Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Н. Г. Четаев доказал теорему о неустойчивости в предположении, что о может зависеть также и от (, при атон условия теоремы несколько изменяются и, в частности, приходится требовать ограниченности функции и в области (о )~ О) в рассматриваемой л-окрестности начала координат. П р н и е р 1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы: л'х — = — у — к', л'г — =х — у. лу в лг лх, Лу — = — ху', — = ухч лг ' йг Функция о(х, у) = х" + уч удовлетворяет условиям теоремы А. М.
Ляпунова об устойчивости: 1) и(х, у) = х" + у" > О, о(О, О) = О; 2) — — 4х'у' + 4х'у' нч О. ва Функция п(х, у) = х'+ у' удовлетворяет условиям теоремы А. М. Ляпунова об асимптотической устойчивости: !) о(х, у) >О, п(0, 0) = О; 2! — = 2х( — у — х')+ 2у(х — у') — 2(х" + у') (О. Вне окрестности и'Г л'и начала координат — ( — р ( О. Следовательно, решение хнчо, унабзснмпцг тотнчсскп устойчиво. П р и и е р 2.
Исследовать на устойчивость тривиальное решение хняо, ужб системы: (гл. з теОРия устоичивости Следовательно, тривиальное решение хмзО, у 0 устойчиво. Пример 3. Исследовать на устойчивость точку покоя х — О, уылО системы уравнений — =у +х', !тх дт — =хз( уз ду дт Функция о= х' — у" удовлетворяет условиям теоремы Н. Г. Четаева! 1) о>0, при 1х1>1уй 4хз (уз+ха) — 4уз (ха+ уз) 4 (хз уз) > 0 при 1х ~ > 1у1, Л ззо причем при о) а > О, — )~)) > О.
Следовательно, точка покоя х=О. у 0 ' зй неустойчива. Пример 4. Исследовать на устойчивость тривиальное решение х,=О (1=-1, 2, ..., и) системы уравнений з(хз ди(х,, х,, ..., хл) дт дх! если дано, что функция и(хь х,, х„) имеет строгий максимум в начале координат. В качестве функции Ляпунова возьием разность о(хь х,, ..., х„) = и(0, О, ..., О) — и(хь х„..„х„), которая, очевилно, обращается в нуль при х1=0(1=-1, 2, ..., а), имеет строгий минимум в начале координат и, следовательно, удовлетворяет условию 1) теоремы Ляпунова об устойчивости. Производная вдоль интегральных кривых 1=! з=! Итак, условия теоремы Ляпунова об устойчивости выполнены, следовательно, тривизльное решение устойчиво.
Пример 5. Исследовать на устойчивость тривиальное решение х,=О (! = 1, 2, ..., л) системы уравнений ах, цт — '=,т ац(т)Х, ГдЕ а;у(т)= — ад(т) Прн !чЬУ И ВСЕ ан(т) О. /=! л Тривиальное решение устойчиво, так как функция о= ~~ хз удовлетво- С 1 ряет условиям теоремы Ляпунова об устойчивости: 1) о) 0 и о(0, О, ..., 0) м О1 л л 2) „— = 2 ~~~~~ х; — „' = 2 )~~~ ~З~ а„(т) хзх) = 2 ~~) аы (т) хт! ц', О, 1! 1 221 нсслвдовлнне нл ястончнвость $ 4. Исследование на устойчивость по первому приближению При исследовании на устойчивость точки покоя х,=О(!=1, 2, ..., и) системы лифференцнальных уравнений — „' =У!(Г, хп х,, ..., х„) (1=1, 2, ..., и), (4.!4) / я где Й! имею г порялок выше первон> относительно ~/ ~г хп и 11 вместо точки покоя х,= — О(г=1, 2, ..., и) системы (4.15) исследуют на устойчивость ту же точку покоя линейной системы — '= ~! агг(!) х, (!'=1, 2..., и), г=! (4.! 6) называемой системой уравнений первого приблизкения для системы (4.!5).
Условия применимости этого метода, которым долгое время пользовались без всякого обоснования, были детально исслелованы А. М. Ляпуновым и в дальнейшем расширены трудами многих других математиков, среди которых следует в первую очередь отметить работы О. Перрона, И. Г. Малкина, К. П. Персидского, Н. Г. Четаева. Исследование на устойчивость системы уравнений первого приближения, конечно, является задачей значительно более легкой, чем исследование исходной, вообще говоря, нелинейной системы, однако даже исследование линейной системы (4.!6) прн переменных коэффициентах ач(г) является задачей весьма сложной. если же все агт постоянны, т.
е. система стацяонарна в первом приближении, то исследование на устойчивость линейной системы (4.16) не представляет принципиальных затруднений (см. стр. 212 — 213). Теорема я.4. Если система уравнений (4.!5) стационарно в первом приблизкеяии, все члены )т, в достаточно малой окрестности начала координат при Г )~Т )~!е,удовлетворяют ! я ! — ча неравенствам (А!г( ~(АГ ~~ х,.), где Аг и а — постоянные, ~=! причем а) О (т.
