Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 32
Текст из файла (страница 32)
+ а,„а„= О, (3.26) ал,а, + а„,а, + ... + (а„„вЂ” й) а„= О. Для того чтобы эта система а линейных однородных уравнений с а неизвестными а, (7'=1, 2...., а) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (3.26) был равен нулю: ан — 72 агл '112 а — 12 ...
аю аэ„ (3.27) ага а„,.... а„„вЂ” Ф !3 Л. Э. Эльсглльц СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНПИАЛЬКЫХ УРАВНЕНИИ 1гл. з (3.28) где верхний индекс указывает номер решения, а нижний индекс— номер неизвестной функции. Пользуясь векторными обозначениями, получим тот же результат еще короче: лХ вЂ” =АХ; (3.25,) ищем решение в виде (а, , аз Х=Ае»', где А= Азеы = ААез', (А — ЕЕ) А = О, или (3.29) где Š†единичн матрица: '1 0 0...0~ О ! 0...0! о о о ... ! ! Для того чтобы уравнению (3.29) матрица А ~о удовлетворяла нетривиальная (о Из этого урааненвя степени л определяются значения и, при которых система (3.26) имеет нетривиальные решения а> (у=1, 2, ..., а). Уравнение (3.27) называется зсарактеристическим.
Если все корни характеристического уравнения Д, (1=1, 2, ..., п) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3.26), определяем соответствующие им нетривиальные значения а19 (1,,г' = 1, 2...., и) и, следо) вательно, находим и решений исходной системы (3.25) в виде систимы линяиных килвнинии 195 необходимо и достаточно. чтобы матрица А — лЕ была бы особ!ой, т. е. чтобы ее определитель был равен нулю: 1А — лЕ~ =О.
Для каждого корня л! этого характеристического уравнения 1А — 'лЕ! =0 из (3,29) определяем не равную нулю матрицу А!И и, если все корни л! характеристического уравнения различны. получаем л решений: Х! =А" е"!', где ! а!г! ~ а"'! 2 Асо = Эти решения, как нетрулно показать, линейно независимы, Действи- тельно, если бы сушествовала линейная зависимость ~я~~ () А!'!е~!с О ! ! нли в развернутой форме л ~!~ р,а'оел'! — = О. ! 1=! (З.ЗО) ~ р,.а!„'е~Р=О, ! ! то. в силу линейной независимости функций е ! (1=1, 2...„л) (см стр. 90), из (3.30) следовало бы, что ба',"=О, ! (3.31) (1=1, 2, ..., л).
р а!„!'=О. ! и Но так как при каждом й хотя бы олно из а",!, а!'1, ..., а1„'! (! = 1, 2, ..., л) отлично от нуля, то из (3.31) следует, что ()! = 0 (1 = 1, 2, ..., и). 196 систвмы диээвввнцилльных яяявнвнии (гл. з Итак, решения А ~е ' (1= 1, 2, ..., и) линейно независимы -<о а! и общее решение системы (3.25) имеет вид Х = ~ с,А"'е!''. или х! — — ~ с а!.'!е ' (7'=1, 2, ..., и), где с,— произвольные постоянные.
Постоянные а!и (/= 1, 2,..., п) определяются из системы (3.26) ! при (е=(е! неоднозначно, так как определитель системы равен нулю и, следовательно, по крайней мере одно уравнение является следствием остальных. Неоднозначность определения о~.'! связана с тем, ) что решение системы линейных однородных уравнений остается решением той же системы прн умножении на произвольный постоянный множитель. Комплексному корню характеристического уравнения (3.27) й! = Р + 71 соответствует решение Х! —— Аппе~!', (3.32) которое, если все коэффициенты ам действительны, может быть заменено двумя действительными решениями: действительной и мнимой частями решения (3.32) (см, стр, !84).
Комплексный сопряженный корень характеристического уравнения )ег„!- — — р — !7!' не даст новых линейно независимых действительных решений. Если характеристическое уравнение имеет кратный корень )1, кратности у, то, принимая во внимание, что систему уравнений (3.25) можно свести процессом, указанным на стр. 173, к одному линейному олнородному уравнению с постоянными коэффициентами а-го илн более низкого порядка (см.
