Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Следовательно, при достаточно большом Т точки траекторий, начальные значения которых находятся в любой Ь-окрестности начала координат, попа- дают в сколь угодно малую е-окрестность начала координат и при ! — ь ОО неограниченно приближаются к началу координат — точка покоя х, = О (! = 1, 2, ..., л) асимптотически устойчива. Если же действительная часть хотя бы одного корня характери- стического уравнения положительна, !?е л! = р, ) О, то соответ- ствующее этому корню решение вида ху — — са е ', или в случае кома,.! плексного л! его действительнзя (или мнимая) часть сел' (русов!у!г+ + у? з(п!?!Т)0= 1 2 ..., л) при сколь угодно малых по модулю значениях с неограниченно возрастает по модулю при возрастании 1, и, следовательно, точки, расположенные в начальный момент на этих траекториях в сколь угодно малой Ь-окрестности начала координат.
покидают при возрастании ! любую заданную е-окрестность начала координат. Следовательно, если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения положительна, то точка покоя х! = — О (у' = 1, 2, ..., и) системы (4.13) неустойчива. П р ям е р 1. Какого тннз точку покоя имеет система уравнений лк — =к — у Ж вЂ” = 2к+Зу? л'у л! Характеристическое уравнение ~1 — л — 1) нли З! — 4З+ 3= О 2!4 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ !ГЛ. 4 имеет корни Ь,л = 2 1, следовательно, точка покоя х =- О у = О являетси неустойчивым фокусом.
П р и м е р 2. х = — а'х — 2Ьх — уравнение упругих колебании с учетом трения или сопротивления среды (при Ь > О). Переходя к эквивалентной системе уравнений, получим х=у, у =- — а'х — 2Ьу. Характеристическое уравнение имеет вид — Ь ! =- О или Ьт+ 2ЬЬ+ аз=О. — а' — 2Ь вЂ” Я откуда Ььэ — Ь ж УЬэ — 'г'. рассмотрим следующие случаи: !) Ь вЂ”.— О, т е. сопротивления среды не учитываются. Все движения периодические. Точка покоя в начале координат является центром.
2) Ьт — ат < О, Ь > О. Точка покоя являегся устойчивым фокусом. Колебания затухают. 3) Ьт — а'и> О, Ь > О. Точка покоя является устойчивым узлом. Все решения затухающие, неколеблющиеся. Этот случай нзступает, если сопротивление среды велико (Ь > а). 4) Ь < О (случай отрицательного трения), Ь' — а' < О.
Точка покоя является неустойчивым фокусом. 5) Ь < О, Ьт — а' > О (случай большого отрицательного трения). Точка покоя является неустойчивым узлом. П р н и е р 3. Исследовать на устойчивость точку покоя системы уравнений г(х — =2у — х, лт — = Зх — 2л. пт г(г — = 5х — 4у. пт Характеристическое уравнение имеет вид — А 2 — 1 3 — А — 2 =О 5 — 4 — Ь или Л' — Од+3= О. Определить корни кубического уравнения в общем случае довольно трудно, однако в данном случае один корень Ь, =- ! легко подбираегся.
и так как этот корен~ имеет положительную действительную часть, то можно утверждать, что точка покоя х = О, у = О, х = О неустойчива. 2!д ВТОРОЙ МЕТОД А. М. ЛЯПУНОВА В 3. Второй метод А. М. Ляпунова Выдающийся русский математик Александр Михайлович Ляпунов в конце Х1Х века разработал весьма общий метод исследования на устойчивость решений системы дифференциальных уравнений — С' — — Ус(Е х<, хм ..., х„) (1=1, 2, ..., и), (4.!4) получивший название второго метода Ляпунова, Теорема 4.с (теорема Ляпунова об устойчивости).
Если существует дифференцируемая функция о(х,. хг, ..., х„), на- зываемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрест- ности начала координат следующим условиям: !) О(хо хг, ..., х„) )~ О, причем о = О лишь при х, =О (1=1, 2, ..., а), т. е.
