Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 51
Текст из файла (страница 51)
х [ х тю но, подынтегральная функция функционала и не меняет своего вида при изменении параметрического предстзвления кривой. Рис. 6.14. Таким образом, функционал о зависит от вида кривой, а не от ее параметрического представления. Нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения: если подынтегральная функция функционала и [х (г), у (т)] = ~ Ф (й х (т), у ((), х (г). у (()) йт не содержит Г явно и является однородной функцией первой степени однородности относительно х и у, то функционал о[х (г), у(Г)] зависит лишь от вида кривой х = х (С), у = у(Г), а не от ее параметрического представления.
Действительно, пусть о [х (т), у (т)] = [ ср (х (т), у (т). х (г), у (г)), г(г, и а з) ЕАРНАПНОнные зАдАчи в пАРАметРическОЙ ФОРме 319 где Ф(х, у, йх, ду) =- АФ(х, у, х, у). Перейдем к новому параметрическому представлению, полагая т=е(т) (Ф(т) чь О), х=х(т), у =у(т). Тогда Ф(х(т), у(С) х(т), у(()) Лт= ~ Ф(х(т), у(т), х (т)Ф(т), ут(т) <р(()) —.
ч (г) ! т, В силу того, что Ф является однородной функцией первой степени однородности относительно х и у, будем иметь Ф(х, у, хтр, астр) = ЧтР(х, у, х„, ут), откуда Ф(х, у, х, у)лт== ~ Ф(х, у х„у,)л'т, А т. е, подынтегральная функция ие изменилась при изменении параметрического представления. длина дуги ~ у ха+уз лт ч), площадь, ограниченная некоторой кривой 1 /' — г (ху — ух) Ж, являются примерами таких функционалов. 2 / Для нахождения экстремалей функционалов рассматриваемого типа о(х(т), у(т)) = ~ Ф(х.
у, х, у) лт, где Ф вЂ” однородная функция первой степени однородности относительно х и у, кан и для функционалов с произвольной подынтегральной функцией Ф (т, х, у, х, у), надо решить систему уравнений Эйлера л и Ԅ— — Ф.=О; Ф вЂ” — Ф. О. Лу ' т (т Однако в рассматриваемом частном случае зти уравнения не являются независимыми, так как им должны удовлетворять наряду с некоторым решением х х(т), у == у(т) и любые другие пары функций, дающие другое параметрическое представление той же кривой, что в случае независимости уравнений Эйлера привело бы к противоречию с теоремой существования ч) Функция )г хз+ у' является положительно однородной первой степени однородности, т. е, для иее условие гт(йх, йу) = йгч(х, у) удовлетворяется лишь при положительных й, однако етого вполне достаточно для справедливости излагаемой в атом параграфе теории, так как при замене переменных т ф(т) можно считать Ф(т) >О.
32О метод ВАРиАций В ВАЛАИАх с непОдВижными ГРАнинАми (гл. а н единс<всннощн решения снстечы днффереицналы<ых уравнений (см. стр.?5). Это указывает на то, что для функционалов вида о]х (2), у (1)] = ~ б< (х, у, х, у) дй <» где ц< †однородн функция первой степени однородности относительно х н у, одно ~з уравнений Эйлера является следствием другого, Лля нахождения экстремалей надо взять одно нз уравнений Эйлера и проннтегрнро.
вать его совместно с уравнением, определяюин<и выбор параметра. Например, к уравнению Ф вЂ” — ц<. = О можно присоединить уравнение » дт» х'+ у' =1, указывающее, что за параметр взята длина дуги кривой. ф 7. Некоторые приложения Основным вариационныи прппципои в механике яв.ляется принцип стационарного действия Остроградского — Гамильтона. утверждающий, что срелн возможных, т. е.
