Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 23
Текст из файла (страница 23)
4 4 3 а м е ч а н и е. Послелний пример показывает, как надо лейство! вать оператором „( на многочлен, если а,=О. Прелставив Ь'(О) в виде О'Ф(О), тле своболный член многочлена Ф(О) у1ке не равен 1 нулю, действуем на многочлен вначале оператором, а затем 1 0!(О) ' оператором — . О' ' Неоднородные у ра авенид Эйне р а асх"У!"1+а,х" 'У1" '1+ ... +а„У=7(х) (2.88) или а (ах+Ь)" у1" + а,(ах+Ь)" 'у!" '!+ ...
+а„у=7(х) (2.87) можно интегрировать путем решения соответствующих олноролных уравнений (см. стр. 110) и подбора одного частного решения неолно- э и интеггиговлние уРАВнениЙ пРи помощи РядОВ 187 родного уравнения, или применяя метод вариации постоянных. Однако обычно проще вначале проинтегрировать однородное уравнение, а для подбора частного решения преобразовать уравнение Эйлера (2.86) заменой переменных х = + е' (для уравнения (2.87) ах+Ь= Ь е') к уравнени!о с постоянными коэффициентами. для которых хорошо разработаны методы нахождения частных решений. Пример 11. х'у" (х) — ху' (х) + у (х) = х1п' х. (2.88) Ищем решение соответствующего однородного уравнения в виде у=х" Дк — 2н+1 = 0; (2.89) й!,, =1, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет внд у =(е, -(-с,1пх)х.
Заменой переменных х=е' преобразуем уравнение (2.88) в уравнение с постоянными козффицве!нами у(г) — 2у(!)+у =! е (левая часть этого уравнения сразу может быть написана по характеристическому уравнению (2.89) ). Операторным методом легко находим частное решение преобразованного уравнения 1 !з ! 1 ! ер х1пзх (Π— 1)к ЕР 20 ' У 20 Следовательно, общее решение уравнения (2.88) имеет вид 1п' х! т = '(е!+ск1пх+ ) х. ф 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов Задача иктегрирования линейных олнородных уравнений и-го порядка р (х)у1"!+р (х)у!" '!+ ... +р„(х)у=О. (2.90) сводится к подбору и нли хотя бы и — ! линейно независимых частных решений.
Однако частные решения легко подбираются лишь в исключительных случаях. В более сложных случаях частные решения ищут в виде суммы некоторого ряда ~'.~ а!ф!(х), особенно часто !=1 в виде суМмы степенного илн обобгценного степенного ряда. Условия, прн которых существуют решения в виде суммы степенного или обобщенного степенного ряда, обычно устанавливаются методами теории функций комплексного переменного, знакомства с которыми у читателя мы не предполагаем, поэтому основные теоремы этого параграфа даны без доказательства в применении к наиболее часто встречающимся в приложениях уравнениям второго порядка.
Теорема 2.У (об аналитичности решения). Если Ра (х) р! (х), рз (х) являются аналитичеснижи фуннйияжи х 138 УРАВНЕНИЯ Г!ОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО !Гл. г в окрестности точки х = хз и ра(хь) ть О, то решения уравнения рв(х) у" + р, (х) у'+ рг (х) у = О (2.91) также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же точки и, следовательно, решения уравнения (2.91) можно искать в виде у = аь+ а, (х — хг) + аг (х — хь)г+ ... + а„(х — хь)" + ...
Теорема 2.10 (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд). Если уравнение (2.91) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но х=х„явлаетса нулем конечного порядка е функции рв(х), нулем порядка з — 1 или выше функции р,(х) (если в ) 1) и нулем порядка не ниже в — 2 коэффициента рг(х) (если в.Р 2). то существует по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения (2.91) в виде суммы обобщенного степенного рада у=аз(х — ха) + а,(х — хг) + + ...