функция о имеет строгий минимум в начале координат; е до ъч до 2) — „=у — д,сс(Г, хо .... х„) <О при г)~гь, п<о точка 3 <=1 по!соя х,= — О (1=1, 2, ..., п) устойчива. до Производная — в условии 2) взята вдоль интегральной кривой, т т. е. она вычисленз в предположении, что аргументы х! (!= 1, 2, ... ..., и) функции о(хо х,, ..., х„) заменены решением хс(Г) (<= =1, 2, .... и) системы дифференциальных уравнений (4.14). е до Ч ! до дх! Действительно, в этом предположении — = ~ — — илп зад!,йв дх< д< с=! дх< меняя — правыми частями системы (4.! 4), окончателы<о получим дг до %'< до — с!(г, х!.
хм, х„). < 1 Доказзтельство теоремы Ляпунова об устойчивости. В окрестности начала координат, как и в окрестности всякой точки строгого минимума (рис. 4.10), поверхности уровня О(х<, хз, ..., х„)=с фУнкции о(хп хз, ..., х„) ЯвлЯютсЯ замкнутыми поверхностями, внутри которых находится точка минимума — начало координат. Зададим е ) О. При достаточно малом с ) О поверхность уровня о = с целиком лежит в е-окрестности начала координате), но не проходит через начало координат, следовательно, можно выбрать 6 ) О такое, что 6-окрестность начала ') Точнее, по крайней мере одна замкнутар компонента поверхности уровня о с лежит в е-окрестности начала координат. ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [ГЛ. Ф координат целиком лежит внутри поверхности о=с, причем в этой окрестности и ( с.
Если начальная точка с координатами х, (Рэ) (1= 1. 2...., и) выбрана в Ь-окрестности начала координат (рнс. 4.11) и, следовательно, т[(х[((э), хэ(го), хл(го))=с! Сс то при 1) гэ точка траектории, определяемой этими начальными условиями, не может выйти за пределы е-окрестностн начала координат и даже эа пределы поверхности уровня о=с. так как, в силу , Рис. 4.10. Рис. 4.11.
условия 2) теоремы, функция о вдоль траектории не возрастает и, следовательно, при ! )~1э Ф(х! (1), хэ (1), ° .. хл(Е) ) ~( с! ( с. Замечание. А. М. Ляпунов доказал теорему об устойчивости в более общих предположениях, в частности, он считал, что функция о может зависеть и от й о=о(Г, хн хэ, ..., х„). При этом для справедливости теоремы об устойчивости первое условие надо заменить следующим о(1, хн хэ, ..., Х„))~тв(х[, х,, ..., х„))~0 в окрестности начала координат при 1)~1э, где непрерывная функция тв имеет строгий минимум в начале координат, о(1, О, О...., 0) = де =тд(0, О, ..., 0)=0, а второе условие остается прежним — . О, дт но только в этом случае л дэ.
дэ %1 де — = — +,7 —,у(1, х[, хэ, .... х ). дт д лй дХ! [=! 2!т втооои метод ь м ляпкновл аз! Схема доказательства остается прежней, кало сально принять во внимание, что, в силу условия 1), подвижная при изменяющемся ! поверхность уровня о(1, хп хг..., х„) =с остается при всех изменениях !)~ге внутри поверхности уровня то(хо х,, ..., х„)=с (рис. 4.12). Теорема А2 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости).
Если существует дифференцируемая функция Ляпунова о(хп хг, ..., х,), удо- г влетворяющая условиям: 1) о(хо х,, хв! имеет г=ы!ц,гг! строгий минимум в начале координат: о (О, О, ..., 0) = 0; 2) производная, функции о, вычисленная вдоль интегральных кривых системы (4.14) во ь!! = в %1 до — у!(1, хн х,, ..., х ) <О, л'и дх! ! ! причем вне сколь угодно малой Рис. 4.12. окрестности качала коордив г нат, т.е. при ~ хг)~б!>О, г> Т„) 1, производная „— < — р <О, где р — постоянная, то точка покоя х,=О (1=1, 2, ..., и) системы (4.!4) асимптотически устойчива. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как условия теоремы об устойчивости выполнены, то для каждого е ) 0 можно подобрать б(е) > 0 такое, что траектория, начальная точка которой находится в б-окрестности начала координат, при !)~!в не выходит за пределы е-окрестности начала, координат. Следовательно, в частности, вдоль такой траектории при ! ) Т, выполнено условие 2), поэтому вдоль траектории функция о монотонно убывает с возрастанием г, и вдоль траектории существует предел функции и при 1-ьсо: !нп о(г, х,(!), хг(!), ..., х„(!)) =а)~0. Надо доказать, что а=О, так как если а=О, то из условия 1) следует, что 1ип х,(!)=О (1=1, 2, ..., п), т.
