Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если подбор частного решения неоднородного уравнения труден, ио общее решение соответствующего однородного л уравнения у= ~ с,у, найдена, то лгожяо проинтегрировать !' = ! линейное неоднородное уравнение методом вариации постоянных. Прн применении этого лгетода решение неоднородного уравнения ищем в виде у= ~ с;(х) у„т. е. по существу вместо неизвестной 1=! функции у вводим и нензвестных функций с,(х). Так как подбором функций с,(х) (!'=1, 2, ..., п) надо удовлетворить лишь однолюу уравнению у!ю+р,(х)у<"-и+ ...
+р„(х)у=у'(х), (2.49) то можно потребовать, чтобы эти и функций с;(х) удовлетворяли бы еще каким-кибудь и — 1 уравнениям, которые мы выбираем так, ! чтобы производные функции у = ~г сг(х)у,(х) имели бы по воз!! можности такой же вид, какой они имеют при постоянных с,. Выберем с;(х) так, чтобы вторая сумма в правой части у' = ~ с, (х) у', (х) + ~ с,' (х) у, (х) г=! 1=1 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ равнялась нулю.
х.', с,(х) у,(х) = О, 4=1 и, следовательно, у = Х с, (х) у, (х) !=1 т. е. у' имеет такои же впд, как и при постоянкык с!. Точно так же у второй производной и и уи= ~~ с,,(х)у +,~ с,,(х) у,. !=1 !и! Продолжая вычислять производные функции у = ~,' с!(х) у; до по!=1 рядка а — 1 включительно и требуя каждый раз обращения в нуль суммы ~ с,. '(х) у1."'(х): !=1 „'Р~ с,'.(х)у!"'(х)=0 (!1=0, 1, 2, ..., п — 2), (2.54) !=1 получим с!(х)ун с,(х) у,', с! (х) у',.', (2.55) с!(х) у1л '1, у!и 1! 1=1 и у1л! с, (х) у!и'+ ~ с,(х)у',д '!. не можем потребовать, чтобы ~ с'у!и-'1=О, ! 1 ! уже подчинены и — 1 условиям (2.54), В последнем равенстве мы так как функции с, (х) требуем обращения в нуль второй сунны и тем самым подчиняем с,(х) второму условие: и ~ с,' (х) у,'.
= О. 1-.1 >гл. а кяавнения попядкл выше п>явого Ий а надо еще удовлетворить исходному уравнению (2 49). Подставляя у, у', ..., у!"> из (2.55) в уравнение у! ">+ р, (х) у!" —" + ... + р„(х) у = 7 (х), (2.49) получим недостающее уравнение для определения с, (х) (1=1, 2, ..., а). При этом очевилно, что в левой части уравнения (2.49) останется лишь сумма У, с,'(х) у>,"-", так как все остальные члены имеют >=! такой >ке вид, как и при постоянных сн а прн постоянных с, функция н у = У с,.у, удовлетворяет соответствующему однородному уравнению. >=! В этом можно убедиться н непосредственным вычислением: П н л ч «> с.у!" " + ~ с,у;"'-1- )э! (х),~~ с>уш " .+ р (х) ~ с у>," "-1- ...
>=! !=! >=! >=! и ... + р (х) ~> с,у,=7'(х) или н н с'у!"-"-+ ~~'„с.[у>!"'-(-р (х)у)л->>+ ... + р (х)у>] = Г'(х). (2.56) >=! =! Все у,. являются частнымн решениями соответствующего однородного уравнения, следовательно, у>>л>+)>>(х)у>!" >>+ .. + р„(х)у,=О (!'= 1, 2, ..., а) и уравнение (2.56) .принимает вид н ,«ч с,'у>,"-'> = )'(х). >=! Итак, функции с,(х) (1=1, 2, ..., и) определяются нз системы и линейных уравнений «, с,'(х)у, =О, >=> ~, с,>х)у,'=О, >=! и ,«> с,'(х)у," =О, !=! (2.57) ЛИНЕИНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ с отличным от нуля определителем' системы, так как этот опреде- литель У! Ув ..
Ул У! Уз !л-П !л-Н !л- Н является определителем Вронского для линейно независимых решений соответствующего однородного уравнения. Опрелелив из (2.57) все с,'(х) =гр,(х), квадратурами находим с,(х) = ) гр;(х)с(х + сп Пример 2. у +у 1 СОЗ Х Общее решение соответствующего олноролиого уравнения имеет вил у = с, сов х+ с, 5!и х. Варьируев! с, и с,; у с,(х)сов х+с,(х)ыпх, с, (х! и сл(х) определяются из системы уравнений (2.57): с, (х) соз «+ св (х) 51п х О, 1 — с, (х) 51п х+ с (х) соз х = сов х ' откуда 5!П Х с' (х) = — —, с (х) = 1п ( соз х ! + 52! С05 Х с,(х) = 1, сз(х) х+ с Общее решение исходного уравнения т = с1 соз х + сл 51п х + соз х (п ( с05 х 1+ х 5!и х.
