Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Очевидно, векторные поверхности можно получить, рассматривая множество точек, лежащих на произвольно выбранном, непрерывно зависящем от параметра, однопараметрическом семействе векторных линий. Векторная поверхность характеризуется тем, что вектор М, направленный по нормали к поверхности, в любой точке поверхности ортогонален вектору поля р[ ([ь[. В) =(). (5.2) Если векторная поверхность опрелеляется уравнением « =у'(х, у), то вектор де . , Ое Р[= — ! -[- — ) — )с дх ду и условие (5.2) принимает вил Р(х, У «) д +([ х' У' «) д )Е(х >Ч «).
(5.3) де де Если векторная поверхность залается ди . ди и, следовательно, вектор Р[ = — ! -[- †) дх ду приобретает вил ди ди )д ~ 'У' д + уравнением и(х, у. «) =0 ди -[- — [с, то уравнение (5.2) де й(х, у, «) — =О. (5.4) ди де Следовательно, для нахождения векторных поверхностей надо проинтегрировать квазилинейное уравнение (5.3) или линейное одно- 244 уРАВнения В чАстных пРОНЗВОдных пеРВОГО пОРядкА [Гл. а ЛИНЕПНЫЕ И КВАЗИЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ 245 $2! родное уравнение (5.4) в зависимости ог того, ищем лн мы уравнение искомых векторных поверхностей в явном нли неявном виде.
Так как векторные поверхности могут быть составлены из зекллоримх линий, то интегрирование уравнения (5.3) (или (5,4)) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий. Составляем систему дифференциальных уравнений векторных линий (5.5) Р (х, у..) <>(х, у, х) Р (х, у,г) ' Пусть ф,(х, у, г)=с, и фз(х, у, г)=с2 — два независимых первых интеграла системы (5.5). Выделяем нз лвухпараметрического семейства векторных линий ф1(х, у, г) =сн фз(х, у, г) =с2, называемых характеристиками уравнения (5.3) (или (5.4)), произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую- нибудь непрерывную зависимость Ф(с,, с2) = О между параметрами с, и с,. Исключая из системы ф,(х, у, г) = сн ф,(х, у, г) = с, Ф<сн с ) = О параметры с, и ся, получаем искомое уравнение векторных поверхностей: Ф (фл(х, у, г), ф,(х, у, г)) = О, (5.6) где Ф вЂ” произвольная функция.
Тем самым найден интеграл квази- линейного уравнения (5.3), зависящий от произвольной функции. Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля Е=Р(х, у, г)!+9<х, у, г)) +)с(х, у, г))г. а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями Ф, (х, у, г) = О и Ф2 (х, у, г) = О, то функция Ф в (5.6) уже ие будет произвольной, а определится путем исключения переменных х, у, г из системы уравнений Ф, (х, у, г) = О, Ф,(х, у, г) = О, ф,(х, у, г)=с,, ф2(х, у, г)=ся, которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии Ф,=О и Фа=0, через которую мы проводим характеристики, определяемые уравнениями фл(х, у, г)=с,, ф,(х, у, г)=ся.
Заметим, что задача станет неопределенной, если заданная линия Ф,(х, у. г) = О, Ф,(х, у, г) = О является характеристикой, так как в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию. 246 уРАВнения В чАстных пРОизВОдных пеРВОГО пОРядкА 1Гл. а Итак, интеграл квазилинейного уравнения Р(х, у, г) — + 1',)(х, у, л) — =)с(х, у, г), дл дл дх ' ' ду зависящий от произвольной функции, может быть получен следую- щим методом: интегрируем вспомогательную систему уравнений Лх ду Р (х, у, х) 1;1 (х, у, л) Й(х, у, л) и, найдв два независимых первых интеграла этой системы; ф1(х, у, л)=с,, ф (х, у, г)=сз, получаем искомый интеграл а виде Ф(ф1(х, у, л), 1фа(х, у, я)) =О, где Ф вЂ” произвольная функция.
Уравнение интегральной поверхности того же квазилинейного уравнения, проходящей через заданную линию, определяемую уравнениями Ф,(х, у, л) = 0 и Фз(х, у, л) = О, можно найти, взяв упомянутую выше функцию Ф не произвольно, а определив функцию Ф(сн са) путем исключения х, у, л из уравнений Ф,(х, у, г)=0, Фя(х, у, г)=0, ф1(х, у, г)=сн фз(х, у, л)=сз, в результате чего получим уравнение Ф(сн с,)=0, и искомым интегралом будет Ф(ф(х, у, г), ф,(х, у, г))=0. При мер 1. Определить зависящий от произвольной функции интеграл уравнения дг дтл — + — = 1.
