Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Теперь условия теоремы об огибающей выполнены, и, применяя общий метод, получим: у = (х — с)ь, 5 (л — с)4 0 пли, исключая с, будем иметь уравнение огибающей у =0 (рпс. 1.32). Пример 5, Лано семейство интегральных кривых у' — (х — с)' = 0 (1.86) некоторого дифференциального уравнении первого порнлка. Найти особое решение того же уравнения. с-дискримииантная кривая опрелеляется уравнениями у' — (х — с)'=0 н х — с=О, 6 Л. Э. Эльсгальч 82 ДИЕЕВПВНЦИЛЛЬНЫП КРЛВНЯНИЯ ПЯРВОГО ПОГЯДКЛ !ГЛ ! или, исключая с, получим у=О.
На прямой у=О обращаются в нуль обе дйз дФ частные производные — и — от левой части уравнения (1.86), следовадх ду тельно, у= О является геометрическим местом кратных точек кривых семейства (1.86). з данном случае точек возврата. Однако зто геометрическое Рнс. !.32. Рис. !.ЗЗ, место точек возврата в рассматриваемом примере является одновреззснно и огибаюптей. На рис. 1.33 изображены нолукубическпе параболы (1.86) и их огибазощая у = О, Задачи к главе 1 1О. х(!пх — !ну) йу — у дх О. 1!.
«у(у')з — (аз+уз) у'+. +ху =-о. 19. Найти ортогональные траектории семейства ху = с, т. е. найти линии, ортогонально пересекающие кривые указанного семейства. 20. Найти кривую, у которой подкасательная вдвое больше абсциссы точки касзния. 21. Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной иа оси ординат, рзвен абсциссе точки касания. 22, Найти ортогональные траектории семейства х'+ у' = 2йх, 23. Считая, что скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурами тела н воздуха, решить следующую задачу: если тенпература воздуха равна 20* С и тело в течение 1. !8 у дх — с!2 х ду = О, 2.
(12х+5у — 9) дх+ + (5х + 2у — 3) йу = О. 3. х — = у+ 1' ха+ у'. з(у дх 4. х — + у+хз й'у й'х 5. удх — хду=хзуду. 6. — +Зх=е . дх л й 7.,уз!их+у' соз х = 1. 8. у'=гк т. ' дх 9. — = х+ з!па Л 12. гу')з = 9у4. к дх —, х 13. — '=е + —. дт 4 х з + ( у ) з ! 1 15.
у = ху'+ —,. у' 16 х=(у')з — у' Р2 17. — = ' дх х+у' 18 у (у) (у)з 83 задачи к главк ! 20 мпн, охлаждается от 100 до 60'С, то н течение какого времени температура гела досюггнет 30' С1 24, Моторнав лодка движется в споко)1ной воде со скоростью !О км/час.
На полном коду ее мотор был выключен и через ! = 20 сек. скорость лодка улгеньшилась до о, =6 кж/час. Определить скорость лодки через 2 мин. после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. 25. Найти форму зеркала, отражающего параллельно данному направление все лучи, выходящие нз заданной точки. 26. у'+уз=4. 27. Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключенный между осякш координат, дел~ттся в точке касания на равные части. 4х 2х †у 'Лх 1+х 30. Численно проинтегрировать уравнение — +у' »(О) =0 Ф) сГх Определить у(0,5) с ~очностью до 0,01.
31. Численно проинтегрировать уравнение — —.=х»т+хз, у(О)=0. ггу (х Определить у(0,6) с точностью до 0,01. 32. у' = 1,31х — О,йу', у(0) = 2. Составить таблицу пятнадцати значений у с шаголт й = 0.02. ,т ЗЗ. у 2ху' — у' . 34. — =сок(х — у) г(х 35. Пользуясь методом изоклин (сль стр, !7), слслать набросок семейства ннтегральнык привык уравнения т(» л т — = х' — у .
дх 36. (2х+ 2» — 1) дх+ (х+ У' 2) ду = О. Зт. у' — »е =О 38. Найти ортогональные траектории парабол уз+ 2ах= ат. 30. Имеет ли дифференциальное уравнение у = 5ху' — (у')' особое решение) 40. Приближенно проинтегрировать уравнение — = х — у'. у(1) = 0 ду в'х методом последовательных приближений (определить у, н у,).
к 41. у = ха+ ! — тГх. д х 42. Имеет ли уравнение у' = 3' х — 5у+2 особое решение) 43, (х — у) у т(х — х'ау =О, 44. Найти ортогональпые траектории семейства у' сх'. 45. х+бх= 101+2 при 1=1, х 2. 84 див авявннилльн!яв кравнвния пврвого порядка х ха 46. х= — '+ — при т = 2, х= !. сэ 47. у = ху'+ у' при х = 2, у = — 1. .2 48.
у = ху'+ у' прн х = 1, у = — 1, Ну Зх — 4У-2 49. я'х Зл — 4У вЂ” 3 ' 50. х — х с!й ! = 4 ми г. 5!. у = ха+ 2у'.т+ " Зу 52. у' — — +х')4 = О. 53. у (1+ у' ) = а. 54. (х' — у) с(х+ (хау'+ х) Ду = О. 55. Найти интегрирующий множнгель уравнения (Зу' — х) ах+ 2у (у' — Зх) ау = О, имеющий вид р = р. (х+ у'). 56. (х — у) у дх — х' с(у = О. х+у — 3 57. у'= + 58. ху' — уа (п х+ у = О. 59. (х' — 1) у'+2ху — соа х= О.
