Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 45
Текст из файла (страница 45)
При изменении параметров гн яа, ..., гл , получаем (и — 1)-па. раметрическое семейство характеристик Х,=Х!(1, ян ..., я,,), г=г(1. г,, ..., гл,), проходящих через заданную (и — 1)-мерную поверхность (5.57). Покажем, что при определенном выборе функций Р!о=Р!о(г! Я2 гл — !) (1=1 точки, лежащие на характеристиках семейства (5,60), образуют иско- мую а-мерную интегральную поверхность.
Следовательно, надо будет доказать, что при определенном выборе функций р1о(гн га, ..., ял,): !) Р(Х1(Г, г,, ..., гл,), ..., Х,(Г, гн ..., ял,), Е(т, ян ..., гл,), р,(1, яо ..., ял,), ..., Рл(Г, г,, ..., г„,))ж0, ее 2) Рч= (1=1, 2, ..., Л), или, что то же самое, л (е=~ р,ахн Нетрудно проверить, что функция Р (х,, хт...
„хл, е, ри рт... „Рл) является первым интегралом системы уравнений (5.59). Действительно, 18 л. э. зльлллльц вдоль интегральных кривых системы (5.59) — 1Г(х! хя " хл г Р1 Рм ° ° ° * Рл)= л л 1=1 1=1 л л л = ~~~ы~ Рл Рр1+ Рл уа Р1Рр! ~а Рр (Рл + Р1Рл) =0 и, следовательно, вдоль интегральных кривых системы (5.59) ~ (х1' хя' ' ' ' хл' г' Р1 Рт ' Рл) где с — постоЯннаЯ, РавнаЯ, Р(хьи хяш ..., хле, гш 11ы, 11ю...,,п е), Для того чтобы функции (5.60) удовлетворяли уравнению (5.56) вдоль интегральных кривых системы (5.59), надо выбрать начальные значения р,е, (а,, вя, ..., Зл,) так, чтобы Р(Х1З(з! ' Зл-!) °" Хла(З! " Вл-1) г(З! .
Зл-!) р!(У1, ..., Ул ), ..., Рл(ан ..., Зл,))=0. л Остается проверить, что п1г = ~~~ ~Р111х! или 1=1 л-! л л — ! дг + л~~~ дг '1 л дл! + чллт дл! д! дл! 1 ' дт ~л! дг! гл1 1=1 1=1 Это тон1дество эквивалентно следующим: да ~т дх! дГ ля~! дт (5.62) — — р,.— =0 (/=1, 2, ..., и — 1). (5.63) дл! 1= ! Справедливость тождества (5.62) станов!пся очевиднои, если принять ло внимание, что, в силу системы (5.59), дг Ст дх1 д = 7~ Р1Гр и — à —— Рр (1=1, 2, ..., и) 1=1 ( дг дх! вместо — и — мы пишем частные производные, так как в систедт дт ме (5.59) все з, предполагадись фиксированными). 274 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. Ь ги НЕЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 216 Для доказательс!ва тождеств (5.63), справедливых лишь прн определенном выбоРе начальных значений Рл!(гм гя...,. г,,), обозначим: л (у! — — — гт Р,— (/= 1, 2, ..., и — 1) ог тл ох! дг! ~ ' дг! 1=! и, аифференпируя (у! по 1, получим л л д(!! длг ч-л д'х, жч др! дх! д! додо! дл 'д!дг! Ь д! дг!' р (5.64) 1 О !=О Принимая во внимание результат дифференпирования тождества (5,62) по г! л л д'г ~л О!х! С~ Ор, ох, д! дг! ! ' Ш дг! л~г дг! д! 1.= О 1=О можно переписать уравнение (5.64) в виде 1 ор; дх! ч;л др; ох! дг! д! лыг д! дг! ' (5 59) получим Воспользовавшись системой л л ф='~~,'~' Го + У(Г„ 1=1 1-! ч ! др дх! др др! ( дх! дг! др! дг! '(~г ! 1=! )+ дР дг дР ( дг дг '! дг! 1=1 о ~ р') — ",(у!.
