Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 27
Текст из файла (страница 27)
При этом, конечно, далеко не всегда существует действительное решение, а если существует, то оно не обязательно единственно. В качестве примера вовникающих здесь возможностей рассмотрим следующую краевую задачу: 160 !гл. т килвнвния полянка зышв пвлвого Найти решение уравнения у" +У=О, (2. 1 36) удовлетворяющее условиям: у(0) = О, у(х,) = ум Общее решение уравнения (2.!36) имеет вид у=с, сов х+сагйпх. Первое граничное условие удовлетворяется при с, =О, при этом у = сов!их. Если х, Ф ин, где и — целое число, то из второго граничного условия находим у,=сов!пхн со= ' . Следовательно, в этом у~ а!пх, ' случае существует единственное решение краевой задачи у= . ' з!пх, 5!и Х1 Если же х,=лл и У,=О, то все кривые пучка у=сов!пх являются графиками решений краевой задачи.
При х, =ни, у, Ф 0 решений краевой задачи не существует, так как ни одна кРиваЯ пУчка У=сов!пх не пРОходит чеРез точкУ (хн у,), где х,=ип, у, ФО. Рассмотрим несколько подробнее краевые аадзчн для линейных уравнений второго порядка у" + р,(х) у'+ по(х) у = ф(х), у(хо)=уо уМ)=у~ Линейной заменой переменных л = у — (х — хо) уо У~ — Уо Х1 Хо краевые условия (2.137) сводятся к нулевым условиям г (х ) = =г(х,)=0, причем линейность уравнения (2.136) не нарушается.
! лнх!Фх Умножением на ео линейное уравнение (2.136) приводится к виду (2.138) — (р (х) у') + л (х) у = у (х), где р (х) = е . Поэтому без существенного ограничения ! л,~хшх общности можно заменить изучение краевой задачи (2.!36), (2.!37) изучением краевой задачи для уравнения (2.138) с граничными условиями у (хо) = у (х,) = О, (2.!391 ПОНЯТИЕ О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ (2.140) с граничными условиями у(х,) =у(х,) =О, тле функция у,(х.
8) равна нулю на всем отрезке (хе, х,), за исключением е-окрестности точки х = г, 8 — е ч. х ч. г+ е, причем !ее г', (х, г) !ех = 1. Обозначим 0,(х, 8) непрерывное решение этой краевой задачи и перейдем к прелелу при е -ь О: йш 0,(х, 8) = 0(х, 8).
е-ьэ Нетрудно было бы доказать существование этого предела, не зависящего от выбора функции у,(х, 8), олнако в этом нет необхо- димости, так как пока наши рассуждения носят эвристический харак- тер, и на стр. 162 будет дано точное определение функции 0(х, 8). Функция 0(х, г) называется функцией глинкин нлн функцией Грина рассматриваемой краевой задачи. Так же как на стр. 122 — !24, решение краевой задачи (2.138), (2.139) с непрерывной правой частью в (2.138) можно рассматривать как суперпознцию решений краевых задач, соответствующих локализованным в точке функциям с импульсами у (г!)Лг, где 8, — точки деления отрезка )х,, х,! на ен равных частей, Лг= ' ' . Точнее.
приближенное решение крае- вой залачи (2.!38), (2.!39) равно интегральной сумме е! Х 0(х, 8!) У(8!) Ь ° ! 1 а прелел этой суммы при гл — ьсо! е, у(х)=~ 0(х, г)~'(г) г(г (2. 142) ьэ является решением рассматриваемой краевой задачи (2.138), (2.139). Физический смысл функции влияния 0(х, г) и решения (2.142) стамет еше яснее, если в уравнении (2.140) рассматривать у(х) как смешение некоторой системы под влиянием непрерывно распределенной на отрезке (хз, хе] силы у'(х) (например, отклонение струны от положения равновесия под влиянием распределенной нагрузки 11 л. в. эеьееоеьц Вначале рассмотрим краевую задачу (2.138), (2.! 39), причем у' (х) является локализованной в точке х = г функцией с единичным импульсом.
Точнее, рассмотрим уравнение — (р(х)у')+д(х)у=у,(х, г) УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО 1Гл. Я 162 — (р (х) у') + е) (х) у = О на всем отрезке [хе, х,), за исключением точки х=я (так как вне этой точки В случае локализованной в точке х=я функции правая часть равна нулю). 3. 0(х, я) удовлетворяет граничным условиям: 0(хв, я)= 0(хн я) =О. 4. В точке х=я производная О,(х, я) должна иметь разрыв 1 первого рода со скачком —. Действительно, ожидать разрыва р(г) ' следует лишь в точке локализации функции — в точке х=г. Умножая тождество — (р (х) О (х. я))+е)(х) О (х, я)=/ (х, я) на дх и интегрируя в пределах от я — е до я+е, получим еее ~е»- е р(х) 0,(х, я) + ~ е)(х) 0,(х, я)е(х=1 е-е и, переходя к пределу при е -> О, будем иметь (О'(г+ О, г) — О' (г — О, г)) =— р(я) ' Все наши рассуждения о функции Грина носили эвристический характер.
Приладим теперь нм необходимую точность. Определение. Ф у н к и и е й Г р и н а 0(х, я) краевой задачи (2.138), (2.139) называется функкия, удовлетворяюи(ая указанным выше условиям 1), 2), 3), 4). Непосредственней подстановкой в урзвнение (2.138) проверяем, что у (х) = ~ 0 (х, г) у' (г) е(г (2.142) с плотностью у(х)). При этом О(х, я) описывает смещение, вызываемое единичной сосредоточенной силой, приложенной к точке х = г, а решение (2.142) рассматривается как предел суммы решений, соответствующих сосредоточенным силам.
