Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 48
Текст из файла (страница 48)
к, Как мы уже знаем, ф'(0) называется вариацией функционала и обозначается Ьо. Необходимое условие экстремума функционала о заключается в обращении в нуль его вариации: Ьо=О. Для функционала о[у (х)1 [ Р(х, у, у )~рх к, это условие имеет вид ~ [~'г бу + г „бу'[ пх = О. о Интегрируем второе слагаемое по частям и. принимая во внимание, что бу'=(бу)', получим к, Ьо=[Р» Ьу[„'+ / (Г~ — „~ Г„)буях. м Но Ьу[ „=у(хе) — у(х,)=0 и Ьу[, „=у(х,) — у(х,)=О, УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА потому что все допустимые кривые в рассматриваемой простейшей задаче проходят через фиксированные граничные точки, н следовательно, к'1 Ьп = ~ (Ру — — Ру ) Ьу йх.
к, Итак, необходимое условие экстремума приобретает вид к, "- ) ~Ру — — Р 1буйх=О, е'х "/ к» (6,2) к, ~ Ф (х) »1 (х) йх = О, к» где функция Ф(х) непрерывна на отрезке (х, х,), то Ф (х) ит 0 нп том же отрезке. Замечание. Утверждение леммы и ее доказательство не изменяются, если на функции »1(х) наложить следующие ограничения: Ч(хз)=»1(х,)=0; т)(х) имеет непрерывные производные до порядка р, (»11'~(х)~ < е (з=О, 1, ... с; й (р). До к азате ль ство. Предположив, что в точке х=х, лежащей на отрезке хе ( х ( хи Ф(х)чь0, придем к противоречию.
Действительно, из непрерывности функции Ф(х) следует, что если Ф(х)+О, то Ф (х) сохраняет знак в некоторой окрестности (хз(х(х,) точки х; но тогда, выбрав функцию т)(х) также сохраняющей знак »к причем первый множитель Р» — — РУ на кривой у=у(х), реалиех вующей экстремум, является заданной непрерывной функцией, а второй множитель Ьу, ввиду произвола в выборе кривой сравнения у = у (х), является произвольной функцией, удовлетворяющей лишь некоторым весьма общим условиям, а именно: функция Ьу в граничных точках х = х„и х = х, обращается в нуль, непрерывна и дифференцируема один или несколько раз, Ьу или Ьу и Ьу' малы по абсолютной величине.
Для упрощения полученного условия (6.2) воспользуемся следующей леммой: Основная лемма вариацаоннозо счисления. Если для каждой непрерыеной функции »1(х) дйб метод влянлцни в задачах с неподвнжнымн гяаннцлмн ~гл.е в этой окрестности и равной. нулю вне этой окрестности (рис. 6.6), получим к, к, ~ Ф(х) з) (х) ю(х = ~ Ф (х) г) (х) сРх эь О, г. к„ так как произведение Ф(х) ц(х) сохраняет знак на отрезке (хек, х (х,) н обращается в нуль вне этого отрезка. Итак, мы пришли к противоречию, следовательно.
Ф(х) О, Функцию г)(х) можно выбирать, например„так: г)(х)=О вне отрезка (хз (х (х,); т|(х)= =и(х — ха)" (х — х,)зл на отрезке (хз (х (х,), где п — целое хк х х~ Рнс. 6.6. положительное число, й — постоянный множитель. Очевидно, что функция Ч(х) удовлетворяет упомянутым выше условиям: она непрерывна, имеет непрерывные производные до порядка 2и — 1. обращается в нуль в точках хе н х, и может быть сделана по модулю сколь угодно малой вместе со своими производными за счет уменьшения модуля множителя Гк. Замечание.
Дословно так же можно доказать, что если функция Ф(х, у) непрерывна в области 0 на плоскости (х. у) н 1 ~ Ф(х, у)п(х, у)с~хс(у=О при произвольном выборе функции т)(х, у), удоялетворяющей лишь некоторым общим условиям (непрерывность, дифференцируемость один или несколько раз, обращение в нуль на границах области О, )ц) (е, )Ч„'!<е, !т1'!(е), то Ф(х, у)=— О в области с).
Функцию г)(х, у) при доказательстве основной леммы можно выбрать, например, так: т) (х, у) = О вне круговой окрестности достаточно малого радиуса е, точки (х, у), в которой Ф(х; у)+О, а в этой окрестности точки (х, у) функция т) (х, у) = )з ~(х — х)'+ (у — у)з — е',]з' (рис. 6.6). Аналогичная лемма справедлива и для и-кратных интегралов. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА Применим теперь основную лемму для упрощения полученного выше необходимого условия (6.2) экстремума простейшего функционала (6.1) к( / (Є— — Рэ ) буях =О.
к, (6,2) Все условия леммы выполнены: на кривой, реализующей экстремум, и множитель (р — — ру ) является непрерывной функцией, а вариа- У ах ция Ьу является произвольной функцией, на которую наложены лишь прелусмотренные в основной лемме ограничении общего характера, сле- довательно, Р— — Ру =— О и' г лх г на кривой у = у (х), реализующей экстремум рассматриваемого функционала, т.
е, у = у (х) является решением дифференциального уравнения второго порядка У Р вЂ” — „Р ° =О, а'х или в развернутом виде Д' Гкк' — Г ЭУ'У— Рис. 6.6. Это уравнение называется уравнением Эйлера (оно впервые было им опубликовано в 1744 году). Интегральные кривые уравнения Эйлера у = у(х, Сн С,) называются энсгиремалями.