! р;о(гн гя...., гл,) (1=1, 2, ..., п) выбрать так. что (у!), о —— 0 л ( дг Еч дх! ! или — — Г„р! — =О (/=1, 2, ..., и — 1), то дг! лал! ' дг! / 1=1 л дх, — — ~р — — О (/=1,2, ..., в — 1) дг! л!лг ' дг! ! ш Полная частная производная — (Г"1=0, так кзк Г= О, и след дг! ловагельно, функпин (у! являются решениями линейных однородных д(!! уравнений — = — р,(!1, которые имеют единственное решение (!! = О, если (у!11 = О.
Слеловательно, если начальные значения 276 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 1ГЛ З и, следовательно, на поверхности (5.60) паз = ыу р,а(хн т. е. Ра=— ог дха 11 (1=1, 2, ..., и), Итак, для нахождения интегральной поверхности уравнения Р(хн хз, ..., х„, г, рн рн ..., Р,)=-О, прохолящей через (и — 1)-мерную поверхность хю — — х!о(зн за ° ., з,,) (1=1, 2...„и), ХО=ге(З1 З2 " Зл-1) НаДО ОПРЕДЕЛИТЬ НаЧаЛЬНЫЕ ЗНаЧЕНИЯ Раз(ЗР Зт, ..., Зл,) ИЗ УРаВНЕНИй Р (ха,, хзо ° ° ., хло г Рао Р!о ° ° Рло! = О, л дго сз дхао — — у рю —" — — О (у'=1, 2, ..., и — !), дз! лУЛ 'о дза 1=1 (5.65) после чего, интегрируя систему (5.59) (стр.
2?3) с начальными усло- виями: Хае — — Х!О (31, З2, ..., зл-1)' ге — гс(З1 Зт ° Зл-1) Р!о Рю(за з2 ' ' ' ' зл — 1) (1=1, 2, ..., и), получим: х,=ха(1, зн з,, зл,) (1=1, 2, ..., и), Х =г(1, ЗН Зт, ..., Зл,), Ра=р!(1 з,. У2, ..., зл,) (1=1, 2, ..., В). (5.66) (5.67) получим р = зе', д г', х е', у зг', г ззо'. Уравнения (5.66) и (5.67) являются параметрическими уравнениями искомой интегральной поверхности. Замечание.
Мы предполагали, что система уравнений (5.65) разрешима относительно рю, а также, что система (5.59) уловлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Пример 1. Найти интегральную поверхность уравнения г = рд,,проходящую через прямую х = 1, г = у. Запишем уравнение прямой х = 1, г = у в параметрической форме хо = 1 уо = ! га = з, Определяем ро(з) и до (з) из уравнений (5.65): з = родо.
1 — до =О, откуда р,=ж 17,=1. Интегрируем систему (5.59): дх а!у лг др Дд Д Р РД Р Д р с,е', д = с,е', х с,е'+ с„у с,е'+ с„з ** с,сое" + си Принимая во внимание, что при Г = О х=1 у з, г=з, р з, д=1, 277 НЕЛИНЕПНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Следовательно, искомой интегральной поверхностью является х=е', у зе', а=ее" или х=ху. 1дх!г ! де!г Пример 2. Проинтегрировать уравнение!! — ) +~ ~ =2 при усло(дх) (ду~ вии, что при х=й,а = у, или в параметрической форме ха =О, у, = з, е, = д 'Определяем Ра(з) н Ча(з): ро+ ос = 2 1 Ча = О г откуда оа = 1, Ра = ~ 1.
Интегрируем систему уравнений (5.59): дх ду 1е др де — = — — — = — = — = д1 2р 2е 4 О О р = сь о = с,, х = 2с,1 + с,, у =- 2с,1 + с„ е = 41 + сд пользуясь начальныии условиями р,= х 1, а)а=1, х,=О, у,=е, х,=е, получим р= ~ 1, о=!, х= х 21, у=21+а, а=41+к Последние три уравнения н являются параметрическими уравнениями искомой интегральной поверхности. Исключая параметры 1 и з, получим х = у х х.
