Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Предположим, что экстремум достигается на кривой у = у(х), дифференцируемой 2п раз, и пусть у=у(х) — уравнение некогорой кривой сравнения, также лнфференцнруемой 2п раз. Рзссмотрнм однопараметрнческое семейство функций у(х, а)=у(х)+а[у(х) — у(х)] или у(х, а)=у(х)+абу. При а=О у(х, а)=у(х), при а=1 у(х, а)=у(х). Если рассматривать значение функционала о[у(х)] только на кривых семей. ства у=у(х, а), то функционал превратится в функцию параметра а, достигающую экстремума при а = О; следовательно, — о [у(х, а)]] о = О.
Эта производная в соответствии с й ! гн о-о 2 41 ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ называется вариацией функционала о и обозначается Ьо: х, и=~~/ па . аа , а, аа, а.... аца, на ха 2=0 х, = ~ (Р ЬУ+ Р, ЬУ'+Р.ЬУ" + ... + Р,К„,Ь)й" )йх, Интегрируем по частям второе слагаемое в правой части один раз: .2, х, гчу Ьу'дх =1РХ Ьу)"' — / — ачу буях, х, третье слагаемое — два раза: к, Рп ьупйх=1Р; ьу'1" — ~ — Рп ьу] + / — „., Ру ьуйх, — ' '- — й' х, х, ха и т. д., последнее слагаемое — и раз: х, Р Ьу и, йх [Р, Ьу(п — 4!)ж ~ Р а Ьу~п — 2)~ + ха йп ... + ( — 1)" / — „Р„4„, Ьу иах.
«а Принимая во внимание граничные условия, в силу которых при х= хе и пРи х=х, ваРиации ЬУ =ЬУ'=ЬУп= ... =ЬУЫ-П=О, окончательно получим х, и2 ип / ~РХ вЂ” — Ру + — Ру +- . ° +( — 1) —.Р ~п4)ЬуйХ. х, Так как на кривой, реализующей экстремум, имеем х, аа и2 ~п Ьп = / (рх —,~ "У'+ и 2 рг" + ... +( — 1) их рУ421)ЬУих=О ха при произвольном выборе функции Ьу и так как первый множитель под знаком интеграла является непрерывной функцией х на той же кривой у=у(х), то в силу основной леммы первый множитель тождественно равен нулю: и ем и ' а у «» а у'+ иле а у" + ''' +( 1) аапе Руин 31О метОд ВАРиАпии В 3АдАчАх с непОдВижными ГРАнипАми 1гл. а Итак, функция у=у1х), реализующая экстремум функционала «2 о)у(х)) = ) Р(х,, у, у', у", ..., уш1)2)х, КО должна быть решением уравнения 2т 2 2тл à — — „~ Г + — „, Р' ° + ...
+< — 1)" — „„Р' „=О. Это дифференциальное уравнение порядка 2п носит название ураа- мамки Эйлера — Пуассона. а его интегральные кривые называются лкстрежаляжи рассматриваемой вариационной задачи. Общее решение этого уравнения содержит 2и произвольных постоянных, которые могут быть, вообще говоря, определены из 2и граничных условии: у (хэ) = уз' у (х21) = уз' ' ' ' уш ~(хз) = уд у~х1) = — ун у'1х1) = у,', ..., у2"-"(х1) =у1"-1>.
П рн мер 1. Найти экстремаль функционала 1 в)у тх)) = ~ 11+ у"2) 2тк; о у1О)=О, у СО)=1, уП)=1, у 11)=1. Уравнение Эйлера — Пуассона имеет внд — (2у )=О нлн у1ч=о; его Нхк общим решением является у = С,х'+ Скх'+ Скх+ С,. Используя гранич- ные условия, получаем: С,=-О, С,=О, С,=1, С,-О. Итак, экстремум может достигаться лишь на прямой у = к. При мер 2. Определить экстремаль функционала и о Ь (х)) = ~ Ь"' — у2+ ') нх, з удовлетворяющую условиям у1О)=1, у <О)=О, у( )=О, у ®= 1, Уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид у1Ч вЂ” у = О; его общим решением является у = С1е" + Ске "+ С, сов к+С, Мнк. Используя граничные условия, получаем С, = О, С,= О, С, =1, С,= О.
