Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Найти экстремали функционала Х о [у (х)! = ~ [(у"')э + уэ — 2ух'! Нх. х,, 326 митоц илнмлцня н элцачлк о ниноцинжнмми еиАмнцамн (тл. а ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗАДАЧИ В !. Простейшая задача с подвижными границами В главе б прн исследовании функционала о = ~ Р(х, у, у') с(х к, гредполагалось, что граничные точки (хе, уе) и (хн у,) заданы. Предположим теперь.
что одна илн обе граничные точки могут перемещаться. Тогда класс допустимых кривых расширяется, — кроме кривых сравнения, имеющих общие граничные точки с исследуемой кривой, можно уже брать и кривые со смещенными граничными точками. Поэз оку если на какой-нибудь кривой у = у(х) достигается экстремум в задаче с подвижными граничными точками, то экстремуч тем более достигается по отношению к более узкому классу кривых. нмеющ~к общие граничные точки с кривой у=у(х), и, следовательно, должно быть выполнено основное, необходимое лля достижения экстремума в задаче с неподвнжнымн границами условне— функция у(х) аолжна быть решением уравнения Эйлера Ф Р вЂ” — Р„= О.
л'х Игак, кривые у =у(х), на которых реализуется экстремум е залаче с подвижными границами, должны быть экстремалямн. Оощее решение уравнения Эйлера содержит две произвольные постоянные, аля определения которых необходимо иметь два условия. В задаче с цеподвнжнымн граничными точками такими условиями были у(хе)=уе " у(хг)=уз 22» 3йй ВАРиАционные зАдАчи с подвижными гРАницАми [гл. т В задаче с подвижными границами одно или оба эти условия отсутствуют и недостающие условия для определения произвольных постояннык общего решения уравнения Эйлера должны быть получены из основного необходимого условия экстремума — равенства нулю вариации Ьо. Так как в задаче с подвижными границами экстремум достигается лишь на решениях у=у(х, Сн С,) уравнения Эйлера, то в дальнейшем можно рассматривать значение функционала лишь на функциях этого семейства.
При этом функционал о(у(х, Сп С,)) превращается йl Рнс. 7.1. в функцию параметров С, и Сз и пределов интеграции х, и хн а вариация функционала совпадает с дифференциалом этой функции. Яля упрощения будем считать, что одна из граничных точек, например (хэ, уе), закреплена, а другая (хн уг) может перемещаться н переходит в точку (х, + Лхп у, + Лу,), или, как обычно обозначают в вариационном исчислении, (х, -)- Ьхн у, + Ьу,). ))опустимые кривые у = у (х) н у = у(х) + Ьу будем считать близкими, если модули вариаций Ьу и Ьу' малы, и 'малы модули приращений Ьх, и Ьу, (приращения Ьх, и Ьу, обычно называют вариациями предельных значений х, и у,).
Экстремали, проходящие через точку (х, уе), образуют пучок экстремален у=у(х, С,). Функционал о(у(х, С,)) на кривых этого пучка превращается в функцию С, и хг Если кривые пучка у=у(х, С,) в окрестности рассматриваемой экстремали не пересекаются, то о[у(х, С,)) можно рассматривать как однозначную функцию х, и ун так как задание х, и у, определяет экстремаль пучка (рис.
7.1) и тем самым определяет значение функционала. Вычислим вариацию функционала о(у(х, С,)) на экстремалях пучка у=у(х, С,) при перемещении граничной точки из положения (хн у,) в положение (х, +Ьх,, у, + Ьу,). Так как функционал о на крявык пучка превратился в функцию х, и уп то его вариация 5 и пРОстейшАя' зАдАЯА с пОдвижными ГРАницАми ай совпадает с дифференциалом этой функции. Выделим из приращения Ло главную линейную по отношению к Ьх, и Ьу, часть: ккхах, х~ до= ~ Р(х, у+Ьу. у'+Ьу')Их — ~ Р(х, у, у')а~х= х„ х, как Р (х, у + Ьу, у' + ду') Фх + к( + ~ [Р(х, у + Ьу, у +Ьу ) — Р(х, у, У')[дх. (7.1) к, Первое слагаемое правой части преобразуем с помощью теоремы о среднем значении: к,тах, / Р(х У+ЬУ, У'+Ьу')~~х=Р[х х,зз Ьхн Где 0(О < 1, к, в силу непрерывности функции Р булем иметь: где е,-ьО при Ьх,-РО и Ьу, -РО.
Итак. к,:ах Р(х У+ЬУ У'+Ьу')с(х=Р(х, у, у')[ Ьх, [-е,дхц к, Второе слагаемое правой части (7.1) преобразуем путем разложения подынтегральной функции по формуле Тейлора к, ~ [Р(х, у+Ьу. у'+Ьу') — Р(х, у, у')[ах= к., ~ [Р„(х, у, у')Ьу+ Р ° (х, у, УПЬУ'1 Их [- [сц где кс', является бесконечно малой более высокого порядка, чем Ьу или Ьу'. В свою очередь линейная часть к, ~ (Р„ду+Р„ду')Ам к, Значения функционала берутся лишь на экстремалях, следовательно, л Ег — — Е„ = О.