совместимых со связями, движений системы материальных точек в действительности осуществляется движение, дающее стационарное значение (т. е. значение, соответствующее аргументу, для ко!орого вариация фуисционала равна нулю) интегралу ~(Т У) д(, где Т вЂ” кинетическая, а У вЂ” потенциальная энергия системы. Применим этог принцип к нескольким задачам механпсн. Пример 1. Лана система материальных точек с массами ш<(1=1, 2, „л) н координатами (хь у<, г<), на которую действуют силы д<, обла- дающие силовой функцией (погенциалом) — У, зависящей только от коор- динат: дУ , дУ дУ Т ° = —;Ту= — ',Р»= — —, с дх;'; ду«' дл<' где р х, г' ю Лх — координаты вектора р<, действующего на точку (хл уь л,).
Найти дифференциальные уравнения движения системы. о дан- ном случае кинетическая энергия Т 1 ~тгл (,'.2 ] '2 ] '2) <=1 а потенциальная внергия системы равна У. Система уравнений Эйлера для интеграла некОторые пРилОжения имеет вил ди г ат ди и дт ди и дт — — — — — О; — — — — —. О; — — — — —. О. дх«ат ох, ду«дт ду«дл«ЛГ дл« нли «их — Р» О; гл у — Рг 9 глл — г» О ««, ' «« (1 1, 2...., и).
Если бы движение было подчинено еще некоторой системе независимых связей Ч)(Г, хи хи ..., х Ун Уь ..., У„, ло ли ..., лл) О (! 1,2,..., ю, ю<Зл), то из уравнений связей можно было бы выразить т переменных через Зл — т независимых переменных (не считая времени Г) нлн выразить все Зл переменных через Зп — ьт новых, уже независимых, координат Ч«Чь ° °" Ч«л-«э Тогда Т н и можно было бы также рассматривать как функции Ч«, Чэ, ..., Чэл и и П Т Т(Ч«Чт ° ° Ча»-т Ч~ Чэ ° . Чэ»-»«О и и(ч«ч "" ч — г) и система уравнений Эйлера имела бы вид а<т и) д дт — — —.- О <1- 1, 2...., Зп — »).
дЧ«ат дЧ« Пример 2. Выведем дифференциальное уравнение свободных колебаний струны. Поместим начало координат н один из концов струны. Струна э состоянии покоя пол влиянием натяжения расположена вдоль некотором прямой, по которой направим ось абсцисс (рис. 6.15). Отклонение от положения равновесии и (х, «) будет функщ«ей абсциссы х н времени Г. и Потенциальная энергия и элемента абсолютно гибкой струны пропорциональна растяжению струны. участок струны ах в деформированном состоянии, с точностью до беско. печно малых более высокого «юряд- и - и(хди ,2 х ка, имеет длину аз = у' 1+н„ах и,следовательно, удлинение влемента равно <Р' 1+н» вЂ” 1) ах.
Поформу- Рнс. 6.15. т/ Д 1,э ле Тейлора Р' 1+н„ю 1+ — и . Считая и малым и пренебрегая более высокими степенями и, полу- 1 ° э чим, что потенцнальнав энергив элемента равна — Аи„дх, где Л вЂ” множитель 21 л. э. эльсгэлъц 322 митод вдиидиии в зддлчАХ О нвпсдвнжнЫмн годммылмм сгд.а пропорциональности, а потенцнальиав анергия всей струны равна ! — / аи' дж 2 / к о Кинетическая анергия струны равна — / рм дх, 2/ о и где р — плотность Интеграл / (Т вЂ” (С] дг имеет в данном случае вид с, с, ГГ1 с 1,ст о / / ~ — ри — —,Аи ~ ахдт.
/ 12 ' 2 к) Уравнение движения струны будет уравнением Остроградского для функ- ционала о. Итак, уравнение движения струны имеет аид ЫРис)-д,йм,) О д д Если струна однородна, то р и Д вЂ” постоянные, и уравнение колеблющейся струны упрощается: д'и д'и р, д Р дм дхс допустим теперь, что на струну действует еще внешняя сила у(С, х), перпендикулярная к струне в ее положении равновесия и рассчитанная на единицу массы. Как легко проверить, силовая функция втой внешней силы, действующей на алемент струны, равна рУ(С, х)идх; следовательно, интеграл Остроградского — Гамильтона ~ (Т вЂ” (с') дг имеет внд сю с, ! с.
