Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 54
Текст из файла (страница 54)
е=(Р+Ор' — у')Р ! или Р(хо уп у'(х, — 0))+(<р'(х,)— — у'(х, — О)) Р„(хи ун у'(х, — 0))=Р(хн ун у'(х, +0))+ +Ор'(х,) — у'(х, +0))Р„(хн уо у'(х, + 0)). Это условие отражения приобретает особенно простой аид для функ- ционалов типа к, о= ~ А(х, у) у' ! ! у" с(х, а именно: ~, ь)~Г~, -:- (т' — у') у' ! + у с=о-е д(„, ~)~г(ч, ч ь — ~)~! )/'! ~,2 ! к=о+а илн, упрощая и сокращая на А(хо у,) в предположении, что А(хо у,) Ф О, получим '+'~ у ! (+~'х' з Обозначив угол между касательной к кривой у = ~р (х) и осью абсцисс буквой а, а углы наклона к оси абсцисс левой и правой Ф з1 ЭКСТРВМАЛИ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ касательных к зкстремали в точке отражения С, соответственно Р, и Ря (рис. 7.8), получим у' (х, — О) = 1п Ри у' (х, + О) = 1д Ря; гр' (х1) = 1и а, Условие в точке отражения приобретает вид 1+1яа 189~ !+1аа 18Рк — зес Р, зес р, или после упрощения и умножения на сова: — соз(а — Р,) = соя(сг — р,).
Отсюда следует равенство угла падения и угла отражения. Рис. 7йи Если точка движется в некоторой среде со скоростью о(х, у), то время 1, затрачиваемое на перемещение точки из положения А(хе, уе) в положение В(хо у,), равно интег- к, й(хк.у) учр(х1 ралу / с(х, который принад- %+ у' ,l о(х, у) к, С/хну,) лежит к рассматриваемому виду функция- л(х;ук) к х опалов ~ А (х, у)тг1 + у' с(х, и еле- р к, довательно, при любом законе измене- Рис. 7.9.
ния скорости о(х, у) в точке отражения угол падения равен углу отражения. Если бы точки А, В и С были расположены иначе, например так как они расположены на рис. 7.9, то для получения того же условия в точке отражения из-за двузначности функции у = у(х) удобнее было бы проводить исследование в параметрической форме. 28 л.
э. эль кельи 342 ВАРЙАционные зАЛАчи с подвижными гРАницлми 1гл. т Преломление якстремалей. Предположим. что подынтегк, ральная функция функционала о= ~ Р(х, у, у')ггх в рассматри- «О ваемой области имеет линию разрыва у =ф(х), а граничные точки А и В расположены по разные стороны линии разрыва (рис. 7.10), Представим функционал о в виде к, о= ~ Р,(х, у, у')г(х+ ~ Рз(х, у, у') Ых, к к, где Р,(х, у, у') = Р(х, у, у') с одной стороны линии разрыва, а Рс(х, у, у')= Р(х, у, у') с другой стороны линии разрыва. Рис. 73 ~ Предположим, что Р, н Рэ трижды дифференцируемы. В точке С пересечения искомой кривой с линией разрыва естественно ожидать наличия угловой точки. Луги АС и СВ, очевидно, являются экстремалямн (это опять следует нз того, что, фиксируя одну из этих дуг и варьируя лишь другую, мы получим задачу с закрепленными граничными точками).
Поэтому можно брать в качестве кривых сравнения лишь ломаные, состоящие из двух дуг экстремалей, н тогда вариация ввиду подвижности граничной точки С(хо у,), перемешаю- шейся по кривой у =ф(х), принимает следующий вид (см. стр. 331): к, к бо=б ~ Р,(х, у, у')ц'х+б / Ре(х, у, у')г(х= к1 к =!Рг+(Ф у ) Рин! обхг — (Рт+(гр у ) Ртт')к-к+обх1 и основное необходимое условие экстремума бо = 0 сводится к равенству г+(ф у ) гг )к=к,-о 1 а + (ф у ) аг )к кгьо' ВКСТРВМАЛИ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ 4 з) Так как в точке преломления может быть разрывна лишь у', то это условие преломления можно записать и в следующем виде: Р,(хи ун у'(х, — О))+ +(гр'(х,) — у'(х, — 0))Р1У (хн ун у'(х, — О))= =Во(хн уп у'(х, + О))+ + (<р' (х,) — у'(х, + О) ) Рог (хн у,, у' (х, + О) ).
Это условие преломления вместе с уравнением у,=ф(х,) лает возможность определить координаты точки С. Если, в частности, функционал о равен Л, ~ А(х, у) У 1+ у' Нх= к, = ~ А, (х, у) Ф 1+ у' Нх+ ~ А, (х; у) 1' 1+ у" Нх. то условие преломления приобретзет вид !+ту А,(х, у) У ( = Ао(х, у) + у .г=ю-о + у кгюэо или, сохраняя обозначения стр. 340 — 342, у' (х, — О) = !д рн У'(х,+О) = !3 йо (р'(х,) = !3 а, после упрощений и умноягения на соз а будем иметь: Гп Ып ~ — — (а — р,)1 (2 1 Ао (хь У,) соя(а — б~) Ао(хь у,) соя(а — Р,) А, (кг у,) з1п ~ —, — (а — Ро)~ Га 1 А,(х,, у,) й что является обобщением известного закона преломления света: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равш отношению скоростей 1 1 о,(х, У)=,! и оо(х, У)= (сР.
стР. 341) А|(х, у) А,(х, у) в средах, на границе которых происходит преломление. Не следует думать, что экстремали с угловыми точками появляются лишь в задачах на отражение или преломление экстремалей. Экстремум может достигаться на экстремалях с угловыми точками даж~ к, в задачах на экстремум функиионала о= ~ Р(х, у, у')с(х, где функпия Р триокды дифференпируема. и допустимые кривые должны про.
