Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 15
Текст из файла (страница 15)
С4Х4 Х 44Х4 А44у 4ГР ! Полагая — = р, получаем — — — р = О; разделяя переменные и иитегрилх' Ых х Л4у рук, будем иметь: 1п!р)=!п)х!+1пс, или р сх, — = сх, откуда ' 4!Х' у с,х'+с,х'+сзх'+с,х+се Пример 2. Найти закон движения тела, падающего в воздухе без начальной скорости, считая сопротивление воздуха пропорциональным квадрату скорости. кглвнення погядкл выше пенного вв (гл. з Уравнение движения имеет вил т —,=тд — д( — ), гле а — пройлениый телом путь, т — масса тела, à — время.
При г = О и'з будет з = О и — = О. Л Уравнение ие содержит явно неизвестной функции з, следовательно, йа можно понизить порядок уравнения, считая — = о. При этои уравнение дви- Н жения примет вид пэ т — == те — Ло'. кг ь Разделяя переменные и интегрируя, получим тно т лв 1 М т= т = = Агне —. та — Лот ' ./ та — ао' а )Г л' 'е откуда о= — гп (ар д г); умножая иа пг и интегрируя еще раз, найдем Уа л закон движения; з —,, ~п сй (л Уа г). 1 2. Уравнение не содержит независимого переменного: Г(у у', у", ..., у1 1) =О.
В этом случае порядок уравнения можно понизить на единицу подстановкой у'=р, причем р рассматривается как новая неизвестная функция у, р=р(у), и следовательно, все производные— л'хл надо выразить через производные от новой неизвестной функции р(у) по у: ду кх р' Д2У дР лл кУ др Фх' дх л'у дх л'у и аналогично для производных более высокого порядка. 11рн этом дау очевидно, что производные — выражаются через производные пои'х» рядка не выше и — 1 от р по у, что и приводит к понижению порялка на единицу. 89 пеостеишие слкчли понижения погадка 5 2> В частности, если уравнение второго порядка не содержит независимого переменного, то указзнная замена переменных приводит к уравнению первого порядка.
Пример 3. Полагая — = р. — = р —. получим уравнение с разделяющимися переггу агу ггр ах ' гхв ау' ар ау меиными ур — — рг = О, общее решение которого р = с,у иля — = с,у. иу йх Своза разлеляя персмеиныс и интегрируя. получим >п(у(= с,х+!пс, или и» П р и м е р 4. Проинтегрировать уравнение математического маятника х-1- а'шп х=.О при начальных условиях х(0) = х,, х(0) =О. Понижаем порялок, полагая ло х=о, х=о —, ойо= — агв>лхггх, ггл ' о> — = а'(сов х — сов хв), о = х а)' 2(сов х — сов хв), 2 к йх 1 / ах — == х а)Р2 (сов х — сов ха), аг а)' 2 у»сов х — сов г, Интеграл, стоящий в правой части, ие берется в элементарных функциях, но легко сводится к эллиптическим функциям.
3. Левая часть уравнения го(х, у, у', у", ..., уш>) =О (2.4) является производной некоторого лзфференциально го выражения (и — 1)-го порядка 6>(х, у, у', ..., уы-г>). В этом случае легко находим так называемый первый иншезрал, т. е. дифференциальное уравнение (и — !)-го порядка, солержащее одну произвольную постоянную, эквивалентное данному уравнению и-го порялка, и тем самым пони>каем порядок уравнения на единицу.
Действительно, уравнение (2.4) можно переписать в виде — Ф(х, у, у', ..., у>л '>) =О. лх (2,4,) Если у(х) является решением уравнения (2.4,), то производная функции Ф(х, у, у',..., у'"-'>) тождественно равна нулю. Следовательно, функция Ф(х, у. у', ..., у<"-'>) равна постоянной, и мы получаем первый интеграл Ф(х. у, у', ..., уш-'>)=с.
