Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Пример 3. угад+ 2хг а!у+хулл О, Г уг!+ 2««1+ хуй, го! à — «1+ гй. Условие иитегрнруемости (Г.го! Г)-0 выполнено. Находим иа какойиибудь поверхности. например на плоскости г 1, кривые, ортогональиые векторныи линиям. := ! уах+гхау О, хух а. Проводим через кривыс !сисис~ос г =.
1 «ух = а вихревые поееахиостж длв чего интегрируем систему гплвнсинв вихревых линий !л «З сг — — — г.-. сь сг.— с„. — х О г 17» 26О уРАВнения В ЧАСтНых ПРОиЗВОдных пеРВОГО пОРядкА 1Гл, а Исключая х, у и г из уравнений а= 1, ху' —. а„у с,, ха=.
са получаем с ся а. Следовательно, искомый интеграл исходного уравнения имеет я вид ху'а а. Замечание. Другой, обычно применяемый метод интегрирования уравнения Пфаффа Р(х, у, г)г)х+1)(х, у, г) Му+)с(х, у, г)да=О (5.21) заключается в том, что временно считают г (нли другую переменную) постоянной и интегрируют обыкновенное уравнение Р(х. у, г)г1х+Я(х, у, г)ду=О, (5.25) в котором г играет роль параметра. Получив интеграл уравнения (5.25) У (х, у. г) = с(г), (5.26) в котором произвольная постоянная может быть функцией параметра г, подбирают зту функцию с(г) так, чтобы удовлетворялось уравнение (5.21). Дифференцируя (5.26), получим дУ дУ, 1дУ вЂ” г(х+ — г(у+ ~ — — с'(г)1 с(г = О.
дх ду Коэффициенты при дцфференциалах переменных в уравнениях (5.2!) и (5.27) должны быть пропорциональными дУ дУ дУ вЂ” — — — с' (г) дх ду ог Р дУ дУ вЂ” — — с' (а) дх дг Из уравнения — = Р Н можно определить с'(г), так как можно доказать, что при выполнении условия (Р го1 Р) = О зто уравнение содержит лишь г, с'(г) и У(х, у, г) =с(г). ф 4. Нелинейные уравнения первого порядка Рассмотрим сначала случай, когда искомая функция зависит от двух независимых переменных.
Уравнения в частных производных первого порядка с тремя переменными имеют вид Р(х, у, г. р, с)=О, (5.28) где дг дг )г= г)= дх ' ду Дифференциальное уравнение (5.28) в каждой точке (х, у. г) той области, в которой изменяются первые три аргумента, устанавливает $41 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 261 аависимость гр(р, д)=0 между числами р и д, определяющими направление нормали )ч(р, д, — 1) к искомым интегральным поверхностям л = л(х, у) уравнения (5.28). Таким образом, направление нормали к искомым интегральным поверхностям в некоторой точке (х, у, л) не определяется точно, а лишь выделяется однопараметрическае семействе ввзмвжных направлений нормалей — некоторый конус допустимых направлений нормалей Х (р, а, — 1), где р и д удовлетворяют уравнению ф(р, д) = 0 (рис, 5.3).
Следовательно, задача интегрирования уравнения (5,28) сводятся к нахождению поверхностей е = з (х, у), нормали к которым были бы в каждой точке направлены по одному из допустимых направлений конуса нормалей в втой точке. Исходя из этой геомет- а. рической интерпретации, Рис. 5.3. укажем метод нахождения интеграла уравнения (5.28), зависящего от произвольной функции, если известен его интеграл СР(х, у, з, а, Ь) = О, который зависит от двух параметров а и Ь. Интеграл Оз(х, у, з, а, Ь)=0 уравнения (5.28), зависящий от двух существенных произвольных постоянных а и Ь, называется полным интегралом. Так как исходное дифференциальное уравнение (5.28) налагает ограничения лишь на направление нормалей к искомым интегральным поверхностям, то каждая поверхность, нормали к которой совпадают с нормалями к интегральным поверхностям в тех же точках.
