Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 38
Текст из файла (страница 38)
кг Рассмотрим изображенный на рис. 4.18 случай а), при котором знак функции у(1, х) с возрастанием х при фиксированном г меняется при переходе через график решения х=ф(1) вырожденного уравнения с + на — . Стрелкамн показано поле направлений касательных к интегральным кривым при достаточно малом р. Поле направлений устремлено к графику корня вырожденного уравнения. Поэтому каковы бы ни г~', ежа Рис, 4,!9. Рнс. 4.И были начальные значения х(С ) = х, интегральная кривая, определяемая этими начальными значениями, будучи почти параллельной оси Ох, устремляется к графику корня вырожденного уравнения и при возрастании 1 уже не может покинуть окрестность этого графика.
Следовзтельно, в этом случае при Г)~1, ) 1, при достаточно малом р можно приближенно заменять решение х(Г, 1А) уравнения (4.28) решением вырожденного уравнения, В рассмотренном случае решение х =<р(Г) вырожденного уравнения называется устойчивым. Рассмотрим случай б) — знак функции г'(1, х) при переходе через график решения х=ф(Г) вырожденного уравнения с возрастанием х при фиксированном 1 изменяется с — на +. 14а рис. 4.19 изображено поле направлений, касательных ь интегральным кривым при достаточно малом р.
В этом случае о1свидно, что каковы бы ни были, начальные вначеняя х (1р) = х, удовлетворяюшне лишь Условию г (гш хв)+О. интегРальнаЯ кРиваЯ, опРеделаемаа этими значениями, при достаточно малом р, имея почти параллельную оси Ох касательную, удаляется от графика решения х=гр(~) вырожденного уравнения. В этом случае решение х=<р(1) уравнения (4.29) называется неустойчивым. В неустойчивом случае нельзя заменять решение х = х(1, (А) исходного уравнения решением вырожденного ТЕОРИЯ УСТОИЧИВОСТИ мх уравнения, другимн словами, нельзя пренебречь членом )ь — в уравне- лг лх нии )ь — = У(Г, х), как бы мало )т ни было.
л'г' Воаможен еще третий, так называемый полуустойчивый, случай в): знак функции у(1, х) при переходе через график решения вырожденного уравцения не изменяется. На рнс. 4.20 изображено поле направлений в случае полуустойчивого решения х=ф(Г). В полуустойчивом случае, как правило, тоже нельая приближенно заменять решение исходного уравнения х=х(1, ц) решением вырожденного уравнения, так как, во-первых, интегральные крнвые, определяемые начальными ( «4О значениями, лежащими с одной 1 стороны от графика решения х=ф(Г), удаляются от этого.
1 графина, во-вторых, интеграль( ные кривые, приближающиеся к графику решения х=~р(1), могут перейти через него ,О~ )~, г,~ г на неустойчивую сторону (рис. 4.20) н после этого удаРис. 4.20, литься от графика решения х = ф (1). Наконец, если даже интегральная кривая х = х(1, (г) остается в окрестности графика решения с его устойчивой стороны, то неизбежные в практических задачах возмущения могут перебросить график решения х=х(1, ц) на неустойчивую сторону графика решения вырожденного уравнения, после чего интегральная кривая х = х (1. И) удалится от графика решения х=ф(1).
Заметим, что если на графике решения вырожденного уравнения — ( О, то заведомо решение х = ф(1) устойчиво; если же — ~ О, ду ду дх дх то решение х=ф(Г) неустойчиво. так как в первом случае в окрестности кривой х=ф(Г) функция у' убывает с возрастанием х и, следовательно, меняет знак с + на †, а во втором случае возрастает с возрастанием х и, значит, при переходе через график решения х =ф(() функция Г" меняет знак с — на + . Если вырожденное уравнение имеет несколько решекий х =<р,(1), то каждое из них должно быть исследовано на устойчивость, причем в зависимости от выбора начальных значений интегральные кривые исходного уравнения могут вести себя прн )г — ь 0 различно.
Например, в изображенном на рис. 4.21 случае трех решений х= яь(~) (1= 1, 2, 3) вырожденного уравнения, графики которых не пересекаются, решения х = х (Г, ц), )ь ) О, исходного уравнения, опреде- слкчлп малого козоэициннтл да! ! ! х=!Зго Рис, 4.23. Рис. 4.22. При мер 2. Тот же вопрос для уравнения и~=а!и'г — Зе. дх к д! Решение вырожденного уравненив х = 2!и) а!пт1 — !пЗ устойчиво, так как = -Зг" <О. Следовательно, решение исходного уравнения д (я!и' à — Зе() дх ляемые начальными точками, лежашнми выше графика функции х='~рт(1), стремятся при У) 1р н р — ьО к устойчивому решению вырожденного уравнения х = !р! (2), а решеняя х = х(Е, р), определяемые начальными точками, лежашими ии- /(д же графика функции х = !рт(!).
стремятся при 1 ! ( ) 1 11! ! 1, гг! г ) Уе и р -ь О к устойчи- вомУ Решению х =~да(У) 11! (1 ) ! ! ! ! т ! вырожденного уравнения (рнс. 4.21). П'р и м е р 1. Выяснить стремится ли решение х = х (г, и) уравнения д, ! т' т"1 т! ! т~ т !- и — =х Г, р>О, удовдх дт уьл летворяющее начальныи условиям х (со) = х, к решеиию вырожденного уравнения х — ! О при!>г,и р-эо. Рис. 4.2!.