Г!, 1,с ~ — ри' — —, Аи' +ру'(С, х) и1 дх до, / (2 с 2 к о а уравнение вынужденных колебаний струны — (ри,) — — (ди„) — ру' (д х) О, д д или, если струна однородна, д'и й дои — — — — =У(1 х) дтс р дхс Совершенно аналогично может быть получено уравнение колеблющейся мембраны. Пример 3, Выедаем уравнение колебаний прямолинейного стержни. Нассравим ось абсцисс по оси стержни, находящегося в положении равиове- 324 метОд ВАРНАННН В ВАДАчАх с ненОдвижными гРАницАми 1гл. ь поле чв=в(х.
у, г, (). Интеграл ~(Т вЂ” (к)Ф в данном случае, вообще говоря, булет равен четырехкратному интегралу по простран- ственным координатам х, у, г и по времени 1 от некоторой функ- ции с., называемой плотностью функции Лагранжа или лагран- жианон. дв дв св дв, Обычно лагранжиан является функцией в,— дх' ду' дг' д( дв дв дтв дв 1 С=у. (в. —. —, —, — 1, дх' ду' дг' д()' и, следовательно, действие имеет вил ~ б (в, д, —, д, д )а1хс(ус(гс(г, (6.3) о Согласно принципу стационарного действия уравнение поля является уравнением Остроградского для функционала (6.3): д д д д бв дх (~л1 1 ду (~л11 дг (~лз) д( (~л,~ а. где дв дв СВ ОВ Р1 = дх ' Задачи к главе б 1.
Найти вкстремалв функциоиалг (у И ~~ + У к, 2. Исследовать на вкстремум функционал о[у(х)) ' ~ (ук+2хуу')дх; у(х)=ум у(х)=уь 3. Исследовать иа вкстремуи функционал 1 Р(У(х)) / (хУ+У' — 2УкУ')их; У(0)=1; У(1) 2. Ь 4. Найти вкстремали функционала к, Р(У (хН = ~ У'(1+ лгу')дх. ЗАЛАЧИ К ГЛАВЕ В б. Найти вкстремали функционала о [у (х)) ~ (у" + Еуу' — !6у') их. к, 6. Найти вкстремали функционала к, о [у (х]) = ~ (ху'+у' ) нх. к 7.
Найти вкстремали функционала к1 ук о [у(хЦ = ) —, к(х. у 8. Найти вкстремали функционала к, о [у(х)) = ~ (у'+ у' — 2у в(п х) Мх. к, 9. Найти вкстремалн функционала о [у (х)) = ~ (1бу' — у" + х') ь(х. 16. Найти вкстремали функционала к, о [у(хЦ = ~ (2ху+ уса ) нх. 11. Найти вкстремали функционала о [у (х), л (х)) = ~ (2ук — 2у'+ у' — х") нх. 1д Написать уравнение Остроградского для функционала о[к(х, у)]= / ~ ~( — ) — ~ — ) 1 ахну. о 13. Написать уравнение Остроградского для функционала о[н(х,у,л)) / / [ ~(~ ) +(д ) +(д ) +Ену(х,у,л)]их~(улл о 14, Найти вкстремали функционала к, о[у(х)) = ) — йх.
! у 22 л. в. Вльсголья 15. Найти экстремали функционала л, о [у(х)[= ~ (у'+у' +2ул")их. л, экстремали функционала и о [у (х)] = .~ (Уэ — У' — 2у 51н х)мх. и !6. Найти 17. Найти экстремали функционала о [у(х)! = ~ ~у'+(у')т+ — ~ т(х. 18. Найти экстремали функционала н о [у (х)! = ~ [хт(у')э+2ут+ 2ху[их. к, 18. Найти экстремали функционала к, и [у (х)! ~ [(у")а — 2 (у')'+ у' — 2у э(н х! с(х. 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
