Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 31
Текст из файла (страница 31)
а Доказательство. Так как коэффициенты а,~(С) (1, /= 1, 2, ..., и) непрерывны, то система (3.20) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Следовательно, начальное значение Х (Се) = 0 (или, подрОбнее, х, (те) = О, ха (Сс) = О, ..., х„(те) = 0) определяет единственное решение рассматриваемой системы и этим решением, очевидно, является тривиальное решение системы (3.20) Х(т)— = 0 (или, подробнее, х,(С)= — О, ха(т)=0, ..., х„(с) им О).
Определитель Ж'(тс) = О. Следовательно, существует нетривнальнав система сн см ..., с„, удовлетворяющая уравнению с, Х, (Се) + сеХ, (Се) + ... + с,Х„(Се) = О, так как это одно векторное уравнение эквивалентно системе а линейных однородных относительно с, уравнений с равным нулю определителем: ~ с,хы (Сс) = О, Г-1 Х с Ры (то) = 0 1=! с;х„,(Се) = О.
ЧД 1=! Соответствующее этой нетривиальной системе с,, са, ..., с„реше- П ние уравнения (3.20) Х(Ю)= ~с,Х,(С) удовлетворяет нулевым на1=1 чальным условнвм Х(тр)=0 н, следовательно, совпадает с тривиальным решением системы (3.20): ~~с,Х~ (т) — О, 1=1 т. е. Х, линейно зависимы. Замечание. Эта теорема, как показывают простейшие примеры, не распространяется на произвольные векторы Хо Х,, ..., Х„не являющиеся решеннямн системы (3.20) с непрерывными коэффициентами. Пример 1.
Система векторов Х, =(( !) и Ха=(! линейно независима, так как иэ а,Х, +ааХэ~о в Ф1 системы линейных диФФеРенииАльных уРАВнения 187 или об+ аэР— О, об+о!В эб следует, что а, = а, = О (см. стр. 96, пример 1). В то же время определитель р Вронского ~ ~ тождественно равен нулю. Следовательно, векторы Х, н Хэ 1с с не могут быть решениями одной и той же линейной однородной системы (3.20) с непрерывными коэффициентами а,.
(С)(!', З'= 1, 2), в Теорема З.б. Линейная комбинация ~„с!Х! а линейно нева!=! висимых решений Хн Хз, ..., Х линейной однородной системы (3.20) с непрерывными на отрезке а (г (Ь козффициентами аы(1) является общим решением системы (3.20) на том зке отрезке. Доказательство. Так как коэффициенты аы(() непрерывны на отрезке а ( 1 ( е, то система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности и, следовательно, для доказа!ель- ства теоремы достаточно обнаружить, что подбором постоянных с, е в решении ~ с,Х! можно удовлетворить произвольно выбранным 1=! начальным условиям Х ((е) = Хо, ~ !х!О ! х20 ХО хээ где 1э — одно из значений 1 на отрезке а (1(д, т.
е. можно удовлетворить олному векторному уравнению в ~ с!Х,(()=Х или эквивалентной системе п скалярных уравнений: ~ с!х!! (ге) = х!е, ! 1 Х с!хм((е) = хяо Х с!хвг((о) = хво. ! СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 133 !гл. з Эта система разрешима относительно с, при любых хге, так хак определитель системы является определителем Вронского для линейно независимой системы решений Хи Ха...., Х„и, следовательно, не обращаетсв в нуль ни в одной точке отрезка аи;.са,Ь. Пример 2.
ех — =у «/ (3.22) /!у — = — х. й! Нетрудно проверить. что системе (3.22) удовлетворяют решения х, =сов/. у, — в!и/ и х, в!пг, у,=сов/ Эти решения линейно независвмы, тан нан определитель Вронского сов / — в!и / ~ ! =1 в!и Г сов / отличен от нули. Следовательно оешее Решение имеет аид х= с, сов г+ с, в!Вг, у = — с, в!я/+ с, сов!, где с, и е, — произвольные постоянные.
Теорема 3.6. Если Х является решением линейной неоднородной системы Е1Х)= Р, !3.19) а Х, — решением соответствуалцей однородной системы Е(Х)=О, то сумма Х,+Х также будет решением неоднородной системы Е(Х] = Р. Доказательство. Дано, что Е(Х)иш Р и ь(Хг)аш О. Надо доказать, что ь(Х, + Х)= — Р. Пользуясь свойством 2) оператора Е, получим Е(Х! -1- Х1=Е(Х!1-1- Е(Х1 — Р, Теорема 3.7. Общее решение на отрезке а ((~Ь неоднородной системы (3.19) с непрерывными на том же отрезке козсбсбициентами аы(1) и правыми частями 7/(г) равно сумме И общего решения ~~~~ с,ХН соответствующей однородной системы /=! и частного решения Х рассматриваемой неоднородной системы, Доказательство, Так как условия теоремы существование и единственности выполнены (см.
стр. 133), то лля доказательства теоремы достаточно обнаружить. что подбором произвольных по- Во! системы линейных диеовпиниилльных хпавнзнии 189 стоянных с, з решении Х = ~ сгХ, + Х можно удовлетворить ! 1 произвольно заданным начальным условиям хю т.
е. надо аоказать, что одно матричное уравнение .з; сгХг(го) + Х (Го) = Хо г=! или эквивалентная система уравнений ~ч'„с,хы(во)+ х, (го) = хго, ! ! ~~', с!хо! (Го)+ хз (го) = хзо (3.23) Х сгхы(го) + хх(го) = хоо г=! всегза имеет решение сн сз, .... с„, каковы бы ни были правые части. Оанако в такой форме это утверждение очевидно, гак как определитель системы (3,23) является определителем Вронского в точке !=со для линейно независимых решений Хн Хм ..., Х„ соответствующей однородной системы н по теореме.3.4 отличен от нуля.
