Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 18
Текст из файла (страница 18)
= О. „П-2' „(Л-2! „(л-2 У'! у(л. у(л! Уп, 1 1 ''' л (2.31) Так как всякое решение у искомого уравнения (2.28) должно быть линейно зависимо от решений УР у,, ..., Ул, то опрелелитель ВРонского %'[У(, У2, ..., Ул, У) =О, Запишем это УРавнение в развернутом виде: Полученное уравнение (2.31) и является искомым линейным однородным уравнением, имеющим заданную фундаментальную систему РЕШЕНИЙ УН У2, . „Ул (таК КаК ПРИ У=У, (1=1, 2, ..., ЛУ В'(У(, У2, ..., Ул, У1=0).
Разделив обе части УРавнениа (2.31) на отличный от нуля коэффициент (р'(у), уз, ..., У„| при 'старшей производной, приведем его к виду (2.28). Отсюда следует, в частности, что У) Уи ° ° ° Ул У) У2 " Ул (и-2) (и-2) У) У2 ) п),(п1 ° 1 У2 р((х1 =— (п-2) Уп „(л) Заметим, что определитель У) У2 У, У) У2 У„ (2.32) „(п-2) „(п — 2) „(и-2) у(п) 1(п1 у(п) 1 2 ''' л равен производной от определителя Вронского Ф'(у11, У2, ..., Уи!.
Действительно, по правилу дифференцирования определителя, про- изводная У( У2 Уи У) У2 „(л-2) „(п — 1) „(и-2) у(л — 1. у\л — 1) у(л — 1) 1 2 ''' п равна сумме по 1 от 1 до и определителей, отличающихся от определителя Вронского тем, что в них продифференцирозаны элементы 2(ый строки, а остальные строки определителя Вронского оставлены без изменения. В этой сумме только последний определитель при ( = и, совпадающий с определителем (2.32у, может быть отличен от нуля. Остальные определители равны нулю, так как их (-я и 1+-1-я строки совпадают.
% з) линвиныв диееагенцилльныв ягавнвния 105 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !ГЛ. 2 и»' Следовательно, р,(х)= — —. Отсюда, умножая на дх н ннте'ч» грируя, получим (п(((7~= — ~'р,(х)дх+)пс, Ф=се ! Рыю ' или — ) Рых>Е» у(» се х, (2.33) При х=ха получим с=(р'(х„), откуда » - ! р,(»1лх (у» (х) = (у'(хо) е (2.34) формулы (2.33) или (2.34), впервые полученные М. В.
Остроградским и независимо от него Лнувиллем, называются формулами Остроградского — Лиузилля. формула Остроградского — Лиувилля (2.34) может быть использована для интегрирования линейного однородного уравнения второго порядка у" + р, (х) у'+ р, (х) у = О, (2.35) если известно одно нетривиальное решение этого уравнения у,.
Согласно формуле Остроградского — Лиувнлля (2.34) любое решение уравнения (2.35) должно быть также решением уравнения ! У1 У ~ — !'РнхГЕ» =с,е у1 у или — ( р, ~»~л» у,у' — уу,' = с,е Для интегрирования этого линейного уравнения первого порядка проще всего воспользоваться методом интегрирующего множителя. ! умножая на р = — . получим 2 ' откуда - Гр <х'р» — дх+ с,. у усе l у', или — (р, (х> лх (е» У = сгу, + с1у,р! 2 дх.
У1 В <! одиоиодиыи килвиииия с постоянными коэееициинтлми 1Оу $4. Линейные однородные уравнения с постоянвымн коэффицневтями н уравнения Эйлера 1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Если в линейном олнородном уравнении а,у1'1+ а,у1" и +... + а„у=О (2.36) все коэффициенты а, постоянны, то его частные решения могут быть найдены в виде у= е»", где а — постоянная. действительно, подставляя в уравнение (2.36) у = с»к и у1»1 =Лале»к (р= 1,2, ..., а), будем иметь: аейке»к+ а,йк 'е»'+...
+ аке» = О. Сокрзщая на необращающийся в нуль множитель е»'. получим так называемое харакаеристичсское уравнение аай" + а,ак '+ ... + а„,lг+ а„=О. Это уравнение п-й степени определяет те значения а, при которых у = е»" является решением исходного линейного олнородного уравнения с постоянными коэффициентами (2.36). Если все корни ап )см..., )»„ характеристического уравнения различны, то, тем самым, найлено а линейно независимых решений е ', с '", ..., е к уравнения (2.36) Мч жк » к (см. стр. 96, пример 2).
Следовательно. у = с,е"~'+ сзе»»" +... + с„е~кк, где с, — произвольные постоянные, является общим решением исходного уравнения (2.36). Этот метал интегрирования линейных уравнений с постоянными коэффициентами впервые был применен Эйлером. Пример 1. у' — Зу' + 2у О. Характеристическое уравнение имеет внл Е» — ЗА + 2 О, его корни Е, = 1, Е, 2.
Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет внд у = с,е'+ с»еьк. Пример 2. у' — у -а Характеристическое уравнение Ф» — Е = О имеет корни », = О, Е, = 1, а, = — 1 Общее решение рассматриваемого уравнения у = с, + с,к" + с»е Так как коэффициенты уравнения (2.36) прелполагаются действительными, то комплексные корни характеристического уравнения могут ПОяВЛятЬСя ЛИШЬ СОПряжЕННЫМИ ПараМИ. КОМПЛЕКСНЫЕ рЕШЕНИя ЕШКЗпк и Е1Я-Ш1к, соответствующие паре комплексных сопряженных корней *1 а-(-(У и Ламма — 61, УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО |ГЛ. в |ОЗ могут быть заменены двумя действительными решениями: действительной и мнимой частями |см. стр. 95) одного из решений Е(в'вв(>» = Е»»(СОЗ ВХ+ | В!П ВХ), е(~-щ» — ви» |сов |(х ( а|п Вх) или Таким образом, паре комплексных сопряженных корней (в, в= а + й( соответствуют дза действительных решения: е"»совбх и е "з!пбх. При мер 3. у" + 4у' + бу = О.
Характеристическое уравнение имеес внд ав+4а+О=0, его корни (г, в= — 2ша Общее решение у = е '" (с, сов х+ с, в|п х). Пример 4. у"+ау=О. ХаовктеРистическое УРавнение ав+ав =О имеет коРни Ль в = ц. а(. Общее решение у = с, сов ах+ с, в|п ах. Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные, то число различных решений вида ев» меньше и и.
следовательно, недостающие линейно независимые решения надо искать в ином виде. Докажем, что если характеристическое уравнение имеет корень а( кратности ап то решениями исходного уравнения будет не только в» в» а.-1 в г е (", но и хе (, хве (, ..., х ' е г. Предположим вначале, что характеристическое уравнение имеет корень а(=О кратности а,. Следовательно, левая часть характеристического уравнения (2.3У) имеет в этом случае общий множитель а а, т. е.
коэффициенты а„= а„, = ... = а„„„, = О, и характеои! стическое уравнение имеет вид а~А" + а,ав '+ ... + ав в й"(=О. Соответствующее линейное однородное дифференциальное урав- нение а у("| + а,у(" '| + ... + а„ „ у( д = О, очевидно, имеет частные решения 1, х, хв, ..., х'(, так как уравнение не содержит производных порядка ниже чем ан Итак, кратному корню (в(=О кратности а, соответствует и, линейно не- зависимых |см. стр. 96, пример 1) решений !,х,х',...,х( $ К1 ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 109 Если характеристическое уравнение имеет корень 7з;ФО кратности а, то замена переменных у=его (2.38) сводит задачу к уже рассмотренному случаю равного нулю кратного корня. Действительно, линейное однородное преобразование неизвестной функции (2.38), как указано на стр. 94, сохраняет линейность и однородность уравнения.
Постоянство коэффициентов при замене переменных (2.38) тоже сохранится, так как и после подстановки в уравнение (2.38) и сокрашения на е ' при остаются лишь постоянные коэффициенты. Итак, преобразованное уравнение будет линейным одйородным уравнением и-го порядка с постояннымп коэффициентами Лое~л~ + Га1гы Н+ . ° . + Сале = О (2.39) причем корни характеристического уравнения аз7зл+ а 7ка-1+ + а 0 (2.37) отличаются от корней характеристического уравнения для преобразованного уравнения (2.39) бзр" + б, р"-'+ ... + б„= О (2.40) на слагаемое (з,, так как между решениями у = екк уравнения (2.36) Ак и а=еек уравнения (2.39) должна быть зависимость у=ее ~ или кк рк ьк е = е е ', откуда 7з = р+ мр Следовательно, корню и = 7е, уравнения (2.37) соответствует корень р, =0 уравнения (2АО).
Как нетрудно проверить, при этом соответствии сохранится и кратность корня, т. е. корень р, =0 будет иметь кратность а,. Действительно, кратный корень л, уравнения (2.37) можно рассматривать как результат совпадения различных корней этого уравнения при изменении его коэффициентов, но тогда в силу зависимости к =р+д, совпадут с р=О и а, корней уравнения (2.40). Корню р = 0 кратности а, соответствуют частные решения а = 1, а.-~ Фк е=х...,, а=х ' . Следовательно.
в силу зависимости у=ее ' корню 7г, кратности а, уравнения (2.37) будут соответствовать а; частных решений Ак Кк а — ! Аак у=е ~, у=хе ~, ..., у=х' е г ° (2.41) Остается показать, что решения е г, хе г, ..., х'~ 'е ~" (1= 1 ° 2 ° т) (2,42) (гл. т УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВ<>ГО ПО где т — число различных корней а, характеристического уравнения, линейно независимы, но зто уже было доказано в примере 3 стр. 96, Следовательно. общее решение уравнения (2.36) имеет вид й МХ у = ~(сс, + с!!х+ ст!Хт — (- ...
-(- сч, ! сх ' ) е ! ! —.. 1 тле с„ — произвольные постоянные. Пример 5 у — Зу" +Зу — у=о Характеристическое уравнение И вЂ” Зас + ЗЛ вЂ” 1 = О ялн (Л вЂ” 1)' = О имеет трехкратный корень а, к „= 1. Следовательно. общее решение имеет вил г = (с~+сгх+ ссх )сх Если характеристическое уравнение имеет кратный комплексный корень р+д( кратности и, то, соответствующие ему решения е(Р+с'1", хе(Р "снх, хте(я+СО'; ., х' 'е(" с'1 можно преобразовать по формулам Вилера ещ+с9'= е"'(сов дх -(-(юпдх) и, отделяя действительную и мнимую части, получить 2п действительных решений: елх сов дх, хегхсоздх, х'ел'создх, ..., х' 'ег" создх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