Пример 5, уу" + (у') О. УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО 1Гл. э Это уравнение можно записать в виде л'(уу') =О, откуда уу' с, влн у лу = с, лх. Следовательно, общим интегралом является у' с,х+ с, Иногда левая часть уравнения Р(х, у, у', ..., уы1)=0 становится производной дифференциального выражения (и — 1)-го порядка Ф(х, у, у', ..., уш-") лишь после умножения на некоторый множитель ц(х, у, у', ..., у'э-'1).
Пря и ер 6. Умножая на множитель Н вЂ”, получим О нлн — ( — 1 О, 1 уу (у) /уц уэ уэ лх (,у) у' откУда — = спили — 1п1У1 сь Следовательно,1п1У~ эх+~псе с, > О, у ' л'х откуда у = с,а"х, с, ф О. как и в примере 3 этого параграфа. Замечание. При умножении на множитель 1А(х, у. у', ..., у"-н могут быть введены лишние решения, обрашаюшие этот множитель в нуль.
Если множитель р разрывен, то возможна и потеря реше- 1 ний. В примере6 при умножении на )т= —, было потеряно решеуэ ние у=0, которое, однако, можно включить в полученное решение у=сте ', если считать, что сз может принимать аначенне О. 4. Уравнение Г'(х, у, у', ..., у1э)=0 однородно относительно аргументов у, у'...„ уы'. ПОрядОК ОдНОрОдНОГО ОтНОСИтЕЛЬНО у, у',, .. уго уразпсиня р' (х у у' уы1) — 0 (2.5) т. е. уравнения, для которого справедливо тождество Г'(~, лу, йу', ..., ху("') =лРР'(~, у, у', ..., уОН), может быть понижен на единицу подстановкой у = е, где ( э лх х' — новая неизвестная функция.
Действительно, дифференцируя, получаем у"=е)'~ (г'+ г'), у"'=е( ~(ха+ Зхг'+ г"), урн=а('л"Ф(х, г', г г1А-11) (убедиться в справедливости этого равенства можно методом индукции). $ з) пяоствпшив слкчли понижвния погадка 91 Подставляя в (2.5) и замечая, что. в силу одпородностн, множитель ее< можно вынести за знак функции Р, получим ее< '~~у'(х, г, л', ..., л<' н) = О или, сокращая на е °, будем иметь е (хах /(х, л, л'..., з'" и)=О. Прив<ер 7 уу" — (у')' = бху'.
(х ех (<зх' о<к Полагая у = е", получим х' = бх. е = Зхв+ сн у = е" ' ' илн е е(х'хпх< Особенно часто в приложениях встречаются дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка. 1) Г(х, уе) =О. (2.6) В этом уравнении можно понизить порядок подстановкой у' = р и свести его к уравнению Г(х, — < =О, рассв<отреш<ому на стр. 69.
<гр '< «х< Можно разрешить уравнение (2.6) относительно второго аргумента у" = / (х) и два раза проинтегрировать или ввести параметр и заменить уравнение (2.6) его параметрическим представлением .„<27 —., = <р (<), х = ф(О, откуда ()ф' '=/ ) ' ) <(у у <(х У Г[~ <р(И)ф'(8)л<т+с<1ф (Ос((+с,. 2) Р(у', уе)=О. (2.7) Полагая у'= р, преобразуем (2.7) к уравнению (1.61), стр. 70, или представим уравнение (2.7) в параметрическом виде: у,'=ф(т), у„"х=ф(р). откуда ю'(г) и< 1' ч'(г) лг <(х= — „=, х=/ ( +с, после чего у определяется квадратурой: ау=у'(х= р(1) — '(Р, у=/ ' " (+с,.
