Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 53
Текст из файла (страница 53)
и н Если граничная точка (хп у,) в задаче об экстремуме функцио- х, нала о= ) 7" (х, у, у')г(х может перемещаться по горизонтальной «О прямой у=уп то Ьу,=О и условие (7.2);или условие трансверсальности, принимает вид 334 ВАРИАЦИОННЫВ ЗАПАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 7 $2. Задача с подвижными границами к, плн функционалов вида ~ В(х, у, г, у', г')рах - к, Если при исследовании на экстремум функционала М о= ~ Г(х, у, г. у'. г') р(х одна иа гРаничных точек, напРимеР В(хн Уи г,).
пеРемещаетсЯ, а другая, А(хр, ур, гр), неподвижна (или обе граничные точки под- вижны). то очевидно, что экстремум может достигаться лишь на инте- гральных кривых системы уравнений Эйлера Действительно, если на некоторой кривой С реализуется экстремум в задаче с подвижными границами, т. е. достигается максимальное илн минимальное значение о по сравнению со значениями о на всех близких допустимых кривых, срели которых находятся как кривые, имеющие общие граничные точки с кривой С, реализующей экстре- мум, так и кривые, у которых граничные точки не совпадают с гра- ничными точками кривой С, то тогда подавно на кривой С дости- гается экстремум по отношению к более узкому классу близких кривых, имеющих общие граничные точки с кривой С.
Слеловательно, на кривой С должны удовлетворяться необходи- мые условия экстремума задачи с неподвижными, граничными точками, и, в частности, кривая С должна быть интегральной кривой системы уравнений Эйлера. Общее решение системы уравнений Эйлера содержит четыре произвольные постоянные. Зная координаты граничной точки А(хр, ур, гр), которую мы считаем неподвижной, можно, вообще говоря, исключить две произвольные постоянные.
Для определения двух других произвольных постоянных необхо- димо иметь еще лва уравнения, которые будут получены из условия бо=О, причем при вычислении вариации мы уже будем считать, что функционал задается лишь на решениях системы уравнений Эйлера, так как только на них может достигаться экстремум. При этом функционал о превращается в функцию Ф(хн уи г,) координат хц у,, г, точки В(хп у,, г,), и вариация функционала превращается в дифференциал этой функции*). Ь) Функция Ф будет однозначной, если эасгремали пучка с центром в точке А ие пересекаются, так как тогда точка д (хь уь г,) однозначнО вределяет зкстремаль. влдлчл с подвижными гвлниплми Вычисление вариации о может быть проведено совершенно гак же, как на стр.
328 — 331: и+ем до = ~ Р (х, у + Ьу, я + бя, у'+ бу', «'+ Ья') Нх— к, — ~ Р(х, у, я, у', я')0х= и и+аж Р (х, у + Ьу, г + Ья, у'+ Ьу', я' + Ьг') г(х + Я, -[- ~ [Р(х, у+Ьу, г+Ьг. у'+Ьу', я'+Ья')— к. — Р(х, у, г, у', х')]г(х. Применим теорему о среднем значении к первому интегралу н вос- пользуемся непрерывностью функции Р, а во втором интеграле выделим главную линейную часть с помощью формулы Тейлора.
После этих преобразований получим к, до = Р[„ „ Ьх, + ~ [Р,Ьу + Р,дя -[- Р бу'-+ Р, бх']г(х. и Интегрируя по частям два последних слагаемых, стоящих под знаком интеграла, будем иметь: до = Р ]„, бх, + [Р~ Ьу] [- [Р, Ьх] А'( + ~ ~~Р~ — — „я Р;)ду+(Р,— — „" Р;)Ь~'1И». о Так как значения о вычисляются лишь на экстремалях, то Ру Рг' О) Ря Ры ям 0 я у ях у ' ф ях я и, следовзтельно, бо=Р[ „Ьх,+[Р„ду] „+[Р;Ья]„ Рассуждая так же, как и на стр, ЗЗО, получим Ьу]„„=бу,' — у'(х,)бх, и Ьх] =бяг — «'(х,)дх„ и, следовательно, Ьо = [Р— у'Є— «'Р» ] Ьх, + Р„[„„бу, + Р, [„Ь», = О. 336 влинлционныв злдлчн с подвижнымн силницлмн н л. т Если вариации Ьхн Ьу,, Ьг, независимы, то из условия Ьо=О получаем 1Р— у'Р„ — «'Р, 1 Если граничная точка В (х,, уц «,) может перемешаться по некоторой кривой у, = ф (х,); г = ф(х ), то Ьу, =ф'(х ) Ьх,, а Ьг, = =ф'(х,)Ьх, и условие Ьп=О или 1Р— у'Р— г'Р, ) „Ьх, +Р„[ „Ьу, +Р, 1 Ьг,=О переходит в условие 1Р+(ф' — у') Рт +(ф' — г') Р, 1„бх, =О, откуда в силу произвольности Ьх, получим 1Р+ (ф' — у') Р, + (ф' — г') Р, 1„„= О.