будет интегральной поверхностью. Следовательно, интегральными поверхностями будут огибюошие двухпараметрического или однопараметрического семейства интегральных поверхностей, так как нормаль к огиоаюшей совпадает с нормалью к одной из проходящих через ту же точку интегральных поверхностей семейства. Огибающая двухпараметрического семейства интегральных поверхностей в предположении существования ограниченных частных произ- ЬФ дФ дФ водных —, —, —, не обращающихся в нуль одновременно, дх ' ду ' де ' дФ дФ и существования производных — и — определяется уравнениями да дЬ Ф(х, у, л, а, Ь)=0, — =О.
-5Ь вЂ” — — О, (5.29) дФ дФ 282 уРАВнения В чАстных пРОизаОдных пеРВОТО пОРядкА [Гл. 6 Выделяя из двухпараметрического семейства аггегральных поверхностей Ф(х, у, г, а, Ь)=0 произвольным способом однопараметрическое семейство, для чего считаем Ь произвольной дифференцируемой функцией параметра а, и находя огибающую однопараметрического семейства Ф(х, у, л, а, Ь(а)) =О, мы также получим интегральную поверхность. Огибающая зтого однопараметрического семейства в предположении существования ограниченных производных функции Ф по всем аргументам и не обращения в нуль одновременно дФ дФ дФ производных —, —, — определяется уравненияии дх ' ду ' дх Ф(х, у, л, а.
Ь(а))=0 и — (Ф(х, у, г, а, Ь(а))) =0 д или Ф(х, у, л, а, Ь(а))=0 и — + —,, Ь'(а) =О. (5.30) Эти два уравнения определяют множество интегральных поверхностей, завися>цее от выбора произвольной функции Ь = Ь (а). Наличие в уравнениях (5.30) произвольной функции, конечно, не дает права утверждать, что уравнения (5.30) определяют множество всех без псключеняя интегральных поверхностей исходного уравнения (5.28); например, зто множество, вообще говоря, не содержит интегральной поверхности, определяемой уравнениями (5.29), но все же наличие в уравнениях (5.30) произвольной функции обычно уже позволяет выделить интегральную поверхность, удовлетворяющую заданным начальным условиям Коши (см.
стр. 242), Итак, зная полный интеграл, уже можно построить интеграл, зависящий от произвольной функции. Нахождение полного интеграла во многих случаях не вызывает затруднений, например: [) Если уравнение (5.28) имеет вид р(р, [)=0 или р =[((д), то, полагая д= а. где а — произвольная постоянная, получаем р = ф (а), а[я = р дх + >) ду = [р(а) дх + а [[у, откуда х = ф(а) х+ ау+Ь вЂ” полный интеграл. 2) Если уравнение (5,28) может быть приведено к виду ф,(х, р)= =[[>я(у, >)), то, полагая ф,(х, р) =фа(у, >[) =а, где а — произвольная постоянная, и раарешая, если зто возможно, относительно р и Ф полУчим Р=ф>(х, а), а=фа(У, а), дг=рдх+аду= Р,(х, а) х+ Р,(у, а)ду.
'=Уф,(х, а).х+Гф,(у а)ду+Ь вЂ” полный интеграл. нвлинвиныв квлвнвния пкпвого попядка 263 3) Если уравнение (5.28) имеет вид гч(х; р, д) =О, то. полагая х=х(и). где и=ах+у, получим Р(х, а,—,— „)=О. Интегрируя это обыкновенное уравнение, получим х=Ф(и, а. Ь), где Ь вЂ” произвольная постоянная, или х=Ф(ах+у, а. Ь) — полный интеграл. 4) Если уравнение (5.28) имеет вид, напоминающий уравнение Клеро: х= рх+ чу+ гг(р т) то, как нетрудно проверить непосредственной подстановкой, полным интегралом является х = ах+ Ьу+ ~р (а, Ь).
Пример 1. Найти полный интеграл уравнения р= Заа. у=а, р=За', йе=За'йх+аау, е = За~х+ ау+ Ь. Пример 2. Найти полный интеграл уравнения рй= 2ху. р 2у 2у 2у — — =а, р=ах, й= —, не=ахах+ — ау, х д ' ' а ' а ах' у' — + — + Ь. 2 а П р и и е р 3. Найти полный интеграл уравнения х' рр'. Ме уе л~а(и), где и=ах+у, р а —, й аи' аи' 1 3 , а,з ах х а( — ) нлн — а,х, где а, = а а (аи) аи 1п1е1= а,и -~-1п а, е Ьее'", а, ( — +у) а=ае П р и и е р 4. Найти полный интеграл уравнения е= рх+ Чу+ рт+9~.