Только на экстремалях может достигаться экстремум функционала о~у(х)) = ( р(х, у, у')дх. кр Для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала (6.1). интегрируем уравнение Эйлера и определяем обе произвольные постоянные, входящие в общее решение этого уравнения, нз условий на границе у(хв)=уз, у(х,) =у,.
Только на удовлетворяющих этим условиям экстремалях может реализоваться экстремуи функцндиала Однако для того чтобы установить, реализуется ли на них в деуствительности экстремум, и притом максимум или минимум, надо воспользоваться достаточными условиями экстремума, изложенньы и в главе 8. 290 мвтод вариации в задачах с нвподвижными гоаницлми 1гл. а Напомним, что краевая задача э' Рэ л Рэ' =О у(хо)=ус у(хв)=ув не всегда имеет решение.
а если решение существует, то оно может быть не единственным (см. стр. !59). Заметим, что во многих вариационных задачах существование решения очевидно из физического или геометрического смысла задачи. и если решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям, единственно, то зта единственная зкстремаль и будет решением рассматриваемой вариационной задачи. При мер 1. На каких кривых может достигать экстремума функционал о]у(х)] / [(у')' — у']Лх; у(0)=:О, у] — 1=17 12/ с Уравнение Эйлера имеет вяд у'+у =0; его общим решением является у = С, сов х+ С, в1п х. Используя граничные условия, получаем: С, О, С, = 1; следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой у = в1п х. Пример 2.
На каких кривыв может достигать экстремума функционал 1 о[у(х)]= ~ [(у')" +!2ху] Хх, у(0)=0, у(1)=17 о Уравнение Эйлера имеет анд у — бх = О, откуда у = х'+ С,х+ Св. Используя граничные условия, получаем: С, = О, С, = 0; следовательно, экстремум может достигавься лишь на кривой у =х'. В этих двух примерах уравнение Эйлера легко интегрировалось. но так бывает далеко не всегда, так как дифференциальные уравнения второго порядка интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случаях. Рассмотрим некоторые простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера. 1) Р н е з а в и с н т о т у'. Р = Р (х, у). Уравнение Эйлера имеет вид Р (х, у)=0, так как Рг =О. Решение полученного конечного уравнения Р (х, у) = О не содержит элементов произвола и поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям у(хо) = ус и у(хв) = Ум Следовательно, решение рассматриваемой вариационной задачи, вообще говоря, не существует.
Лишь в исключительных случаях, когда кривая Р„(х, у)=0 а в! УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА проходит через граничные точки (ха, у ) и (хм у,), существует кривая, на которой может достигаться экстремум. Пример 3. к, о(у(хН ~ у'4х! у(-та) уа, к, У (А) Уи Уравнение Эйлера имеет вид Р„=О нлн у =О. Экстремаль у = О проходит через граничные точки только при у, = О и у, = О (рис. 6.7). Если у, = О н у, = О, то, очевидно, функция у = О реали- к, зует минимум функционала о ~ у' ях. к' к~ так как Р (у (х)]..Р О, причем т = О при у =О, Если же хотя бы одно из у, и у, не равно нулю, то минимум функционала иа непрерывных функциях не достигается, что и понятно, так как можно выбрать последовательность непрерывных фуннций д В х у„(х), графики которых состоят из все бо- д х~ лес н более круто спускающейся из точки (ха уа) к оси абсцисс дуги кривой, затем из отрезка оси абсцисс, почти совпз- Рис.
6.7. дающего со всем отрезком (х,, х,), и, наконец, возле точки х„круто поднимающейся к точке (хь у,) дуги кривой (рис. 6.8). Очевидно, что на кривых такой последовательности значения функционала сколь угодно мало отличаются от нуля н, следовательно, нижняя грань значений функционала равна нулю, однако зта нижння грань не может достигаться на векрерывной кривой, так как для любой непрерывной кривой у = у(х), отличной от тождественного нуля. интеграл ] у' пх > О. Этз нижняя грань значений .и функционала достигается на разрывной функции (рис. 6.9) у(х)=ус, у (х) = О при ха < х < хн У(х1) = У~ 2) Функция гч линейно зависит от у': л'(х, у, у')=М(х, у)+М(х, у) у'! к, 'и (у(х)] = / 1М(х, у)+ М(х, у) — й~т(х.
ка 800 метод вдгнлцни в задачах с нвподвнжнымн гвлницлмн (гл.а Уравнение Эйлера имеет вид дМ окт' — + — у' — — й((х, у) =О, оу оу ох или дМ О)У, дДГ дДà — + — у' — — — — у' = О. ду ду ох оу или оМ гдк' — — — =О; ду ох но это опять, как н в предыдущем случае. конечное, а не аиффе- оМ ддг ренциальное уравнение. Кривая — ' — — =О, вообще говоря, не ду дх Ряс. 6.8. Рнс, 8.9. удовлетворяет граничным условиям, следовательно, вариацнонная задача, как правило, не имеет решения я классе непрерывных функций. дМ д)т' Если >ке — — — = — О, то выражение Мдх+Фду является точду дх ным дифференциалом и к, к, о = ( 1Л( + И вЂ” „«) сгх = / (Л4 сгх + И оу) не зависит от пути интегрирования, значение фушсционала о постоянно на допустимых кривых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