Итак, экстремум может достигаться лишь на кривой у= соз к. Пример 3. Определить экстремаль функционала о1у1к)) = / ( — ру"'+ру) 22х, еннкционллы от ставших пяоизводныя ЗИ удовлетворяюнГую граничным условиям: у( — т)-о, у ( — т)-о, у(г)=о, у ())=о.
Н втой вариационной задаче сводится нахождение осн изогнутой упругой цилиндрической балки, заделанной на концах. Если балка олнородна, то р н Н постоянны н уравнение Эйлера — Пуассона имеет внд л' Р Р+ — (РУ )=О уи= лхз Н откуда У = — — + С| х'+ С,х'+ Сзх + Се 94Н Используя граничные условия, окончательно находим у — — (х' — 2)зхз+ Гз) илн у = — (хз — )з)з. Р Р й4Н 74~~ Если функционал о имеет вид о о (у(х), л(х)) = ~ *о(х, у, у'... „у~л~, л, зк, ..., л(злз) л(х «О то, варьируя только у(х) и считая з(х) фиксированным. мы находим, что функции у(х) и г(х), реализующие экстремум, должны удовлетворять уравнению Эйлера — Пуассона дл рг — — „Рт + +( — )) — „.
РНю — О а варьируя л(х) н считая у(х) фиксированным, получим, что те же функции должны удовлетворять уравнению ля р; — — хр; + ... +( — )) „~ Г...=О. Итак, функции г(х) и у(х) должны удовлетворять системе.двух уравнений и Лл г,— — „„г;+ ... ) ( — ))" — „„„г,,„,=о, лз ля р; — —,р; -)- ... -(-( — )) — „р, .=о. Точно так же можно рассуждать и при исследовании на экстремум функционала, зависящего от любого числа функций: '!» у ° °" у)= — и (» у у' у1лн у у' у(изз кз ..., у, у', ..., у(лм)),тх. 312 мвтод ваянации в задачах с неподвижными гяаницлми Варьируя какую-нибудь одну функцию у,(х) и сохраняя остальные неизменными, получим основное необходимое условие экстремума в виде Ру, — — Р +. +( — 1) — „Р (пг)=О (1=1, 2, ..., т). д ч и ~ дх УС дх ' ф 6.
Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных Исследуем на экстремум функционал о ! г (х, у)! = / / Г (х, у, .г, —, — 1 г1х г(у, дк' дуг причем на границе С области 0 значения функции г(х, у) заданы, т. е. задан пространственный контур С, через когорый должны Рис, 6,13. проходить все допустимые поверхности (рис. 6.13).
Для сокращения д«дг записи обозначим: — = р, — = д. Функцию Р будем считать дх ' ду трижды дифференцируемой. Поверхность г = г(х, у), на которой реализуется экстремум, будем предполагать дважды дифференцируемой. Рассмотрим опять однопараметрическое семейство поверхностей «=г(х, у, а) =г(х, у)+аб«, где бг =г(х, у) — г(х, у), включающее при а= О поверхность г = г (х, у), на которой реализуется экстремум, а при а = 1 — некоторую допустимую поверхность г =г(х, у). На функциях семейства «(х, у, а) функционал о пре- 314 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ.
6 получим / ~ ( дх (РРЬг) + д (Ребз)(г[х "у = ~ (Ряс[у — Рес[х)бх =О. 'о' с Последний интеграл равен нулю, так как на контуре С вариация Ьг = О, потому что все допустимые поверхности проходят через один н тот же пространственный контур С. Следовательно, / ~ (ряб О+ р Ь)) с[х ду = — ~ / ~ — (р ) + — (р )( Ьг Фх [[у, о о н необходимое условие экстремума ( ~ (Г,ба+ Р бр+ Р Ьи) [[хду=О принимает вил ( / (Р,— (РР) (Ре])бгдхду — О, о Так как вариация Ьг произвольна (на Ьг наложены лишь ограничения общего характера, касающиеся непрерывности н дифференцируемости, обращения в нуль на контуре С н т. д,). а первый множитель непрерывен, то по основной лемме (стр.
296) на поверхности я = я (х, у), реализующей экстремум, ".— д ("Р) — д д д дх Р ду Следовательно, г(х, у) является решением уравнения Р, — —, (Р,) — (Р,) = О. д д Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, которому должна удовлетворять функция г(х. у). реализующая экстремум, носит название уравнения Остроградского по имени выдающегося русского математика М. В.
