Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(2.43) ел в!Вдх, хел" ейпдх, х'ег'Шпдх...., х" 'СР" гйпдх Взяв действительные н мнимые части решений, соответствующих сопряженному корню р — д( характеристического уравнения, мы не получим новых линейно независимых решений. Таким образом, паре комплексных сопряженных корней р гд( крагностн а соот. ветствуют 2а линейно независимых аействительных решении ~2,43) Пример б. у'~+2у +у=о. характеристическое уравнение а" + 2дс + 1 = О илн (л' + 1)' = О имеет двукратные корни х 1.
Следовательно общее Решение имеет вил У (с~ + ссх) соз х+ (сг+ с х) з(ах 2. Уравнения Эйлера Уравнения вида аах"у("'+а,х' 'у(" М+ ... +а„,ху'+а„у=О, (2.44) где все а, — постоянные. называются уравненаялси Зйлера. Уравнение Эйлера заменой независимого переменного х=е'е) преобра- ') ((лн с ~ — а', если х < ш в дальнейшем для определенности будем считать х ) О. 4 ч) Одноводные кялвнення с пОстОянными коэФФнпнентлмн 1И зуется е линейное однородное уравнение а постоянными коэффипиентами.
Пействительно, как указано на стр, 93, линейность и однородность уравнения при преобразовании независимого переменного сохраняются, а коэффипиенть становятся постоянными. потому что Ку иу -с — а-с Лх ау — = е " (Р, — + б — -~- ... +- б, — ~, [2. 45) Лау ~ иу сну . «зу т лха ( ~й лр лгь ~ -1 Лау и х" — =0 л-а ь а (2. 44') с постоянными коэффипиентами произведения — =(), — + ба — '+ ...
+Є— ' илу и Гъу да лха и ' лн и(а линейно (с постоянными коэффициентами~ выражаются через производные функпин у по новой независимой переменной г. Отсюда следует, что преобразованное урзвнение будет линейным однородным уравнением с постоянными коэффипиентами ба — „+ В, — „, + ... (-Д,,— ч- Г~ьУ=о. (2.46) где все р, — постоянные.
и при подстановке в уравнение (2 44) множители е "' сокращаются с множителями х =е"'. Справедливость равенства (2.45) легко может быть доказана методом индукпии. Действительно, допустив, что равенство (2Л5) справедливо, и нроднфференпировав его еще раз по х, докажем справедЛь+ ~у ливость равенства :2.45> и лля и'хь Ли, У, гму Л У Ль лх" ' ' лр йн ига — ие ' ~Р, — +-ба — +,, +б,— в а.
~г~ "У и'У и У~ а'! лн игл иу и2у Лат!у 1 е — ы.~ьс (,, где все у, — постоянные. Итак. справедливость формулы (2 45) доказана. и следовательно. линейно входящие в уравнение Эйлера квлвиеиия повадка вылив пегвого !гл. я 112 Получающееся при этом после сокращения на х" уравнение ае7с (7с — 1)... ()с — и+ 1)+ а И (7с — 1)... 1/г — и + 2) -1- ... + аь О !2 47) для определения 7с должно совпадать с характеристическим уравнением для преобразованного уравнения (2.46). Следовательно, корням 7с, уравнения (2.47) кратности а; соответствуют решения л,.г ! «Р Га ьу .. „1ч«1е преобразованного уравнения нли х ', х ~!п х, х '!п х, ..., х 1!и ' х ь. л. л, я ы а — 1 исходного уравнения, а комплексным сопряженнын корням р + д! уравнения 12.47) кратности а соответствуют решения е~~создт, 1ел созд1, ..., Г" е'~соз41, е" з!пс71, 1е' з!пс71, ..., Г ел з!пд1 преобразованного уравнения или хлсоз1д!их), хл!и х сов!д!их), ..., хл!п'-' хсоз!7!их), хаз!п(д!их), х"!п ха!п(с7!их), ..., хл!пч-' хяп(д!их) исходного уравнения Эйлера.
Пример 7. х'у' + — ху' — у = ш 5 2 у = х"; а 1л — ц -)- — л — ! = о, б 2 общее решение прн х > О имеет 1 у = с,х + с,х-'. 1 откуда А, = — ,, вил Ищем решение в виде ас = — 2. Следовательно Пример 8. х'у" — ху'+у=о. у = х'! д 1Л вЂ” ц — Л + ! = О, общее решение при х > О будет у = (с, + с, ! п х) х.
Ищем решение в виде аь, = 1. Следовательно, илн 1Л вЂ” Цс О, Пример 9. леул+ ху'+у =О. Вместо того чтобы преобразовывать уравнение Эйлерз в линейное уравнение с постоянными коэффициентами, частные решения которого имеют вид у = е", можно сразу искать решения исходы ного уравнения в виде у =х, так как Ф е =- хл. ы линенныв нводнояодныв твлвнения ищем решение в виде у=ха; а(л — 1)+а+ ! =О, откуда Следовательно, общее решение при х > О имеет вил у=с, сов!их+с,з!и!пх Уравнения вида аа(ах+Ь)" уои+а!(ах+Ь)" 'у!ч н+ .. а„,(ах+ Ь) у'+ алу =0 (2.48) также называются уравнениями Эйлера и сводятся к уравнению (2.44) зал!еной независимого переменного ах+Ь=хн Следовательно, частные решения этого уравнения можно искать в виде у = (ах+ Ь)ь или преобразовать уравнение (2.48) к линейному олнородному уравнению с постоянными ноэффициентами заменой переменных ах+Ь=е' (нлн ах+Ь= — е', если их+Ь (0).