+ а„(х — хе) +"+..., (2.92) где й — некоторое действительное число, которое может быть нак целым, так и дробным, как положительным, тан и отрицательным. Второе ликейко независимое с (2.92) решение, как правило, имеет тоже вид суммы обобщенного степенного ряда, но иногда может еще. содержать произведение обобщенного степенного ряда на !п(х — хз). Впрочем, в конкретных примерах можно обойтись без формулированных выше двух теорем, тем более, что зги теоремы в указанной формулировке все равно не уетанавливают области сходимости рассматриваемых рядов. Чаще всего в конкретных задачах подбирают степенной нли обобщенный степенной ряд, формально удовлетворяющий дифференциальному уравнению, т. е.
при подстановке обращающий рассматриваемое уравнение (2.90) порядка и в тождество, если предполагать сходимость ряда н возможность почленного лифференцнрования и раз. Получив формально рещение в виде ряда, исследуют его на сходимость и на возможность почленного лифференцирования и раз. В той области, где ряд сходится н допускает а-кратное почленное дифференцирование, он не только формально удовлетворяет уравнению, но его сумма действительно является искомым решением. Пример 1. (2.93) у" — ну=О Ищем решение в виде степенного ряда у= ~ ачх". в~в интвгрировднив крапивниц при помощи рядов 139 Опираясь на теорему 2.9 илн формально дифференцируя этот ряд почленно два раза н подставляя в уравнение (2.93) получим ~Ч~„"аел(л — 1)хе-в х ~3~ алхл О в=т е=а Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой ав, частях тождества, получим: ат = О, 3 2ав — ав = О, откуда а, = — ! 2 3' а, а, 4 ° За — а, = О, откуда а = — ; 5 ° 4ав — а2 †††О, откуда ав =- 3 4' 4 5 л (л — 1) а„— ав, = О, откУда ае = " в, ...
Следовательно, (л — ) л' ав 2 ° 3 5 6 .. (Зл — !) Зл ' а) 3 ° 4 6.7... Зл(За+1) а, и а, остаются произвольными. Итак, л х' хвв 2 3 2 3.5 6 ''' 2 3 5 6...(Зл — !)Зл+ '''!+ х' х' .ввт| +3 4+3 4 6 7 ''' + 3.4 6 7 ... Зл(Зл+ !) + '''~' Радиус сходимости етого степенного ряда равен бесконечности. Следовательно, сумма ряда (2.94) при любых значениях х является решением рассматриваемого уравнения. !!Ример 2, хту" + ху'+ (хт — л') у = О. Это уравнение называется уравиением Бессели порядка л, хотя впервые оно встречается в работах Л. Эилера и Д. Бернулли.
К уравнению Бесселя сводятся многие задачи математической физики, поэтому мы исследуем его несколько подробнее. По теореме 2.10 по крайней мере одно нетривиальное решение уравнении Бесселя может быть наидено в виде суммы обобщенного степенного ряда ,аер р=о Дифференцируя этот ряд два раза почленно и подставляя в уравнение (2.95) получим Х' ~Ч~ ар(а+ р) (а+р — 1) Хаэр + р-О +х ~~ ар(а+р) х"+Р '+(хэ — л ) ет', арх"+' О. р О р е <гл. я УРАВНЕНИЯ ПОРЯЛКА ВЫ!ПЕ ПЕРВОГО сравнивая козффициеопы при одинаковых степенях х в левой н правой ча- стях равенства, получаем ао [й' — и'] = О, а, [(й+!)о — и'] О, [(Л+ 2)о — и'! ао+ ао О, [(й+ 3)о — и'] ао -1- а, = О, [(<о+ р)о ио] ал+ ал о =. О.