Остроградского. который в !834 году впервые получил это уравнение, однако для прямоугольных областей 1) оно встречалось уже в работах Л. Эйлера. Прим ер ! в(г(х, у)) = ~ / (( — ) + ( — ) 1 ах ау, и $6) ФункииОнллы От Функции нескОльких переменных 315 на границе С области П значения функции е заданы: в = у(х, у). Уравне- ние Остроградского в данном случае имеет вид д д — + — =о. дхз ду' или в краткой записи т. е. является известным уравнением Лапласа, причем надо найти непрерывное в В решение етого уравнения, принимающее заданные значения на границе области П. Это — одна из основных задач математической физики, называемая задачей Дирихле.
Пример 2. п (г(х, у)) = ~ ~ ~~ — ) + ~ — ~ +2лУ(х, у)~ дх ну, О на границе области В функция л задана. Уравнение Остроградского в данном случае имеет вид д'е д'л — + — =у(х, у), дхг ду' или в кратной записе бе=У(х, у). Это уравнение, называемое уравнением Пуассона, также весьма часто встречается в задачах математической физики. П р и и е р 3. Задача о нахождении поверхности минимальной площади, натянутой иа данный контур С, сводится к исследованию на минимум функционала Уравнение Остроградского в данном случае имеет вид д ( р 1 д .
~+ =О ~ Лтее7 ~ ду ( Еттр'яг ~ или т. е, средняя кривизна в каждой точке равна нулю. Известно, что физической реализацией минимальных поверхностей являются мыльные пленки, натянутые на заданный контур С. Для функционала о[х(хг, х,, ..., х„)) = ~(хг хт ° х„г. рп р,...., р„)йх,яхт... йх„, О 5 а1 влвилционныв задачи в плвлмвтпическои еоимв з17 функция л, реализующая экстремум, должна удовлетворять так иа- аываемому бизармоничеснолгу уравнению д'« д'«сн« вЂ” +2 дх' дх' ду' ду' .+ — = О, которое обычно кратко записывается так: Лба =О. Лля функционала о= / / ~(ддх ) +(~,) +2 [д д ~ — 2ау(х, у)~г(хг)у о функция л(х, у), реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению гхАг = у(х, у). К бигармоиическому уравнению приводят также задачи иа экстремум функционала о=/ ) ~ —,+ —.,) дхЫу о или функционала более общего вида = ~ [ ~( —,,+ — д,) — 2(1 — р)~ —,—,— ( —,, )1~ Ьду, о где р — параметр, ф 6.
Вариациоиные задачи в параметрической форме Во многих варнацнонных задачах решение удобнее искать в параметрическом виде. Например, в изопериметрической задаче (см. стр. 282) о нахождении замкнутой кривой заданной длины 1, ограничивающей максимальную площадь ь) неудобно искать решение в виде у — у(х) так кзк по самому смыслу задачи функция у(х) неоднозначна (рис. 6.14), поэтому в рассматриваемой задаче целесообразно искать решение в параметрической форме, х=«(Г), у=у(1). Следовательно, в данном случае надо искать экстремум функционала т 1 5 [х(т), у(Г)) = — 1 (ху — ух) дт — 2/ о г при наличии условия 1 = ~ [Ухэ + у'М, где 1 — постоянная. э Пусть при исследовании на зкстремум некоторого функционалз «, е[у(х)[ = ~ Р(х, у, у') Пх «в з1з' ывтод влнидцип в злдлчдк с ниполвижными галниидыи (гп, з оказалось более целесообразным искать решение в параметрической форне х- х(т), у = у(г); тогда функционал преобразуется к следующему виду; и [х (т), у (г)] = [ г ]х (т), у (т), †.
~ х (г) иг. х (4 Заметим, что полученная после преобразования переменных подынтеграль- ная функция е (- (г). у (т) †. ) ' (т) у (т) ) х (т) не содержит т явно и является по отношению к переиенным х н у однородной функцией первой степени однородности. Таким образом, функционал о [х(Г), у(т)] является не произвольным функционалом вида н ~ тр (т, х (г), у (т), х (т), у (г) ) ят, зависящим от двух функций х(Г) н у(т), а лишь весьма частным случаем такого функционала, так как его подынтегральная функция не содержит явно с и однородна первой степени однородности по отношению к переменным х и у. Если бы мы перешли к какому-нибудь другому параметрическому представлению искомой кривой х = х (т), у =- у(т), то функционал п[х, у] преобразовался бы к т, ут'] /Г(,Н '', *.С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