Следовательно, система (3.23) имеет решение си с,..... с„ при любых правых частях. Теорема 3.8 (принцип суиериозиции). Решением системы линейных уравнений уи(г) Уа! (г) г (Х] ~Р! Р! ! ! [гл. з 190 системы диеаьиинцилльных гилвненип является сумма ~ Х, реиьений Х, уравнений !=! Ь [Хь[= Г! (1 = 1, 2, ..., гн). Доказательство. Дано Е[хь[с Е! (1=1, 2, ..., т). Надо доказать, что Е тх, =~Ро Используя свойство 2) оператора с, получим !ь Е~ч.' Х,.~=';ЦХ,[=~Ро !=1 1=1 !=1 Замечание. Теорема 3.8 без изменения доказательства, очевидно, распространяется и на тот случай, когда т -ьос, если ряд ~ь Х, сходится и допускает почленное дифференпирование. 1=! Теорема З.У, Если система линейных уравнений Е [Х[ = У+ Л', где ((и!( 'и, 0= У= и„ сдействительными функциями а!)(Ф), иь(С), юь(г)(1 е!=1 ° 2 ° ° ° и) имеет решение и, из Х=б+У.
й= то действительная часть решения 0 и его мнимая часть Р соответственно являются решениями уравнений Е[Х[=У и С[х[='ьт. Доказательство. Дано Е[й+1Р[ь— т У+1[с, надо доказать, -. Е[0[=и, с[[У[=у. 4 и системы линейных диеееяенцилльных келвнении 121 Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора Ь, получаем 7.(0+ 0)=7.(й)+ И.Я)=и+И. Следовательно, 7.(й]=У и Ь[(') =1'. Если известно общее решение соответствующей однородной системы Л(Х) = О, но подобрать частное решение неоднородной системы Л(Х) = )ч не удается и, следовательно, нельзя воспользоваться теоремой 3.7, то можно применить метод вариации постоянных. М Пусть Х = ~Р~ с,Х, является при произвольных постоянных с! ю=! общим решением соответствующей однородной системы — — АХ = О чЛ' а! и, следовательно, Х!(1=1, 2, ..., а) — линейно независимые частные решения той же однородной системы.
Решение неоднородной системы ищем в виде Х ~~~~ с (г) Хн 1=! Х, + ~с! Я вЂ” „' = А ) с! (Г) Х! + р, — = АХ„получим Л с,'(() Х! = Р. 1=1 Это векторное уравнение эквивалентно системе и уравнений: (3.24) где с,(т) — новые уравнение дает ~> с!'(с) !=! или, так как— л! неизвестные функции. Подстановка в неоднородное 'р с;(с) хн = .у, (с), с ! 24 !.() 2!=Уз() ! 1 системы дие аняянцнлльных яилвнянни !гл. з Из этой системы п уравнений с и неизвестными с,'(Е) (Е = 1, 2, ..., п) с определителем системы Ю', совпадающим с определителем Вронского для линейно независимых решений Хн Хя, ..., Х„ и, следовательно, отличным от нуля, определяются все с,'(Е): с,'.(Е)=(р (Е) (Е=1, 2...., п).
откуда, интегрируя, находим неизвестные функции с,. (Е): с,(Е)=~ !р!(Е)с(Е+с! (Е=!, 2, ..., и). Пример 3. их иу 1 — =у, — — х+ —. ие ' ие С05 Е Общее решение соответствующей однородной системы их иу — =У. — = — Х ие ' ие имеет вид х= с, созе+с,з!ОЕ, у — с, 5!ПЕ+с,созе (см.
стр. 188. пример 2), Варьируем постоянные х = с! (Е) с05 Е+ се (Е) 5!и Е, У С! (Е) 5!П 1+ Се (Е)С05 Е. с,(е) и ся(е) определяется из системы (324), имеющей в данном случае знд с, (е) соз е + са (е) мп е = О, 1 С! (Е) 5!П Е + Сз (Е) С05 ! =— созе ' откуда 5!и Е с,'(Е) = — —, с,'(Е) = 1. С05 Е Следовательно с, (Е) = !и ! соз Е1+ с„ с, (Е) Е + с, и окончательно получаем х= с, созе+с,з!не+ созе!п(созе)+ез!пе, у = — с, 5!и Е+ с, соз Š— 5!и Е !и )соз Е1+ ! соз Е.
ф 6. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Линейной системои с постоянными иоэффиииентами называется линейная система уравнений — '= ~ а,)х, +у'!(Е) (Е=1, 2, .... и). Е=! 123 системы линейных уРлвненип или в векторной форме — = АХ + ель ах ае в которой все коэффициенты а1) постоянны, или, что то же самое, матрица А постоянна, Проще всего система линейных однородных или неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами интегрируется путем сведения ее к одному уравнению более высокого порядка, причем, как отмечено на стр.
177, полученное уравнение более высокого порядка будет линейным с постоянными коэффициентами. Однако можно и непосредственно найти фундаментальную систему решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Будем искать решения системы ЕХ1 — = аНХ1+ а12Х2 + ° ° ° + а1лХ„ гг' х2 — =аюх1+ "шхэ+ . +аэ х» (3.25) Лхл —" =а„х,+ а„,х,+ ... +а„„х„, гле все а1) постоянны, в виде х =а ее', 1 — 1 х =а ее', ..., х„=а„е"', 2 2 с постоянными а; (7'=1, 2, ..., и). Подставляя в систему (3.25), сокращая на е"' и перенося все члены в одну часть равенства, получим (ам — 12) а, + а„а, + ... + а,„а„= О, аюа, + (а,2 — а) а2 + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