9 5. Линейные неоднородные уравнения Линейное неоднородное уравнение имеет вид аа(Х) уГл!+а,(Х)у!"-и+ ... +-а„(Х)у=ср(Х) Если аа(х) Ф 0 на рассматриваемом интервале изменения х, то после деления на ае(х) получим уы!+ р,(х) у!"-'!+ ... + р„(х) у =~(х). (2.49) Это уравнение, сохраняя прежние обозначения, кратко запишем в в>ше Г.[у[= г(х). Если при а ( х (Ь в уравнении (2.49) все коэффициенты р, (х) и правая часть у(х) непрерывны, то оно имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям «!Ю(ха)=у'," (Ь=О 1 "" и — ') где УГю — любые действительные числа, а ха — любаЯ точка интеР- о вала а(х(Ь.
Действительно, правая часть уравнения у!"'= — р,(х)у!"-'! — р,(х)у!"-'! — ... — р„(х)у+у'(х) (2.49,) в окрестности рассматриваемых начальных значений удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности: 1) правая часть непрерывна по всем аргументам; 2) имеет ограниченные частные производные по всем уГа' (Гс = О, 1, ..., н — !), так как эти производные равны непрерывным по предположению на отрезке а ( х (Ь коэффициентам — рл а(х).
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО 114 !Гл. г Еше рав отметим, что на начальные значения у)ь никаких ограничений. Из двух основных свойств линейного операторз Е [су! = сь [у[, )-[у!+у,[=([у![+ С[уз), не налагается где с — постоянная, непосредственно следует: 1] Сумма у+ у, решения у неоднородного уравнения Е Ь! = ((х) 2. 49) и решения у, соответствующего однородного уривнения 1.
[у! = О является региением неоднородного уравнения (2.49). )1оказательство. г [У+ У!! = ~ Ь[-+ ( Ь ! ио ( [у! — = /(х), а Е [у,) — = О, следовательно. ). Ь + у ! == т' (х). где а, — настоянные. Йок азательство. ( и и гь Е ~ ~ а,у,~ = — У, (. [а,у,!= — ~ а(.[у,!. !2.50) но 0[у,! = — г!(х), следовательно, м г. ~„а!у! =,г! а,(! (х). 1 !=! ) !=1 Это свойство, называемое часто аринциаом супернозиции (или нринцииом наложения), очевидно, остается спраиеаливь!м и при т-ьоэ. если рад У, а,у, сходится и допускает и-кратное почлен!=! иое диффереипирование, так как в атом случае возможен предельный переход в тождествах (2.50).
3) Если уравнение Е [у[ = (г'(х)-1- Ф (х), где все коэффициенты р!(х) и функции У(х) и Р(х) действительны. имеет решение у =и(х) + ре(х), то действительная часть реше- 2) Если у, является решением уравнения Е [у) = Г', (х) и ((= 1, 2, ..., т), то у = ~г а,у, является решениел! уравнения 1=! О[у! = ~г~ а,("!(х), 1!5 линейные иеолнОРОлные нРгянгния ния и(х) и мниман часть о(х) являются соответственно решениями уравнений Е[у[=и(-), Е[у[=[ (х). )(оказательство.
Е[и+ го[= — У(х) + Ь'(х) или Е [и [ + )Е [о[ = У (х) + 1[г (х). Следовательно, отдельно равны действительные части Е [и[= У(х) и мнимые части Е [о| =— Ь'(х). Теорема 2.8. Общее решение на отрезке а (х < Ь уравнения 5[у|=у(х) с непрерывными на том же отрезке коэффициентами р, (х) и правой частью ) (х) равно сумме общего и решения У, с,уь соотеетстеук!щего однородного уравнения и ~= ! какого нибудь частного решения у неоднородного уравнения. Е(ок аз а тельство. Нала доказать. что у= ~ с,у;+у, (2.51) где с, — произвольные постоянные, а у, (1 =1, 2...
„п) — линейно независимые решения соответствующего одноролного уравнения, является обшим решением неолноролкого уравнения Е[у[ =/ (х). Принимая во внимание 1) (стр. 114) и справедливость лля рассматриваемого уравнения теоремы существования и единственности, надо доказать, что подбором постоянных с, в (2.51) можно удовлетворить произвольно залапным начальным условиям у!г!(»е) — у!Ог' Ж вЂ” О, 1, 2, ..., п — 1). гле а ( хе ( Ь.
Требуя, чтобы решение (2.51) удовлетворяло началь- ным условиям (2.52), прихолим к системе уравнений и ~ с;у, (хз) + у (х„) = уе, ~=1 2~~ с,у,' (х ) + у'(хе) = у'. (2.53) и ~ с,у",(хз)+ у" (х,) = у", ~~~~ с )!ьи-1!гхе)+гиии-1)г» ), у~и-11 ~-1 тялвнения поеядкл выше пгявого 1ГЛ. Э Эта линейная по отношению к постоянным с, система и уравнений с и неизвестными при произвольных правых частях допускает единственное решение относительно с; (( = 1, 2, ..., и), так как определитель системы (2.53), будучи определителем Вронского 11т (ун уз, ..., у„) для линейно независимой системы решений соответствующего однородного уравнения, отличен от нуля при любых значениях х из отрезка и ..
х < Ь и, в частности, прн х =... х, Следователыю, интегрирование линейного неоднородного уравнения сводится к нахождению одного частного реше>шя этого уравнения и к интегрированию соответствующего линейного однородного уравнения. Пример 1. у +у== х. Одно частное решение этого уравнения у= х. очевидно, общее решение соответствующего одноролного уравнеши имеет внл у= с, сов х+ с, з1пх (см. стр, 108, пример 4). Следовательно, общее решение исходного неолиородного уравнения у =- с, сов х+ с, з!их+к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