Так как граничная точка (хе, уе) закреплена. л'х то Ьу1 = О. Следовательно, (Ет Ьу + Еж Ьу ) г(х = Гг' Ьу! 1 к, Заметим, что Ьу1„„не равно бу, — приращению ун так как Ьу,— эго приращение у, прн перемещении граничной точки в положение у ву~) Рнс. 7тд х, -( Ьхг у, + Ьу,), а Ьу 1„— это приращение ординаты в точке. х, нри переходе от экстремали, проходящей через точки (хе, уэ) и (хн у1) к экстремали, проходящей через точки (хз, уэ) и (х1 + Ьхн у, 1- Ьу1) (рис. 7.2). Из чертежа видно, что Вгк = бу 1„„; ЕС = дуб ЕС ж у' (х,) Ьх,; Вй = ЕС вЂ” ЕС Ьу1 „Ьу, — у'(х,) дх,. илн При атом приближенное равенство справедливо с точностью до бес- конечно малых более высокого порядка. 33О ВАРНАционныв 3АдАчи с подвижнымЙ гРАницАми (гл.
т может быть преобразована путем интеграции по частям второго слагаемого подынтегральной функции к виду $ и пяоствпшАя зАдлчл с подвижными гвдницлмн О31 ч ьбх Итак, окончательно имеем: ~ Рйх сн Р[„„бхг[ к, [Р(х, у-+Ьу. у'+бу') — Р(х, у. у')[с[хна ~ Рт [ ° (Ьу, — у'(х,) бх,), где приближенные равенства также справедливы с точностью до членов порядка выше первого относительно Ьх, и Ьуг Следовательно; из (7.1) получим Ьо = Р [„„бх, + Рт [„„(Ьу, — у' (х,) Ьх,) = = (Р— у'Рт ) [„„Ьх1+ Рт [ ду . или ло(х~ У1) (Р У Рт ) [ Их, + Р„[ с(у где о(хп у,) — функция, в которую превратился функционал о на экстремалях у=у(х, С,), а с(х,=Ах,=Ьх,.
с(у,=Ау,=ду,— приращения координат граничной точки. Основное необходимое условие экстремума бо = О приобретает вид (Р— у'Р„ )[„ „ Ьх, + Р„ [„ „ бу, = О. . (7.2) Если вариации Ьх, и Ьу, независимы, то отсюда следует, что (Р у Ру')[ О и Ру'[ О Однако чаше приходится рассматривать случай, когда вариации Ьх, и Ьу, зависимы. Пусть, например, правая граничная точка (хо у,) может перемещаться по некоторой кривой У1 =ф(х1) Тогда Ьу, = ф'(х,)бх, и, следовательно, условие (7,2) принимает вил [Р+(ф' — у')Рг [бх,=О или.
так как Ьх, изменяется произвольно, то [Р + (ф' — у') Рт [ „ „ = О. Это условие устанавливает зависимость между угловыми коэффициентами ф' и у' в граничной точке. Оно называется условием трансверсальности. Условие трансверсальности совместно с условием у, = ф(х,) позволяет, вообще говоря, определить одну или несколько экстоемалей пучка у=у(х, С,), на которых может достигатьсязкстош м. Если граничная точка (х, у ) может перемещаться по некоторой кривой уе =ф(хз), то совершенно так же обнаружим.
что и в точке (хв, уе) должно удовлетворяться условие трансверсальностн [Р+( Р' — у') Р„[, . = О. ВАРНАционные ВАЛАчи с подвижными ГРАниндми ' )гл. т Пример 1. Найти условие трансверсальности для функционалов вида х, о ~ А(х, у) Р~!+у'Яех. Условие трансверсальиости г" + Гт,(ф' — у') 0 имеет в данном случае вид чг —,с А(х, У) У' А (х, у)(1+ в'у') А(х у) г +у + .—, (о' — у') 0 или — т =О' М1+ у' У1+ у" предполагая, что А (х, у) ~ 0 в граничной точке, получим ! + у'е' = 0 или 1 у' = — †, .
т. е. условие трансверсальности свелось в даниои случае к ус- гг ловню ортогональности. 1/1 ж Пример 2. Исследовать на экстремум функционал / ' ' у с(х, у е причем у(0) О, а у, — х, — 5 (рис. 7.3). Интегральными кривыми уравнениа ЭйлеРа (пРимеР 1, стР.
324) Явлаю~са окРУжности (х — Сг)т+ Ут = Ст. Рис. 7А. Рис. 7.3. Первое граничное условие дает С, — Сь Так как условие трансверсальности для данного функционала сводится к условию ортогональности (см. предыдущий пример). то прямая у, = х, — 5 должна быть диаметром окружности и, следовательно, центр искомой окружности находится в точке (О, 5) пересечения прямой у, = х, — 5 с осью абсцисс. Следовательно, (х — 5)' + у'= = 25, или у = ж У 10х — х'. Итак, экстремум может достигаться лишь иа дугах окружности у = У 1Ох †и у = — ) 10х †. Если граничная точка (хн у,) может перемещаться лишь по вертикальной прямой (рис. 7.4) и.
следовательно. Ьх, = О, то условие (7.2) переходит в тот ~ = О. Пусть, например, в задаче о брахистохроне (см. стр. 304) левая гранич. ная точка закреплена, а правая может перемещаться по вертикальной прямой. йп ПРОСТВИШАЯ ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИПАМИ 553 Экстремалями функционала о 1 ' ' у лх являются циклоиды, уран- а неиня которых, если принять во внимание условие у(О) О, будут иметь вил ,с С, (г — э~п г), у = С, (1 — соз Г). Для определения С, используем условие Р,) О, которое в данном х=х, случае имеет вид у )х- .)7— откуда у' (х,) =О, т. е.
искомая циклоида должна пересекать прямую х= х, под прямым углом и, следовательно, точка х хи у=у, должна быть Рис. 7.5. вершиной циклоилы (рис. 75). Так как вершине соответствует значение с = и, то х, = С,и, С, = —. Следовательно, экстремум может реализоваться Х1 н' лишь на циклоиде х = — (à — з!и Г); у = — „(1 — соз Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