60. (4у + 2х+ 3) у' — 2у — х — 1 =. О. 6!. (уа — ) у — > + . =- О. 62. (у' — х') у'+ 2ху =- О. 63. Зху'у'+у' — 2х== О. 64. (у')'+(х+ о) у' — у = О, где а — постоянная. 65. (у')' — 2ху'+ у —,- О. 66. (у')а+2уу' ссйх — у'= О. ГЛАВА 2 ДИффЕРЕНПИАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЪ|ШЕ ПЕРВОГО 4 1.
Теорема существования н единственности для дифференциального уравнения и-го порядка Дифференциальные уравнения и-го порядка имеют вид уоо у (х у у' уы- н) (2.!) или, если онн не разрешены относительно старшей производной, у'(х, у, у', ..., У~ю) =О. Теорема существования и единственности для уравнения и-го порядка легко может быть получена путем сведения его к системе уравнений, для которой на стр. 51 теорема существования и единственности уже была доказана. Действительно, если в уравнении Уме= т(х, У, У', ..., У~ — П) нензвестпымп функциями считать пе только у, но н у =- у,, У =уз ° °" у'" "=у,, то уравнение (2.1) заменяется системой у =у1 У1 )я (2.2) У„о= У„1 у„',= Г(х, у, уп ..., У,,) после чего уже можно применить теорему о существовании и единственности решения системы уравнений (см. стр, 51), согласно которой, если правые части всех уравнений системы (2.2) непрерывны в рассматриваемой области и удовлетворяют условию Липшица по всем аргументам, кроме х, то существует единственное решение системы (2.2), удовлетворяющее условиям У (хо) =Уо У|(хо) = У1о ° ° ° У -г(хо) =Уз-ьо УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО 1Гч 2 Правые части первых п — 1 уравнений (2.2) непрерывны и удовлетворяют не только условию Липшица, но даже более грубому условию существования ограниченных производных но у, ун уг, ..., у„ Следовательно, условия теоремы существования и единственности будут вынолнены, если правая часть последнего уравнения у„' = 1(х, У, УР ..., У„,) будет непрерывна в окрестности начальных значений н будет удовлетворять условию Лнншнца но всем арг»ментам, начиная со второго, или более грубому условию существования ограниченных частных производных по всем аргументам, начиная со второго.
Итак, возвращаясь к нреягним переменным х и у, окончательно Получаем слеауюшую теорему существования и единственности: Теорема 2.1. Существует единственное решение дифференциального уравнения и-го порядка ут1=у (х, у. у', ..., Ут-и), удовлетво ряющее условиям У (хо) = Уо' У (хо) Уо У (хо) Уо' ' ' ' У (хо) Уо если в окрестности начальных значений (хо, уо, у' ..., У1"-И) функция у является непрерывной функцией всех своих аргу-. ментов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам, начиная со второго. Последнее условие может быть заменено более грубым условием существования в той же Окрестности ограниченных частных производных первого порядка от функции у цо всем аргументам, начиная со второго. Общим решением дифференциального уравнения и-го порядка называется множество решений, состоящее нз всех без исключения частных решений.
Если правая часть уравнения ут'=у'(х, у, у', у", ..., У<"-Н) (2.1) в некоторой области изменения аргументов удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, то общее решение уравнения (2.1) зависит от п параметров, в качестве которых могут быть выбраны, например, начальные значения искомой функции и ее производных у, у,', у", ..., у~"-'Ц В частности, общее решение уравнения второго Порядка уа=у'(х, у, у') зависит от двух Параметров, например от уо и у'. Если же фиксировать уо и у', т. е. задать точку (хо, уо) и направление касательной к искомой интегральной кривой в этой точке, то ири выяолненин условий теоремы существования и единственности этими условиями определяется единственная интегральная кривая. вп ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА ЕУ Например, в уравнении движения материальной точки массы по прямой под действием силы у(с, х, х): шх = у (г, х, х), задание начального положения точки х(гс) = ха и начальной скорости х(се) = ха определит единственное решение, единственный закон движения х = х(1), если, конечно, функция у удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.
Теорема о непрерывной зависимости решения от параметров н от начальных значений, рассмотренная на стр. 54, без изменения метода доказательства переносится на системы дифференциальных уравнений, а следовательно, и на уравнения и-го порядка. В 2.
Простейшие случаи понижения порядка В некоторых случаях порядок дифференциального уравнения может быть понижен, что обычно облегчает его интегрирование. Укажем несколько наиболее часто встречаю4цихся классов уравнений, допускающих понижение порядка. 1. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка и — 1 включительно: Р(х, у1А1, ушэ'1.....
ущ1) =О. (2.3) В этом случае порядок уравнения может быть снижен до и — и заменой переменных у4А>= р. Действ44тельно, после замены переменных уравнение (2.3) принимает вил Р(х, р, р, ..., р'" ю) =О. Из этого уравнения определяется р= р(х, сн см ..., с„„), а у находим нз уы1= р(х, сн см ..., с, „) х-крат44ым интегрированием. В частности, если уравнение второго порядка не содержит у, то замена переменных у'= р приводит к уравнению первого порядка. Пример 1. 414у 1 414у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