где р,. = —, являющегося частным случаем уравнения (5,56) (стр. 272). до дх!' Метод Коши, который в применении к уравнению (5.68) часто называется первым методом Якоби, приводит нас к системе уравнений дх, дхг дх„ д7Г оН ' ' ' дН гг,о, дра Ора д,Р, дН дх, '1 Ра РН дхг дН а — Ъч дН до дхл т р, Ь др! д1 откуда — — — = — — (1=1, 2, ..., и) агх! дН др! дН д1 др! ' д1 дх! (5.69) л'о Ст дН до =,Ре Р! + д1 .'Е др, о1 ' 1 ! илн л'о дН вЂ” „, .='~', р,— „.
— Н. !=! (5.70) В задачах механики часто приходится решать задачу Коши для уравнения до — -+Н(1, хн хг,..., х„, р,, р,, ..., Р„)=0, (о.68) 278 кплвнкния в члстныя ппопзводных пивного поиядкл 1гл. а Система 2п уравнений (5.69) пе содержит о и может быть проинтегрирована независимо от уравнения (5.70), после чего из уравнения (5.70) функция о находится квадратурой. В этом и заключается некоторое своеобразие применения метода Коши к уравнению (5.68).
Кроме того, в рассматриваемом случае нет необходимости вводить в систему (5.50) вспомогательный параметр. так как эту роль с успехом может играть независимая переменная г. Задачи к главе З дг дг 1. — — — = О. 'дх ду дг дг 2. — + —. = 2г. ' дх ду дг 3. х — =г. ду дг дг 4. г — — у — = О, дх ду дг Б.у — =г прн х=2, г=у.
дх дг дг 6. х — — у — =г при у =1, а=бх. дх ду дг дг 7. уг — + — = О при х = О, г '= у'. дх ду 8. Найти поверхности, ортогональные поверхностям семейства г= аху. О. Найти поверхности, ортогональные поверхностям семейства хуг =а. х дг » дг 1О. — — -- — —. = г — 5. ' 3 дх 5 ду ди ди ди 11. — + — + — =О. ' дх ду дг ди ди ди 12. х — + 2у — + Зг — = аи. дх ду дг (х' У) =О дх' дг дг и.— — 2х — =О при х=1, г=уд ду 16. Интегрируется ли уравнение (у'+ га — х') их + хг ну + ху дг = О. одним соотношением) !6, Проинтегрировать одним соотношением уравнение (у+Зла) их+(х+у) ду+бхгда О.
17. Найти полный интеграл уравнения рл = хеуй зАдАчи к ГДАвн а 18. Найти полный интеграл уравнения л = Рх+ Фу+ Р'с). 19. Найти полный интеграл уравнения ру = 9л'. 29. Найти полный интеграл уравнения Р= я!и!). 279 21. Найти поверхности, ортогональные векторным линиям векторного поля Г = (2ху — Зух) ! + (х' — Зхл) ) — Зху 1с, 22.
Найти семейство поверхностей, ортогональных векторным линиям векторного поля Г = (2х — у) !+(Зу — х)1+(х — 2у) н. 23. Найти векторные линии, векторные поверхности.н поверхности, ортогональные векторным линиям поля Г = х!+ у! — л(с. 24. х= р4+1 при у=2, «=2х+1. 25. 2х= Рд — Зху при х= 5, х=15у. 26.
4л = Рт+ ф орн х = О, л = у'. введение Моменты инерции, статические моменты, координзты центрз тяжести некоторой однородной кривой илн поверхности также являются функционалами, так как их значения определяются выбором кривой или поверхности, т. е. выбором функций, входящих в уравнение эгой кривой или поверхности. Во всех этих примерах мы имеем характерную для функционалов зависимость; функции (или вектор-функции) соответствует число, в то время как прн задании функции в = 7'(х)числу соответствовало шсло.
Вариииионнов исчисление изучает метошн позволяющие находить максимальные и минимальные значения функционалов. Задачи, в которых требуется исследовзть у функционал на максимум или минимум, называются вариакионныли задавали. Многие законы механики и физики сводятся к утверждению, что некоторый функционал в рассматриваемом процессе должен достигать минимума или максимума. В такой формулировке эти законы носят название вариапионных приниипов люханики или физики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