Это условие носит название условия трансверсальности в задаче об исследовании на экстремум функционала о= [ Р(х. у, г, у', «')Их. Условие трансверсальности совместно с уравнениями у, =ф(х,) г, =ф(х,) дает недостающие уравнения для определения произвольных постоянных в общем решении системы уравнений Эйлера. Если граничная точка В(хн уц г,) может перемещаться по некоторой поверхности г, =ф(хн у,), то дг,=ф„'Ьх, + ф'„Ьун причем вариации Ьх, н ду, произвольны. Следовательно.
условие Ьо=О или, в раавернутом виде, (Р У Рт г Р»'1» Ьх»+ Рт'1 ЬУ~ + Р»'1» — » Ьг~ = преобразуется в условие У Ру, г Р»* +ф Р [ Ьх~ +[Р +Р»ф [ ЬУ~ О Отсюда в силу независимости Ьх, и Ьу, получим [Р— у'Р„, + (ф„' — г') Р,,[ =О, [Р,. + Р,,р„'[ =О. Эти два условия вместе с уравнением г,=ф(хн у,), вообще говоря, дают воаможность определить две произвольные постоянные з общем решении системы уравнений Эйлера. Если подвижной является граничная точка А(хе, уе. ге). то тем же методом в этой точке получим совершенно аналогичные условия.
ЗАДАЧА О ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Если рассмотреть функционал к и 1Рьх ун у2 ул у1 у2 у )ох к, то без изменения метода доказательства получим, что в случае подвижной точки 8(хр уц, уы, .... у„,) в втой точке Р— ~ у,'Р Ьх, + ~, Р, Оу,, =О. Пример 1.
Найти условие трансверсальностн для функционала к, о= 1 А(х, у, г) у'1+у' +к" ах, если к, ~р(хн у,). Условия трансверсальностн [Р— у Р +(о,— «)Р~,~ =О и ~Р~,+Р,,<э'1 О в данном случае имеют внд 1+(2„» =0 и у +у к =0 при х=х» илн — — = — прн х = хь т. е. являются условием параллельности вектора 'гк л'э касательной Г (1, у', л') к искомой экстремалн в точке (хь уь л,) и вектора нормали Ф(О„, ок, — 1) к поверхности к=о(х, у) в той же точке.
Следовательно, условие трансверсальностн становится в В данном случае условием ортогональности экстремали к поверхности л = гэ(х, у) П р и и е р 2. Найти экстремальное расстояние между двумя поверхностями л 12(х, у) н к= ф(х, у). Иначе говоря, найти экстремум интеграла У ( + у' + к' Лх нрн условии, что коорди- к, наты одной кз граничных точек (хл уэ ка) удовлетворяют уравнению лэ <р(х, у,), а координаты другой граничной точки (х, уь л,) удовлетворяют ис, 7., уравнению л, = ф(.гь У~). Так как подынтегральная функция зависит лишь от у' и л', то экстремалями являются прямые линии (см.
пример 2, стр. 307) Так как функционал к| У'1+ у' +л' нх является частным случаем рассмотренного в преды- к, душем примере функционала ~ А(х, у, к) э/1+у" +л" йх, то условия 668 влпилциоииыв задачи с подвижными гвлиицлми ~гл. т трансверсальности как в точке(ха у„х,), так и в точке (хь уь х,) переходит в условия ортогональности. Следовательно, экстремум может достигаться лишь на прямых, ортогональных как к поверхности х = ф(х, у) в точке (х», у», х»), так и к поверхности х= ф(х, у) в точке (хь у,, х,) (рис.
7.6). Пример 3. Исследовать на зкстремум функционал к, о =» ~ (у" +х" + 2ух) лх, причем у(0)=0; х(0)=0, а точка(х1Лун х,) может к, перемешаться по плоскости х= хь Система уравнений Эйлера имеет вид ໠— у = 0; у" — х = О, откуда угт — у = 0; у = С, сих+ С,зд х+ С,соя х+ +С,зщх, х= у"; х= С,сих+С»зйх — С,созх — С,з!йх. Йз условий у(0)=Он х(0) = 0 получаем: С,+ С,= Он С,— С, О,откуда С, = С,= О.