йо — и«= О, откуда Л = ш и Для определенности будем пока считать й= и>О; тогда из вторшо уравнения а,[(и + 1)' — и'] = 0 получим: а, = 0 п, следовательно, все а.. . О, ао ао (п+2)' — и' 2'(и+1) ' ао ао ао (и+4)о — и' 2«(и+2)2 2'(и+1)(и+2)1 ° 2 ' ( — 1)Р ао 2тл р!(и + 1) <и -1- 2) ... (и + р) При Л вЂ” и совершенно анало~ично получаем ( 1) но а«а+о О, аол тр 2тлр<( — и+ 1)( — и+ 2) ... ( — и + р) При й и получаем решение ПР то+о у- Ъ,,„ ' 2т р!(и+ !)<и+2) ... (и+р) Этому решению можно припать более удобный вид, если выбрать произволь! нос постоянное а, „, + 1, где à — аахха-<йуккпия Эйлера; напомним, что Г(р) ~ в «х" о(х при р>0, Г(р+1) рГ(р).
о Тогда - -"й)"" Х р! Г (и+ р+ 1) о (2.96) Так как коэффициент а, при низшей степени х иожно считать отличным от нуля, то первое уравнение сводится к й т\ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОЫОЩИ РЯДОВ 141 Это решение обычно обозначается У„(х) и называется функцией Бесселя первого рода порядка и.
При Л вЂ” и, выбирая а, 1 , аналогично получаем гулун- 2 "Г ( — л+1! кцию Бесселя первого рода порядка — л: (2) У „(х) Л Е р(Г( — и+ р+1) (2.97) и=с Ряды (2.96) и (2.97) сходятся при любых значениях х (в (2.97) х чь О) и допускают двукратное почленное дифференцирование. следовательно У„(х) У и(х) являются решениями уравнения Бесселя (2.95).
При л, не равном целому числу решения У„(х) и У „(х), очевидно, линейно независимы, тзк как их разложения в ряды начинаются с различных степеней х и, следовательно, линейная комбинация а,У„ (х) +а,У ,(х) может тождественно равняться нулю лишь прн а, = а, = О.
Если лке л равно целому числу, то, так как для целых отрицательных значений р и для р = 0 функция Г (р) обращается в бесконечность, разложения в ряды функций У„(х) и У ,(х) начнутся с одинаковых степеней х и, как нетрудно проверить, функции У„(х) и У „(х) будут находиться в следующей линейной зависимости: у, (х) ( — !)и уи (х). У„(х) соз пя — У, (х) „ 1'„(х) з(п пя затем, переходя к пределу при л, стремящемся к целому числу, получают линейно независимое от У,(х) частное решение уравнения Бесселя 1'„(х), определенное уже и для целых значений л. Итак, общее решение уравнения Бесселя при л, не равном целому числу, имеет вид у слУи(х)+сгУ „(х), а при а, равном целому числу, у с,у„(х) + ступ (х), где с, и с,— произвольные постоянные.
Функции Бесселя первого и второго рода изучены весьма детально е, в частности, составлены подробные таблицы их значений. Позтому, если какая-нибудь задача сведена к функциям Бесселя, то ее можно считать Следовательно, при целом и вместо У „(х) надо искать другое решение, которое было бы линейно независимо от У„(х). Такое решение можно получить различными способами, например, можно, зная одно частное решение У, (х). понизить порядок уравнения (2.95) подстановкой, указанной на стр. 101, или сразу искать решение в виде сумллы обобщенного степенного ряда и произведения обобщенного степенного ряда на 1п х.
Получаемое любым из зтик способов линейно независимое от У„(х) решение при вполне определенном выборе произвольного постоянного множителя называется гулункЧией Бесселя второго рода и обозначается 1'„(х). Чаще всего, однако, уг(х) определяют так; считая пока п не равным целому, числу рассматривают решение Уп(х) уравнения Бесселя, являющееся линейной комбинацией решений У„(х) и У „(х): !Гн. т решенной в такой же мере, в какой мы считаем решенной задачу, в которой ответ дан, например, в тригонометрических функциях. Часто в приложениях приходится рассматривать уравнение хзу + ху' + (штх' — и') у О. (2.98) Это уравнение сводится к уравнению Бесселя заменой переменной х, тх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