замечания на стр. 177), можно утверждать, что решение системы (3.25) имеет аид Х (Г) (Ааа 1 А!! ~Г+ + А!т~~ !г! ) е !', (3.33) где (! а1,!!> аы! 3! А!!" =, око е! а(ю — постоянные. /! $ 51 системы линепных уРАВнений Следует заметить, что и в тех случаях, когда система и уравнений (3.26) сводитая к уравнению порядка ниже п (см. замечание 1 стр. 176), характеристическве уравнение последнего необходимо имеет корни, совпадающие с корнями уравнения (3.27) (так как уравнение, к которому свелась система, должно иметь решения вида е е, где и, — корни уравнения (3.27)).
Но возможно, что кратности этих корней, если порядок полученного уравнения ниже и, будут ниже кратностей корней уравнения (3.27), и следовательно, возможно, что в решении (3.33) степень первого множителя будет ниже, чем у — 1, т. е, если мы будем искать решение в виде (3.33), то может обнаружиться, что некоторые коэффициенты А1~', в том числе и при старшем члене, обращаются в нуль. Итак, решение системы (3.25), соответствующее кратному корню характеристического уравнения, следует искать в виде (3.33). Подставив (3.33) в уравнение (3.25,) и, требуя, чтобы оно обратилось в тождество, определим матрицы А~'~, причем некоторые из них, в том числе и А ь могут оказаться равными нулю. (з За меч ание.
Можно точнее указать вид решения системы (3.25), соответствующего кратному корню характеристического уравнения (3.27). Преобразовав систему (3.25) неособенным линейным преобразованием к системе, в которой матрица ,'1А — дЕ1 имеет нормальную Жордаиозу форму, и проинтегрировав полученную легко интегрирующуюся систему уравнений, обнаружим, что решение, соответствующее кратному корню д характеристического уравнения (3.27) кратности у, имеет вид Х(Г)=(АЫ1+АООГ+ ... +А1ЭДГЭ )с~с', где 5 — наибольшая степень элементарного делителя матрицы 11 А — лЕ11, соответствующего корню Ле Пример 1.
л'х ку — = х+ 2у — = 4х+ Зу, лс иг Характеристическое уравнение )=О или дэ — 4Д вЂ” 5=0 1 — д 2 4 3 — Л имеет корни Л, =5, аз = — 1. Следовательно, решение ящем в виде х, — — а~1ие ', у, = а1э'~е", (3.341 ха=а~,~е ', Уз=аз'~е Подставляя (3.34) в исходную систему, получим: — 4а1И+2а1з'1 — — О, откуда айэ 2а1г '1 .а11 > остается произвольным. Следовательно, х,=с,ел', у,=2с,е", с,=а,'. 11) СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ !Гл.
з получаем уравнение 2а'г' + а', ' остается произвольным. (г! Для определения коэффициентов а',г и а!г' +2аз~! О. откуда агг! — а!гг)! коэффициент Следовательно, сг — — а! . !г! — -с ха =сге, уз= — с е Общее решение х=се +се и -с у = 2с,е — с,е ы -! Пример 2.
и'х — х — 5у, с(т лу — = 2х — у. Зт Характеристическое уравнение 1 — й — 5 ~=О или аз+9=О 2 — 1 — й имеет корни Льг- ю 35 х~ = а1е~~~, у~ = агез!. (1 — 3!)а — баг- О. ~тому зн уравнению удовлетворяют, например, а, = 5, а, 1 — Зб Следовательно х, =5еап= 5(созЗ(+(з!пЗ!), у, (1 — 3)) еаг! (1 — 3!) (соз Зт+ ! з!и 3!). и'х — =х — у, лт (3.35) — = х+Зу. ду с(т Характеристическое уравнение 1 — Л вЂ” 1 0 или Аг — 4А+4=0 ! 3 — л имеет кратный корень йпг 2. Следовательно, решение следует искать в виде х = (а, + 6,() ег', ! (3.36) У = (а, + йгт) е '.
Подставляя (3.36) в (3.35), получим 2а, -(- Р, -(- 25, ! =в а, + Р, ! — а, — ))гт, откуда йг = — йи аз — а, — ()!. Действительная и мнимая части этого решения также являются решениями рассматриваемой системы, а их линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами является общим решением: х 5с, соз Зт+ 5с, з!п 35 у с, (сов 3(+ Зз!и Зт)+ с, (з!п 3! — 3 сов Зт). Пример 3.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 199 а, и !), остаются произвольными Обозначая эти произвольные постоянные соответственно с, и св получим общее решение в виде х (с, + с,г) е~', у — (с, -1- с, -(- с,т) вт( ф 6. Приближенные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений и уравнений а-го порядка Все изложенные в 9 7 гл. ! методы приближенного интегрированна дифференциальных уравнений первого порядка без существенных изменений переносятся на системы уравнений первого порядка, а также на уравнения порядка выше первого, которые обычным способом сводятся к системе уравнений первого порядка (см. стр.