в., если )т! яе зависят от 1. то их порядок где у! — лифференцируемые в окрестности начала координат функции, часто применяется слелующий метод: пользуясь дифференцируемосгью функций Г!(г, хп х,, ..., х,), представляют систел!у (4.14) в окрестности начала координат х; = О(1= 1, 2, ..., п) в виде 1 — '= У ар,(Г)ху+й!(Г, хп х,, ..., х„)(!'=1, 2, ..., и), (4.15) 1=! 222 1гл. ° ТЕОРИЯ УСТОПЧИВОСТИ выше пеРвоао относительно 17 лг хзг) и все коРни хаРакте'ч\ ! 1 ристического уравнения оп й а|г аы азз — Й ...
аз„ =О (4.17) а„ а„... а„„вЂ” я имеют отрицательные действительные части, то тривиальные решения к~=О((=1, 2, ..., и) системы уравнений (4.15) и системы уравнений (4.16) асимптотически устойчивы, следовательно, в етом случае возможно исследование на устойчивость по первому приближению. Теорема 4.5. Если система уравнений (4.15) стационарно в первом приближении, все функции й, удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (4.17) имеет положительную действите гьную часть, то точки покоя х;=О(! = 1.
2, .... п) системы (4.15) и системы (4.!6) неустойчивы, с,тедовательно, и в етом случае возможно исследование на устойчивость по первому приближению. Теоремы 4.4 и 4.5 в отношении ограничений, налагаемых на корни характеристического уравнения, не охватывают лишь так называемый критический случай: все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю. В критическом случае на устойчивость тривиального решения системы (4.15) начинают влиять нелинейные члены )с, и исследование на устойчивость по первому приближению, вообше говоря, невозможно, )аоказательство теорем 4.4 и 4.5 можно найти в книге И.
Г. Малкина !2!. йля того чтобы дать представление о методах доказательства таких теорем, мы приведем доказательство теоремы 4.4 в предположении, что все корни характеристического урзвнения д, действительны и различны Д,<0(! 1,2,...,п),и,фдзприг+7. В векторных обозначениях система (4.15) и система (4.16) примут соответственно вид — -АХ+К йХ йт (4 15в) (4.16ь) исследовании нл кстопчивость 223 где х, ' ан аы ." а2Л И Ла ам а22 ... аал!, 2О ~ал, опт ° ..
апп1 ~Р )'! У~( 'бн Ь„... Ь,„~ ) Ул', В ам Ь22 ... Ьлл 1. ~ЬЮ (222 ''' бпл) ~ Ул~ преобразуем систему (4.16 ) к виду  — =- АВ)' или — = В АВ)'. Подбепу' 2 2(т ' и рем матрицу В так, чтобы матрица В ' АВ была диагональной: 0 0 ... 0 О ... 0, !)д, )о О Лл ... О 0 0 ... Л„~ При атом система (4.16) преобразуется в — =д2У2 ((=1, 2, ..., л), "У2 пт а система (4.15) при том же преобразовании переходит в Луг — = Л,у,+Юг (й уо ул,,... Ул)(2 = 1, 2, ..., и), лт (4.18) 1 п — +а 12 где 1 Р2~ < п2 л.а уг) , дг †постоянн величина, а > О, г:в. т.
12=1 Для системы (4.!8) функцией Ляпунова, удовлетворян2п(ей условиям теоремы об асимптотической устойчивости, является 2 2=2 Действительно, 1) " (У Ум °... У ) > О, о (О, О, ..., О) = 0; л л л л 2) т =2 у У,— „=2 У л,у,+2 У лгузй,( У й,у <О 2 1 С помогцьв невырожденного линейного преобразования с постоянными коэф- фициентами Х = В)", где !Тл. з ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ л'о — ( — 8 < О.
л! Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя х=О, у=О системы зх ) нг — = х — у+ ха+ ут з!и т, ) — =х+у — уд зт Нелинейные члены удовлетворяют условиям теорем 4А и 4.5. Исследуем на устойчивость точку покоя х=- О. у=О системы первого приближения йх — =- х — у.
з'т Ту (4.20) 1 — Д вЂ” 1~ Характеристическое уравнение ~ 1 — — 0 имеет корни к, т — — 1 ж 1, 1 Л1= следовательно. в силу теоремы 45 точка покоя сне~ем ~4 !Ч: я (4.20) неустойчива. П р и м е р 2. Исследовать иа устойчивость точку покоя х = О, у = 0 системы зх — =- 2х+8юп у, оз 1 и'у — = 2 — е" — Зу — соху лг (4.21) Разлагая з!пу, е" и соз у по формуле Тейлора, представляем сне~ему в виде лх тту л! = 2х+ Зу+ ЛР— = — х — Зу+ )1,, т(! где тт, и ттз удовлетворяют условиям теорем 4А и 4Л. !2 — й 8 Характеристическое уравнение ~ = 0 для системы пер— 1 — 3 — Д! ного приближения и'х — = 2х+Зу, — —.— — х — Зу т(Г ' тт( (4.22) имеет корни с отрицзтелштыми действительными частями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