Функция Грина обладает следующими свойствами, вытекающими из ее определения (2.141): 1, 0(х, я) непрерывна по х при фиксированном я при хе < х < хн хе<я<хе 2. 0(х, я) является решением соответствующего однородного уравнения понятии о кплявых задачах является решением этого уравнения (краевые условия (2.139), очевидно, удовлетворяются в силу свойства 3)). действительно, «, у' (х) = ~ 0«(х. л)у (г)Нг= ~ 0„'(х, з)у (л) г(г+ ~ 0„'(х, з) у(з) ~й; «~ «ф » « у" (х) = ~ 0 (х, з) у (з) ~й+ 0„(х, х — О) у'(х) + «, «, + ~ 0"«(х, з) у'(а) (л — 0,'(х, х+ О) У(х) = « «, = ) 0«*(х, л)) (л)с(а+ ~0»(х+ О, х) — 0„(х — О, х)~у(х).
к„ Подставляя (2.142) в уравнение (2.138), получим ~р (х) 0„(х, з)+ и (х) О, (х, г) + д (х) 0 (х, з)] ~(х -~- «, + Р(х) ~0»(х+ О, х) — 0 (х — О, х)~ )"-(х)=у (х) в силу условий 2) и 4). Рассмотрим метод построения функции Грина, из которого получим также достаточное условие ее существования.
Рассмотрим решение у,(х) уравнения — (р (х) у') + д (х) у = О. (2. 143) определяемое начальными условиями у(хе) = О у'(хе) = уе Ф О. Зто решение, вообще говоря, не удовлетворяет второму граничному условию у(х,)=О. Случай у,(х„)=у,(х,)=О является исключительным, и мы его здесь рассматривать не будем. Очевидно, что решения с,у,(х), где с, — произвольная постоянная, также удовлетворяют граничному условию у(хе)=О.
Аналогично находим нетривиальное решение уэ(х) уравнения (2.143), удевлетворяюшее второму граничному условию уя(хг)=0; этому же условию удовлетворяют все решения семейства саул(х), где са — проиавольная постоянная. 11« твдвняния повядкд вышв пвявого (гл. а Функцию Грина ищем в виде с,у,(х) при хз (х (г, 0(х.
г)= сзуз(х) при г (х (хп с, и сз выбираем так, чтобы были выполнены е. чтобы функция 0(х, г) была непрерывна по х г, и в частности непрерывна в точке х=а: с,у,(г) = с,у,(г), (2. 144) 1 точке х = г имела скачок —: л(г) ' причем постоянные условия 1) н 4), т. при фиксированном и чтобы 0,(х, г) в с у,,'(г) — с,у,' (г) = —, (2. 145) В силУ пРедположениЯ. что У,(х,) чь О, РешениЯ У,(х) н Уз(х) линейно независимы, так как все линейно зависимые от у,(х) решения имеют вид с,у,(х) и, следовательно. при с,чьО не обращаются в нуль в точке х,, в которой обращается в нуль решение у,(х).
Следовательно, определитель системы (2,144) и (2.145), являющийся определителем Вронского: (Р (у,(х), уз(х)) = У'(х) в точке х = г, отличен от нуля н постоянные с1 и сз, удовлетворяющие системе (2.144) и (2.145), легко определяются: уг (з) у1 (х) % (г) )з(г) у, (г) у, (х) Ф' (г) О(г) откуда 0(х, г) у, (г) у, (х) ( при хз(х(з, у, (з) у, (х) (р( ( при г(х ~'„хн (2.
146) Приме(ь Найти функцию Грина краевой задачи у" (х)+у(х) у(х), у(0) О, уЫ О. 12) решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющие условиям у(О) О з у1 — 1 О, соответственно имеют вид у, с, мо л и (2/ у, ° с,сов х, следовательно, согласно ($146) 0(х, г) — созга!ях при О(х(з, и — з!в з сов х при г < х < — ° 2' Замечание. Мы предположили (стр. 163). что не существует нетривиального решения у(х) однородного уравнения (2.143), удовлетворяющего нулевым граничным условиям у(хе)=у(х,)=О.
Это условие гарантирует не только существование и елинственность краевой задачи (2.138), (2.139), но и единственность функции Грина, зАдАчи к глдвн я Действительно, если допустить существование двух различных функций Грина 0,(х, г) и Оа(х, л) для краевой задачи (2.138), (2.139), то получим два различных решения втой задачи: к, у,(х)=) 0,<х, г) у(а)е<г к, к у (х) = ) О. <х, з) г'(х)г<з, к, разность которых ) <Ое<х, л) — 0,(х, х)) у" (г)с<з, к вопреки предположению, будет нетривиальным решением соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющим нулевым граничным условиям.
Задачи к главе 2 1. у" — бу'+ 1Оу= 100, причем при х 0 у=10, у' 5. 9. (! + х') у" +(у')а+! О. а ~"х 10. х' —,. + ! О. а х -<- х = е!и а — соа 2<. 3. у у- — 3<у ) -О. ! 4. у" + у Мп'х ' 5. хку' — 4ху'+ бу = 2. 6. у" +у=сйх. 2 7. у" + — <у')е О. ! — у Лх Лх е аа а —., — 4 — +4х=е+е +1., к<<а ет< 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