условие в подвижной граничной точке (Р— у'Рт — х'Р .) бх1+ Р ( Ьу1+Р» ( бх| —— 0 переходит в условии Ру ( 0 и Р» ! 0 так как бх,=О, а Ьу, и Ьг, произвольны. В рассматриваемом примере = 2у', Р,. = 2х', следовательно у'(х~)=0 и л'(х,)=0 С»сил~+С,соя х, = 0 и Стсйх,— С,созх, О, али Если соя х, + О, то С, = С4 = 0 и зкстремум может достигаться лишь иа л примой у=О; л О. Если же созх,=О, т. е. х,= — +лн, где и — целое 2 число,то С» = О, С, — произвольная постоянная, у= С4 з~п х, л= — С, зшх. Нетрудно проверить, что в последнем случае при любом С, функционал о = О. й 3.
Экстремали с угловыми точками До сих пор мы рассматривали вариационные задачи, в которых искомая функция у=у(х) предполагалась непрерывной и имеющей непрерывную производную. Однако во многих задачах последнее требование является неестественным, более того, в некоторых классах вариационных задач решение, как правило, достигается на экстремалях, имеющих угловые точки.
К числу таких задач принадлежат, например, задачи на отражение и преломление экстремалей, являющиеся обобщением соответствующих вадач нз отражение и преломление света. Задача об отражении як стрема лей. Найти кривую, реализующую экстремум функционала о = ~ Р (х, у, у') Фх и проходящую чеРез заданные точки А(хс, Уя) и В(хжз, Уз), пРичем кРиваЯ додд»на ЗКСТРВМАЛИ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ попасть в точку В лишь после отражения от аааанной линии у =ф(х) (рис. 7.7). Естественно считать, что в точке отражения С(хп у,), может быть угломаяточка искомой экстремали н, следовательно, в этой точке левая производная у'(х, — О) и правая проиаводная у'(х, + О), вообще говоря, различны. Поэтому удобнее функционал о (у(х)! прелста- Л(»а «аl - 'у у( вить в виде х, С(»чу,) о (у(х)! = ~ В(, у, у') (х+ х и + ~ Г" (х, у, у')с(х, а причем на каждом из интервалов хз ( х ( х, и х, ( х ( хт производная у'(х) предполагается непрерывной и, следовательно, мы можем пользоваться изложенными выше результатами.
Основное необходимое условие экстремума Ьо = 0 принимает вид х, а'а Ьо=б ~ В(х, у. у')а(х+ Ь ~ В(х, у, у')а(х=О. .аа к, Так как точка (хн у,) может перемещаться по кривой у=ф(х). то х, х, при вычислении вариаций Ь~ Г'(х, у, у')а(х н Ь ~ Г" (х, у, у')атх х, х, мы находимся в условиях задачи с подвижной граничной точной, лвижущейся по заданной кривой, и можем использовать результапч ! (стр. 327). Очевилно, что кривые АС и СВ являются экстре. милями.
»(ействительно, на этих участках у =у(х) является решениеч уравнения Эйлера, так как если считать одну из этна кривых уже найденной и варьировать лишь другую, то задача сводится к нахо- х, -а аа- ° - (а (- )аа ) ° °-- с закрепленными граничными точками. Поэтому, вычисляя вариацию функционала, булем уже считать, что функционал рассматривается лишь на экстремалях, имеющих угловую точку С.
Тогда х, У У)аах=(Г+(ар У)ВМ!»» збхт »а З40 вляилцнонныв задачи с подвижными гялницлми (гл, г Ь ~ Р(х. у, у')с(х= — [Р+(р' — у')Р„! рбх, к, (см. стр. ЗЗ!). гле знаки х=х, — 0 и х=х,+О означают, что берется предельное значение величины, стоящей в скобках пр ~ приближении к точке х, в первом случае слева (со стороны значений х, меньших х,) н во втором случае справа (со стороны значений х, больших х,). Так как в точке отражения разрывна лишь производная у', то в первом случае надо взять в угловой точке левую производную, а во втором случае — правую производную. Условие Ьо = 0 принимает вид ! +(ф — у)Рг 1„л ебх1 — (Р+(р' — у)Р, ! рЬХ,=О или, так как Ьх, изменяется произвольно, то (Р+(Ч' — у')Р !...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