Решение х = х (г, !г) не стремится к решению вырожденного уравнении х=1, так как решение вырожденного уравнения д(х — !) неустойчиво, потому что — =1) О (рис. 4.22). дх !ГЛ. 4 теОРия устончиности х = х(Е, р) стремится к решению вырожденного уравнения для Е > Ея при Р-ьо. Прин е р 3. Тот же вопрос для решения уравнения р — = х (ЕЯ вЂ” х+ 1), П > О, х (Е,) = х,. Нх лЕ . Из двух решений х О и х = ЕЯ+ 1 вырожденного уравнения дх(ЕЯ вЂ”.х+!) ~ х(ЕЯ вЂ” х+1) =О первое неустойчиво, так как дх ьг=е дх(ЕЯ вЂ” +!) ~ =Ет+1 > О, а второе усюйчнво, так как = — И вЂ” ! <О.
ы=нч 1 Если начальная точка (Ен х,) лежит в верхней полуплоскостн х > О, то интегральная кривая исходного уравнения при р -ьо приближается к графину решения х = И + ! вырожденного уравнения (рнс. 4.23) и остается в его окрестности. Если же начальная точка лежит в нижней полуплоскости х < О, то !ннк (Е, р) = — со при Е > Е, (рнс. 4.23). н-ьо Вопрос о зависимости решения от малого коэффициента )т при старшей производной возникает и для уравнений и-го порядка рхоя(Е)=У'(Е, х, х, х,,, хы и), и для систем дифференциальных уравнений. Уравнение и-го порядка может быть обычным способом(см.
стр. 85) сведено к системе уравнений первого порядка, н следовательно, основная задача заключается в исследовании систем уравнений первого порядка с одним или несколькнмн малыми коэффициентами при производных. Эта задача подробно исследована А. Н. Тихоновым [4) и А. Б. Васильевой. $7.
Устойчивость прн постоянно действующих возмущениях Если исследуемая система уравнений дхе — =Е",(Е, хи хю ..., х„), х,(Е,) =хгз (Е=1, 2, ..., и) (4.30) подвергается малым кратковременным возмущениям, то систему (4.30) на малом интервале изменения Е, Ез ~~ Е ~(Ез, следует заменить возмущенной системой Нх, — =Е,(Е, ХИ Х„.... Х„)+Есг(Е, ХП Хя, ..., Х„), ~(4.31) хе (Ес) = х, (Ез) (Е = 1, 2, ..., и), где все Йе(Е, х,, хт, ..., х„) малы по модулю, а затем при Е) Ез возмущения прекращаются, и мы снова возвращаемся к системе(4.30), (гл. 4 ТИОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ о(1, хи хг, ..., хл), удовлетворяющая в окрестности начала координат при 1)~1о следующим условиям: 1) о(1, хи хг, ..., х„))~пг!(х,, хг, ..., хл))~0, о(Г, О, О, ..., 0)=0, где чо, — непрерывная функция, обращающаяся в нуль лишь в начале координат; до 2) производные — (в=1, 2, ..., и) ограничены по моду,гл1; дхл л По до ж до 3) производнал — = — + гт — З1( — гю,(хн х,, ..., хл) (О, 1=! где непрерывная функция шг(х1, хг, ..., хл) можеоь обращаться в нуль лишь в начале координат, то тривиальное решение сисе!емы (4.30) устойчиво по отношению к постоянно действующим возмущениям.
4(о к аз атель ство. Заметим, что в силу ограниченности произдо водных — (в= 1, 2, ..., и) функпия и рзвномерно по отношению дх к 1 при 1)~1о стремится к нулю при Х.,' х,'-РО, так как по тео1=1 т~ /до 1 реме о среднем значении о(г, хи хг, ..., х„) = г ! — ) хо где 1=1 1 ) до ! — ) — производные, вычисленные для некоторых промежуточных дх1) между 0 и х, (1 = 1, 2, ..., и) аначений аргументов хи хг, .... хл. Заметим также, что вне некоторой Ь-окрестности начала координат л т. е. при ~4 хг>бг ) 0 и при г~гз в силу условий 2) и 3) 1=1 проиаводная Ш = о!+Ха У'+Хдх )(1~ й<0 при достаточно малых по модулю ггг (1=1, 2, ..., и).
Зададим е) 0 и выберем какую-нибудь поверхность уровня (или одну из ее компонент) то, =1, 1,Р О, великом лежащую в е-окрестности начала координат. Подвижная при переменном 1)~ Гз поверхность уровня ю(г, хи хг, ..., хл)=1, в силу условия 1), лежит внутри поверхности уровня а!1=1 и в то же время, в силу равномерного по Ф л стремления к нулю функпии о при ~ хг1-ь О.
лежит вне 1=! некоторой Ья-окрестности начала координат, в которой о (1, и, згстопчивость ппи постоянно дппствнющих возмяп(змиях 282 следовательно, на поверхности уровня о(Г. хи хя, ..., х„) =1 при любом г )~ ге производная а и ! ! И если ~~.'~ йг(бь Ь! ) О, гле Ь, достаточно мало. Траектория, опре- 2 г=! деляемая начальной точкой х,(Ге)=х,е (!=1, 2, ..., и), лежащей в указанной выше Ья-окрестзюсти начала коорлинат, не может при г ) (л выйти за пределы е-окрестности начала координат, так как, в силу выбора Ьз, с(зе, хю, х,е, ..., х„е) ((, и следовательно, если бы при Г)~ге траектория выходила за пределы е-окрестности начала координат или хотя бы за пределы поверхности уровня тв! =/, то она должна была бы прн некотором значении Г= Т первый раз пересечь поверхность уровня о(з, хн хю ..., х,)=1, причем в окрестности точки пересечения вдоль траектории функ- ция о должна была бы возрастать, что противоречит условию дв д! — ( — й ( О вдоль траектории в точках поверхности уровня о(г, х,, хю ..., х„)=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