ч' (г) ч< (г) <р' (О р(г) ' = ,/ ф(г) 3) Р(у, уе)=О. Можно понизить порядок, полагая <ГР <ГУ <ГР— =Р— = — =Р— «х ' ех' <гу <Гх <гу (2.8) повидал выши 1гл, я Если уравнение (2.8) легко разрешимо относительно второго аргумента у" = у (у), то, умножая зто уравнение почленно на 2у' с(х = 2с(у, получим с( (у') = 2 г' (у) с(у, откуда — „У =+$/ 2 ~ г(у)с(у+со + ' ~ =с(х. 2 1 гу)СУ+с~ х+с,=": ( 1/ 2 ~ г(у)ау+с, Можно уравнение (2.8) заменить его параметрическим представлением у=<р(Г), у" =ф((); тогда из с(у =у сХх и гКу=у нх получим у'су'=у" Ну или — ((у')с = р(г) р'(р) д(, 2 (у')' = 2 ') гр(() гр'(() г((+со у' = + ~I 2 ~ ~р (Г) р' (() с(Г + со после чего из с(у=у'с(х наяодим с(х, а затем и х: ср' (г) с'г У х ~/ 2 ~ Ф (т) т' (г) сг + х= ' / ™М — -)-са. (2.9) 1/ 2 ~ 4: (г) р' (г) ггс + с, Уравнение (2.9) и у=гр(г) и определяют в параметрическом виле семейство интегральных кривых.
Пример И. у"=2уь, у(О)-1. у (О)=1. Умножая обе части уравнения на 2у'ах, получим с(у')' 4у'лу, откуда (у')'= у'+ с, Принимая во внимание начальные условия находим. что лу 1 с = О и у' = у" Следовательно, — ссх, — — = х+ сь с, = — 1, 1 у' ! у 1 — х' а з! ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ф 3.
Линейные дифференциальные уравнения н-го порядка Линейным дифференциальным уравнением н-го порядка называется уравнение, линейное относйтельно неизвестной функции и ее производных и, следовательно, имеющее вид аэ(х) ум+ а,(х) у'"-'!+... + а„,(х) у'+ а„(х) у =ф(х). (2.10) Если правая часть й!(х)= — О, то уравнение называется линейным однородным, так как оно однородно относительно неизвестной функции у и ее производных. Если коэффициент ае(х) не равен нулю ни в одной точке некоторого отрезка а ( х ( Ь, то, разделив на аэ(х), приведем линейное однородное уравнение при х, изменяющемся на этом отрезке, к виду у'"'+ р, (х) у!О '1+ ° + ри-! (х) у + рь (х) у = О (2.11) илн у "~= — ) р,(х)угв (2.11,) Если коэффициенты р,(х! непрерывны на отрезке а (х (Ь, то в окрестности любых начальных значений У(хэ)=УО УО(хэ)=УО ". У'"-и(хь)=У!-и.
где хз — любая точка интервала а < х <Ь, удовлетворяются усло- вия теоремы существования и единственности. Действительно, правая часть уравнения (2.11,) непрерывна по совокупности всех аргументов и существуют ограниченные по модулю частные производные —,„, = — р„„(х) (!г = О, 1, ..., (п — 1)), ОУ ду" так как функции р„ь(х) непрерывны на отрезке а (х (Ь и, следовательно, ограничены по модулю Заметим.
что линейность и однородность уравнения сохраняются при любом преобразовании независимого переменного х = у (1), где ф(1) — произвольная и раз дифференцируемая функция, производная которой !р'(г) Ф О на рассматриваемом отрезке изменения г. Действительно, ау д» ! дх иг ~р'(г) ' дьу ~'у 1 иу В' (Г! дань аи (в (г))ь аг (, О)1э рьу Производная любого порядка — является линейной однородной дхь ау иьу дау функцией производных —,. —, ..., —, и следовательно. пря аг ать игь 94 твлвнгния пояядкл выше пьявого 1гл.
г подстановке в уравнение (2.11) его линейность и однородность сохраняются. Линейность и однородность сохраняются также при линейном однородном преобразовании неиавестной функции у(х) = а(х) г (х). Лействительно, по формуле дифференцирования произведения у»'= а(Х) гыи+ йа'(Х) г1» "+, ал (Х) г1»-Ю +... + аып(Х) г, 21 т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