Пример 3. х+ а'х = у (Е). Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид х с, сова(+ с, 5!пас Варьируя постоянные х с, (2) сова!+с,(Г) 5!па! получим с, (г) сов пг+ с (г) в!и аг О, — ас (г) 5!пас+ас, (1) сова! =/(Г), 120 квлвнения порядкл выше пгрвого !гл. я о!куда ! ! — — л'(г) в!пас. с 00 = — — / г" (и) в!п аи ли+ с. а ' ' а,/ 1' с ! ! — у (Г) сов аг, сз(с) = — / у(и) соя аи Ли+ ся, а а,/ з ,/ в!и аг у (и) в!и ии аи+ — / у (и) соя аи с)и+ а о с,(!) = ся (г) = сов ас х(г) =— а + с, сов а!+ с, в!п ай нли 1 Р х (Г) = — / у (и) [сов аи в|п ас — в)п аи соя а![ аи+ с, сов ас+ с, вш ас, а ./ с откуда окончательно получаем х(Г) = — / у(и) в!и а (! — и) с(и+ с, сова!+ с, в!и аг. ад о Заметим, что первое слагаемое правой части является частным решением исходного уравнения, удовлетворяющим начальным условиям х (0) = О, х (0) =-О.
Итак, знание п линейно независимых частных решений соответствующего однородного уравнения позволяет методом вариации постоянных проинтегркровать неоднородное уравнение )- [у[ = У(х), Е[у)]==-/(х), с[у [=/(х), следователю<о, с[у) — ур[ = — с [у)[ — 0 [ур[ ==-у (х) — у (х)= О. Еслн же известно лншь )с, где )с < и, линейно независимых решений ун уя ул соответствуюшего однородного уравнения, то, как уже указывалось на стр. 102, замена переменных позволяет понизить порядок уравнення до л — а, сохраняя его линейность.
Заметим, что еслл )с = и — 1, то порядок уравнения снижается до первого, а линейное уравнение первого порядка всегда можно проинтегрировать в квадратурах. Аналогично могут быть использованы )с решеняй неоднородного уравнения у,, у,,, ..., ув, так как их разности являются уже решеннямн соответствуюшего однородного уравнения. Действительна. 12! линвнныв нводногодныв квлвнзния Если частные решения соответствуюшего однородного уравнения (У, —.
Ув), (уа — Уа), ..., (Уа, — Уе) (2.58) линейно независимы, то порядок уравнения с(у)=/(х) может быть понижен до а — (А — !). Очевидно, что другие разности у) — уя являются линейными комбинациями решений (2.58) У1 Ур = (У1 Уа) (Ур Уа) и, следовательно, не могут быть использованы для дальнейшего понижения порядка, Укажем еще метод Коши нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения и ~ К„(х. а) / (з) г(з, хе = [ Кг(х, з)/(г) Из, к, у' (х) у" (х) (2.63) у"-"(х)= ~ К'," '(х, а)/(з)с(г, ж у' (х) = ~ К~, ~(х. г)/(г) г1з+/(х). ХО Ь [у (х)[ = / (х). (2 59) В этом методе предполагается известным, зависяшее от одного параметра. решение К (х, г) соответствующего одноролного уравнения 5[у(х)[=0, удовлетворяюшее условиям К(з, г)=К (з, г)= ...
=Кш '(з. з)=0; К'" ~(г, г) = 1. Нетрудно проверить, что в этом случае у(х)= ~ К(х, г)/(з)г(г (2.62) к, будет частным решением уравнения (2.59), удовлетворяюшим нулевым начальным условиям у (хо) = у (хо) = ° ° ° = у'" 0 (хо) = 0 Действительно, лиффереицируя (2.62) и принимая во внимание условия (2.60) и (2.61), получим УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !ГЛ.
Я Подставляя (2.62) и (2.63) в уравнение (2.59), получаем к ~ (. [К(х. з)) у (з) г(я+ У'(х) =— у (х), общим решением является у = с, соз ах+ с, в!п ах, условия (2.60) и (2.61) приводит к следу1ошим уравнениям: с, соз аз+ с, в!п аз О, — ас, з!и аз+не! соз аз = 1. Следовательно, з!и аз с,=— а соз аз с,=— а и искомое решение К(х, з) имеет вид 1 К(х, з! — и!и а(х — з). а Решение уравнения (264), удовлетворяющее нулевым начальным условиям, согласно (2.62), представимо в виде к /' у(х) = — ! з!и а (х — з) у(з) вз. л,г к, Прн х, = 0 зто решение совпадает с полученным выше (см. стр.
120] другим методом решением того же уравнения. Можно дать физическую интерпретацию функции К(х. з) н решению линейного уравнения с правой частью в форме (2.62). При этом нам будет удобнее независимое переменное обозначить буквой г. Во многих задачах решение у(г) уравнения у!"'+ р (1) у'"-и+ ... + р„(г) у=у'(г) (2.65) описывает смещение некоторой системы, а функция у (г) — силу, лействующую на эту систему, 1 — время. Предположим вначале, что при Г~з система находилась в состоянии покоя и ее смещение вызывается силой ~,(у). отличной так как К(х, з) является решением соответствующего однородного уравнения и (.[К(х, а))= — О.
Решение К(х, а) может быть выделено из общего решения к у = ~~ с,у,(х) однородного уравнения, если выбрать произвольные !=1 постоянные с, так, чтобы удовлетворялись условия (2.60) и (2,61), П р и мер 4. 1(ля уравнения у" + яку = у (х) (2.64) !23 линвиныг нводнояодные кглвивния от нуля лишь в промежутке г(г(г+в, причем импульс этой силы равен 1: е+е у, (т) лгт = 1. Обозначим у,(() решение уравнения у" + п,(Г)у"-о+ ... + р„(()у=У (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