33). 1. Метод п о следозач ель н ых и р ибли же ний. Как было указано на стр. 51, метод последовательных приближений применим к системам уравнений — =7',(х, ун ую ..., У„) (1=1, 2, ..., и) (3.37) с~у с начальными условиями у,(х„)= УГР (1 =1. 2, ..., а), если функции /, непрерывны по всем аргументам н удовлетворяют условиям Липшнца по всем аргументам, начиная со второго.
Нулевое приближение УГ„(х) (1=1, 2, ..., а) может быть выбрано произвольно, лишь бы удовлетворялись начальные условия, а дальнейшие приближения вычисляются по формуле уь в+1(х)=ум+ ~ Л(х уы уав ° ° ° учв)с(х (1=1 ° 2 и). к, Так же как и для одного уравнения первого порядка, этот метод репко применяется в практике приближенных вычислений ввиду сравнительно медленной сходимости приближений н сложности и не- однотипности вычислений. 2. М е т о д Э й л е р а. Интегральная кривая системы дифференциальных уравнений лу, — =7,(х, уп ун ..., У„) (1=1, 2, .... п), определяемая начальными условиями у,(хз)=ую (1=1, 2, ..., п), заменяется ломаной, касающейся в одной из граничных точек каждого звена проходящей через гу же точку интегральной кривой (н| рнс.
3.2 изображена ломаная Эйлера и ее проекция только 200 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛ!*НЫХ УРАВНЕНИЙ 1гл. з плоскость ху,). Отрезок 'х„(х (сс, на котором надо вычислить решение, разбиваетсв на части длиной 72, и .вычисление проводится по формулам ус (хе+1) ус (хв) + йус (хв) (1= 1, 2, ..., и), Сходнмость ломаных Эйлера к интегральной кривой при й — Р0 доказывается так же, как для одного уравнения первого порядка (см.
стр. 43). Лля повышения точности можно Ф' применить итерации (уравнивание). сдеЧ,. 7 3. Р а з л о ж е н и е и о ф о р м у л е Т е йгзлу у l л о р а. Предполагая, что правые части снссзРй .07 темы уравнений (3.37) днфференцируемы А раз (для того чтобы обеспечить дифференцируемость решений Й + 1 раз), заменяют ,~ х л х искомые решения несколькими первыми членами их тейлоровских разложений: )1, (х) — у, (х ) + у,' (х ) (х — х ) + Ус -, +у" ( ) (х.
хо)' + +,121( ) (х хо) Рнс. 3.2. (1=1, 2, ..., и). Оценка погрешности может быть осуществлена путем оценки остаточного члена в формуле Тейлора 2 -1- 1 йы=у12+сс[х -+0(х — х)) ( +')), где 0(0 < 1. Этот метод дает хорошие результаты лишь в малой окрестности точки хз, 4. Метод Штер мера. Отрезок хз <х <Ь разбивается на части длиной л, н вычисление решения системы (3.37) проволитсн по одной нз формул: 1 ус 2+1 усе+ Чсл+ 2 (3.38) 1 5 ус. 2-с= Уса+ Чсд+ 2 сХЧс 2 1+ 12 ст Чь 2-2 (3.39) 1 2 3 ус,в с=уса'т Чсс+ 2сХЧс 2 1+ 12Л Чс 2„2+ 8ЛЧс 2 2, (3,40) где ' (1'=1, 2, ..., и), у,.в' — у,(х ), х = х + (сй, Ч„= у,' (х,) й.
сзЧс, 2-1=ЧЫ Чс, 2-1 7з Чс, 2-2 = 11Чс, 2-1 МЧс, 2-2 ~ Чс, 2-2 б Чс, 2-2 '-" Чс. 2-2 2 2 1в1 201 ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 3 Формулы (3.38), (3.39) и (3.40) могуг быть получены .совершенно так же, как для одного уравнения первого порядка (см. стр. 63). Порядок погрешности при применении . Втих формул ' остается таким же, как и для одного уравнения. Для начала вычисления по формуле Штермера необходимо знать несколько первых значений уа(х ), которые могут быть найдены путем разложения по формуле Тейлора или методом Эйлера с уменьшенным шагом, причем, так же кан и для одного уравнения, для повышения точности можно применять итерации (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
