеР дли опРеделенности агг-РО. Разделив тождество (2,14) на е"'х в продифференцировав, получим. аг(аг — Л>) е( ' ') + ... +Ш,(/㫠— lг,) е( ' ') — О (215) — линейную зависимость между л — 1 показательнымн функциями вида елх с различными показатсляии. Деля тожлсс>во (2.15) на е«' '>х и лифферены,-г,>.г >[ гр.н:щ>т,»'»,и»й гую з шн г>»гч>г. >ив д> « —" г>егин>а>е > ш н»;[у»кииникес раз нгчнылп и >гга>зтг«>лм>г.
!!ро >а щ,.>я г>а> нроц. -: -1 р >.. и» >учим и [Л Л )(Л Л ) [/г /„)е «г㫠— > имн (г -гг )г что невозможно, так как а«, по предположению, отлично ог нуля, а Лг «ь Л/ при /~/1 доказательство остается снравеллнвым при комплексных Лг. П р н и е р 3. Функции агх г г .«. >г г Лк хх л х Ел,хел...„хеел, где л, чь а/ при /~ /, линейно независниы на любом отрезне л (х(ь. Допустим, что эти функции линейно зависвмы Тогда а,х г г х Р,(х)е ' +Р,(х)е ' + ... +Р (к)е Р: — О, (2,16) й з1 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ где Р1 (х) — мно1очлеи степени не выше п1, причем котя бы один полипом, например Рр(х), не равен нулю тождественно. Разделим тожлество (2.16) на еа'» и продифференцируем л, + 1 рак Тогда первое слагаемое в тождестве (2.16) исчезнет. и мы получим линейную зависимость такого же вида, но с меньшим числом функций: 0э(х)е( ' ') + ... +(Рр(х)е( и ') =О.
(2.17) что невозможно. так как степень многочлена )7р(х) ранна степени миогоч~ена Рр (х) и, следовательно, многочлен Рр (х) не равен нулю тождественно. доказательство не изменяется и при комплексных аь Теорема 2.5. Если функции ун у,, ..., Ул линейно зпеисимы нп отрезке а (х (д, то нп том же отрезке определитель У1 Уг Ул У! Уг » » У1 Уг ' У„ (Т» (х) = %' (у,, у... „у,! = 1»-1) „1»-Н и1»-Н называемый определителем Вронского:"), тождественно равен нулю.
1(ок аз атель ство. Дано, что . +а„у„==О (2. 18) все а, равны нулю. 1(ифферен- получим а1У1 + агут + на отрезке а ( х ( д, причем не цнруя тождество (2,!8) п — 1 раз, а,у, + агут+,, +а„у„— = О, а,у,' + а,у,'+ ... + а,у„' =О. (2.19) а у(л-Н ( а У1»-1 + ! а у(л-И=О 1 ") По имени польского математика Г. Вронского (1775 †18). 7 Л. н, нль»гол»и При этом степени л|ногочленов О1 и Р1(1=2, 3, ..., р) совпадают, так как при дифференцировании произведении Р; (х) ел', р Ф О. получим !Р1 (х) р+ + Р,(х)] ел», т. е. коэффициент при старшем члене многочлена Р;(х) после дифференцирования произведеш1я Р,(х)ел» приобретает лишь пе равный нулю множитель р.
В частности, совпадают степени многочленов Рр(х) и ОР(х), и следовательно, лшогочлен О„(х) не равен нулю тождественно. Пела ~ождество (2.17) на е'"' а'» и дифференцируя л, +1 раз, получим линейную зависил1ость с еще меньшим числом функции. Прололжая этот процесс р — 1 раз, получим 77р(х) е( л л 1) =О игьзняння пояяпкь вып<т пгяяого <гл. 2 Этв линейная олнородная по отношению ко всем а, система и уравнений имеет нетривиальное решение (т. к. ие все а, ровны нулю) при любом значении х на отрезке а (х (д.
Следовательно. определитель системы (2.19>. являющийся опрелелителем Вронского )р'[ун уг, ..., У„[, равен нулю в каждой гочке х отрезка а (х ((<. Теорема 2.6. Если линейно независимые функции уп Уг, .... у„ являл<тел ре<иениями линейного однородного уравнения у" + р,(х) уч< и+ ... + р„(х)у=0 ,2.20> с непрерывными на отрезке а л х с. й коэффициентами р,(х), то определитель Вронского У1 У2 ''' Уч У< Уг У, Ж(х) = ч(ь-П Шь-П .,гь-1> а<у<(хз) а,у,'(х ) + ...
+а„у„(х„) =О, + ... -1- а„у„'(х ) = О, + а2уг ( ео) + агу2 <хо) а у(л- и (х ) -1- а У(л-1< (х ) + .. + <г у(л- и (х ) = О и чтобы ие все а, равнялись нулю, Такой выбор возможен, так как определитель линейной однородной системы (2.21) и уравнений с и неизвестными а, равен нулю, Ф'(хз) =О, и следовательно, существуют нетривиальные решения этой системы При таком выборе а, линейная комбинация у = а,у, (х) .+ а,у, (х) + ... + а„у„(х) булет решением линейного однородного уравнения (2.20), удовлетворяющим, в силу уравнений системы (2.21), нулевым начальным условиям у(хз)=0, у'(хо)=0 ° ° .. У("-'1(хо)=0 (222> Таким начальным условиям, очевидно, удовлетворяет тривиалы<ое решение У=О уравнения (2.20) и по теореме о единственности решения начальным условиям (2.22) удовлетворяет только это решение. не мигнет обратиться в нуль ни в одной точке отре<нси а х <(1.
Доказательство. Напустим, что в некоторой точке х ==х, отрезкз а .( х (д определитель Вронского ))2(хз) = О. Выберем постоянные а,((=1, 2...., и) так, чтобы удовлетворялась система уравнений ЛИЫГПНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 99 у, (х) =(х — 1)' при 0. х (1 1 ( х:, 2. 0(х< ! у,(х) =-О при у (х)=0 при уг(х) =гх — 1)' при ! (х. 2 (рис, 2. !! !У~ Уг Очевидно... = — О при 0 (х < 2, так как на отрезке 1У~ Уг 0 ( х ( 1 второй столбец состоит из нулей, а при 1 ( х ( 2 цз нулей состоит первый столбец. Однако функции у,(х) и уг(х) линейно независимы на всем отрезке 0(х (2, так как, рассматривая тождество а,у, + агуг = О, 0 ( х ( 2.
вначале ца отрезке 0( х (1, приходим к выводу, что ц, = О, а затем, рассматривая зто тождество на отрезке 1 (х < 2, находим, что и ив =О. Теорема 3.7. Обгиим решением ири а ( х я, Ь линейного однородного уравнения у(ю+ р,(х)у!"-Н+ ... + р„(х)У=О (2.20) с непрерывными на отрезке а (х (Ь ноэффиииентамй р;(х) в (1=1, 2, ..., а) является линейная комбинация у= 2~ с!у! Следовательно, ц,у, !х)+ агу, (х)+ ... +а„у„(х)==0 и решения у,, уг, ..., у„, вопреки условию теоремы, линейно зависимы. Замечание 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