дх ду = Составляем вспомогательную систему уравнений дх =- ду = дю Ее первые интегралы имеют вид х — у = со л — х= с,. Интеграл исходного уравнения гй(х — у, л — х) = О, где Ф вЂ” произвольная функция, илн в разрешенном относительно л виде а = х + е (х — у).
где гà — произвольная дифференцируемая функция. П р и и е р 2. Нанти интегральную поверхность уравнения дл дл к — — у — =О, ду дх проходящую через кривую х= о, л= уч Интегрируем систему уравнений дх ду — у х О отяуда л си ха+ у'= с,. Исключан х. у н л из уравнений х'+у'=с,, а=си х=о, л=у', получаем с, с„откуда х = х'+ у'". ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИННЙНЫН УРАВНЕНИЯ 247 П р и и е р 3. Найти интегральную поверхность того же уравнения дл дл х — — у — =О, ду дх проходящую через окружность х'+ у' = 4. (5.7) Так как заданная линия (5.7) является векторной линией (характеристикой), то задача неопределенна. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности вращения х = Ф(х' + у'), ось вращения которых совпадает с осью Ох. Очевидно, существует бесковечное множество таких поверхностей вращения, проходящих через окружность (5.7), например параболоиды вращения л = = х'+у' — 3, 4х=х'+у', х= — х' — у'+5, сфера х'+у'+л'=5 и т.
д. Если уравнение кривой, через которую требуется провести интегральную поверхность уравнения (5.1,) дано в параметрической форме: хэ = хо (а) уэ = уо (з) ло = ло (з) то обычно и решение удобно искать в параметрической форме: х = х (А з), у = у (Г, з), х = х (й з). В систему (5.5), определяющую характеристики, вводим параметр Д полагая дх ду Р(х, у, х) О(х, у, л) )7(х, у, л) Для того чтобы характеристики проходили через заданную кривую, ищем решение системы (5.51), удовлетворяющее при Г=О (или Г=гэ) начальным условиям: х = хэ(з) у = у (з) л = а (а). При таких начальных условиях при фиксированном з получим характеристику, проходящую через фиксированную точку кривой (Б).
Прн переменном з получим семейство характеристик х=х(йз), у=у(5 г), х=л(д з), (в) проходящих через точки заданной кривой (Б) (при этом предполагается, что заданная кривая (Б) не является характеристикой). Множество точек, лежащих иа этом семействе характеристик (В), и образует искомую интегральную поверхность. Пример 4. дх дх — — — = 1. дх ду Найти интегральную поверхность, проходящую через кривую хэ з, уэ=з' ха=э'. Система уравнений, определяющая характеристики, имеет вид дх = — ду = дл =' дй Ее общее решение х=т+си у — Ф+сь а=г+са Пользуясь начальными услоииями, определяем протювольные постоянные и окончательно получаем у 4+аз л 4+аз 248 УРАВНения В ЧАСтных ПРОИЗВОДНЫХ ПеРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ.
а Перейдем теперь к случаю п независимых переменных. Естественно ожидать, что указанная выше для трехмерного случая схема решения может быть распространена и на (и+1)-мерный случай. Начнем с исследования однородного линейного уравнения дл дл Х! (х! хя, хл) + Хз (х! хз' ' ' хл) д + дх! дхл + Хл(х!' хгл ', хл) д — — О, (5.8) дл где непрерывные функции Х,(хн хю ..., хл) не обращаются в нуль одновременно ни в одной точке рассматриваемой области и имеют в той же области ограниченные частные производные. Составляем вспомогательную систему уравнений (5 9 Х,(х„х,, ..., хл) Х,(хь х„..., х„) ''' Хл(х!,хл, ...,хл)' которая при указанных выше ограничениях удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.
Находим и — 1 независимый первый интеграл системы (5,9): ф!(Х!, Х,...,, Хл)=СР фз(х!, хю ", х.)=ем фл-!(х! хт' ' ' '' хл) =ел-! В ПРОСтРаНСтВЕ С КООРДИНатаМИ ХР ХР ..., Хл Вта СИСтЕМа ИН- тегралов определяет (и — 1)-параметрическое семейство линий, называемых характеристиками уравнения (5.8), Докажем, что левая часть любого первого интеграла ф(хн хю ..., хл)=с системы (5.9) является решением исходного линейного однородного уравнения' в частных производных (5.8).
Действительно, вдоль любой интегральной кривой системы (5.9) функция ф=с. Следовательно, вдоль любой интегральной кривой (5.! О) Но вдоль интегральной кривой системы (5.9) дифференциалы с(х! пропорциональны функциям ХР следовательно, в силу однородности относительно г(х! левой части тождества '~ — !(х! = О, %! дф .Аы дх! ! ! ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 249 дифференциалы бх1 могут быть заменены пропорциональными нм величинами Х1, при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (5.9) л ')~ — Х, = б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