Полным интегралом является + ьу+ а'+ ад В более сложных случаях применяется один из общих методов нахождения полного интеграла уравнения Р(х. у, х, р. а) =О. 264 килвнания в частных пвоизводных ивового пооялкл игл.з Наиболее простая илея лежи~ ь основе хеотода о)о тра нхса и Шарил. По атому методу к уравнению Р(х, у, г, р, о)=0 (5.28) полбирают уравнение У(х, у, г.
р. о)= а (5.31) так, чтобы определяемые из системы уравнений (5.28) и (5.31) функции р=р(х. у, г, а) и 7=д(х, у, г, а) приводили бы к интегрирующемуся олним соотношением уравненцю Пфзффа т(а=р(х, у, г, а)ах+ т)(х, у, г, а)о'у (5.32) (Г го1г)=0, где г=р(х, у, г, а)1+ 7(х, у, г, а)1 — (с, т. е. в развернутом виде из уравнения р —.— д — — —,-+ — =О. до др ор Од (5,33) ог ох д> ох Оо ор др Производные —, —, —, — вычисляются дифференцированием дх ' Оу ' дг ' Ог тождеств Г(х, у, г, р,о)=0, У(х.
у, г, р, р)= а, (5.34) в которых р и д рассматриваются как функции х, у и г, опреде- ляемые системой (5.34). Дифференцируя по х, получаем др др др др до — + — — + — — =О, дх др дх т>д дл ди ж' ор ди «д — + — — + — = — О, дх др дх до Ох откуда (>(р, и) до В(р. х) дх 1>(Р, У) ' т>(р ч) Аналогично, дифференцируя (5.34) по у и определяя —, получим др ду ' В(Р, У) др 1>(у, о) ду 1>(Р ст) В(,«4) Тогда интеграл уравнения Пфаффа 01(х у, г, а, д) = О, тле д — произвольная постоянная.
появляющаяся при интегрировании уравне. ния (5.32), будет полным интегралом уравнения (5.28). Функция (У определяется из условия ннтегрируемостн уравнения (5.32) одним соотношением нелинейные уРАВнения пеРВОГО пОРядка 2б5 Дифференпнруя (5,3ч) по «н разрешая относительно —, —, будем др дй д« ' д« ' иметь «О (Р да ««(« д«ьч (Р Е> (р «т (Р да О(р д«о(Р сз (р д) и) «) и) Подставляя вычисленные производные в условие интегрпруемости (5.33, п умножая на определитель ', который мы считаем 0(Р, У) о(р, д) ' отличным от нуля, получим +(дР ди дР дУ)+(дР дУ дР ди) ( ду дй дй ду ) ( дх др др дх ) нли дР дУ дР дУ ! дР дР) дУ + + Р +т' др дх дл ду ) др дд ) д« дх ду д« др д» дР дг' дР дР дР дР дР дР— — Р— +Ч— — +Р— '" — +Ч= др дз др дд дх д«ду д« находится хотя бы один первый интеграл системы (5.35) У,(х, у, «, р, а)=а, и если функпии Р и У, независимы по отношению к р и а.
т. е. О (Р, У1) яь О, то первый интеграл У,(х, у, «, р, а) и булет исков(р ч) мым решением уравнения (5.35). Следовательно, определяя р=р(х, у, «, а) и р=д(х у «а) из системы уравнений Р(х, у, «, р, д) =О, У(х,у,г,р,а)=а Для определения функппи У мы получили однородное линейное уравнение (5.35), которое интегрируется методом, указанным в 5 2 втой главы: составляется уравнение характеристик 255 МРАВнения В чАстных пРОизВОдных пеРВОГО пОРядкА (Гл. а и подставляя в зуг = Р (х, у, г, а)с(х + 7(х, у, г, а)г7у, получим интегрируемое одним соотношением уравнение Пфаффа, решая которое, находим полный интеграл исходного уравнения Ф(х, у, г, а, Ь) = О. Пример 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