е. точка покоя г.+ х,=О (1=1, 2, ..., п) асимптотически устойчива. 1(опустим, что а > 0; тогда траектория при ! ) гз находится и области 'о )~ а', следовательно, вне некоторой б,-окрестности начала координат, т. е. (гл. 4 теооия устоичиности 218 йо там, где по условию 2) — < — Р<0 при Е>Т . Умножая неравенство йо йŠ— < — р на йЕ и интегрируя вдоль траектории в пределах от Т, до Е, получим: (х(Е)х(Е)х(Е))о(Е(ТО)хг(ТО)х(Т))< Р (Е ТО) нли о(х,(бй х,(Е)...., х„(Е)) < <о(х!(Ть), хг(Тв), ..., х,(Т,)) —.!1(Е Т,) Прн достаточно большом Е правая часть отрннагельна, а следовательно, и о(х,(Е), ха(Е)...., х„(Е)) (О.
что ирою!воречит условию !). 3 а м е ч а и и е. Теорема об асимпзотнческой устойчивости обобщается на случай функции о. зависящей от Е. хо х, ..., х„, если первое условие, как и в предыду- 1 '/' щей теореме, заменить следующим: 'о(Е, х1, хз, ..., хь))~ ) е(х! хз х )>О где функция ш имеет строгий минн-, мум в начале координат, и, кроме того. потребовать, чтобы функция о(Е, хо хо ..., х„) равномерно относительно Е стремилась к нулю ! при ~~ х';.— ьО.
! =. 1 Рнс. 4,13. Теорема АЗ (теорелса Че- таева о неуспгойчивости). Если существует дифференцируеман функция о(хн хз, ..., х„). удовлетворяющая в некоторой замкнутои й-окрестности начала координат условиям: !) в сколь угодно малой окрестности (Е начала координат существует область (о > 0), в которой о > О, причем о=0 на лежащей в (Е части границы области (о > 0); 2) в области (о > 0) производная Ео до — — у!(Е, Х1, хз, ..., х)>0, 1=1 йо причем в области (о)~а), а > О, производная — )~() ) О, то йЕ точка покоя х,= — 0 (Е= 1, 2, ..., и) системы (4.14) неустойчива. 219 итогом мвтол л и ляпкновл Д о к а з а те л ь с ~ в о ! !ачальную точку х, (гв), хз(га) ° ° ха(ге) возьмем в сколь угодно малой окрестности начала координат в области (о) О), о(х,(са), ха((а), .... х„((е))=а) 0 (рис, 4.!3). Так как л'о вдоль траектории — > О, то функция о вдоль траектории не убыл'Г вает, и следовательно, пока траектория не покинет рассматриваемую й - ок р е стность на ч ала координат, где выполнены условия теоремы, траектория должна находиться в области (о ) а).
Допустим, что траектория не покидает л - о к рестност и начала к оо рди н ат. Тогда в силу л'п условия 2) вдоль траектории при Г )~ Г производная — „)~ р ) О. умножая это неравенство на с!Г и интегрируя, получим: ту (х! ((), хз ((), ..., х„(!) ) — о (х, (Гв), ха ((с) °, хь (Гс) ) )~ Р (! — Гс) откупа следует, что ври Г-ьоа функция о вдоль траектории неограниченно возрастает, что находится в противоречии с прелположением о том, что траектория не выходит за пределы замкнутой л-окрестности начала координат, так как в втой и-окрестности непрерывная функция о ограничена. Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