ходить через граничные точки А и В без каких бы то ни быль лополнительнык условий. 344 ВАРИАЦИОННЫВ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Исследуем, например, функционал = ~у' (1 — у')'и.с, у(0)=0; у(2)=1. 1гл. т Так как подынтегральная функция положительна, то и )~ О. и следовательно, если на какой-нибудь кривой функционал О = О, то па этой кривой заведомо реализуется абсолютный минимум функционала и, т. е. наименьшее значение функционала на допустимых кривых. Нетрудно видеть, что на ломаной у = х при 0 ='х - 1 и у = 1 при ! ( х =С 2 (рис.
7.11) функционал т к О=О, так как на этой ломаной подынтегра1ьная функция тождественно (Гр у=! (к ) равна нулю. Следовательно, на этой ломаной реализуется абсолютный минимум функционала. Абсолютный минимум функционала: 0 и = О, лостигается также н на лома- ных, изображенных на рис. 7.13. Рис. 7.11. С другой стороны, легко видеть, что на гладких кривых значения функцибнала строго больше нуля, хотя н могут быть сделаны сколь угоднр близкими к нул1о. действительно, полынтегральная функция обрашается в нуль только прн у = х + С, или прн у = Сю но линии, составленные из отрезков прямых этих семейств, проходящие через точки А(0, 0) и В(2, 1), могут быть лишь ломаными.
Однако, сглаживая точки излома путем соответствующего изменения функции в сколь угодно малой окрестности этих точек, мы можем получить гладкую кривую, значение функционала па которой сколь угодно мало отличается от значений функционала на ломаной. Таким образом, О=О является точной нижней гранью значений функционала О на гладких кривых, но эта точная нижняя грань на гладких кривых не достигается, а достигается на кусочно- гладких кривых. Найдем условия, которым должны удовлетворять решения с угловыми точками задачи об экстремуме функционала и (у(х)) = к1 = ~ В(х, у, у')Г!х. Очевидно, что отлельные гладкие дуги, из кото- кю рых составлена ломаная экстремаль, должны быть интегральными кривыми уравнения Эйлера.
Это следует из того, что если зафиксировать зсе звенья ломаной, кроме одного, и варьировать лишь это одно авено, то задача сводится к простейшей задаче с закрепленными границами и, следовательно, это звено должно быть дугой вкстремали. ЗКСТРИМАЛИ 0 УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ Считая для упрощения аапнси, что ломаная зкстремаль имеет лишь одну угловую точку е), найдем условия, которые должны удовлетворяться в угловой точке: х2 к, о= ~ Р(х, у, у'>сгх= ~ Р(х, у, у')ах+ ~ Р(х, у, у'>г(х, х М х, где х, — абсцисса угловой точки (рис. 7.12). Считая, что кривые АС и СВ являются интегральными кривымн уравнения Эйлера Рис.
7.!2. и что точка С может произвольно перемешаться, получим согласно ч 1. стр 331: до=(Р— у'РУ )(„, адх1 + + РУ >, Ьу, — (Р— у'РУ )>„„„ь дх — Р, ), „ду, =О, откуда (Р— у'РУ >! „здх~ +РУ )„, Ьу, = = (Р— у'РУ > (, Ьх1 + РУ ! „Ьуи или, так как Ьх, и Ьу, независимы, имеем (Р— у'РУ )! „=(Р— у'РУ ) 1„„ Р > =Р. У |х х,-е У !ххме' Эти условия вместе с условиями непрерывности искомой экстремали поаволяют определить координаты угловой точии. ь> Если угловых точек несколько, то к каждой нз нил применимо то же самое рассуждение Пример 1.
Найти ломаные зкстремали (если они существуют) функ. а ционала о=- ~ (у' — ут) Иж Напишем второе из условий. которые должны о выполняться в точке перелома, Р„, ! = Р, 1, или в данном слуг ~х=х,-е г ~х=х,~-я' чае 2у'(л, — 0) = 2у'(х, +0), откуда у'(х, — 0) = у'(х, +0), т. е. производная у' в точке х, непрерывна, и точl кн перелома иет. Слеловательио, в рассматриваемой задаче экстремум может достигаться лишь иа гладких кривых. П р и и е р 2. Найти ломаные зкстремах, ли функционала е= / у' (1 — у')а ах. Так как подынтегральная функция зависит Рнс. 7.13. лишь от у', то зкстремалямн являются прямые линии у = Сх+ С (см. стр.
301). Условия в точке пере.шма в данном случае принимают внл — у а (1 — у') (1 — 3у ) !х х с = — у а (! — у') (1 — 3у') 1х х ~я и ау' (1 — У')(1 — 2У') !х=х-0= У ( У )(! 2У )!хах~хз' Этн условия, не считая тривиальной возможности у'(х, — 0) у'(л,+0), у'(х,— 0) 0 у' (х, + 0) = 1 у' (х, — 0) = 1 у ( -, + о) = о. удовлетворяются при или Следовательно, ломаные зкстремали могут состоять только из отрезков прямых, принадлежащих семействам у = С, н у х + С, (рнс.
7,13). 9 4. Односторонние вариации В некоторых вариационна|х задачах об экстремуме функционала о[у(х)) на класс допустимых кривых может быть надо!кено ограничение, аапрещающее им проходить через точки некоторой области )т, ограниченной кривой Ф(х, у)=0 (рис. 7Л4). В этих задачах кривая С, реализующая экстремум, нли проходит целиком впе границы области )с, и тогда она должна быть экстремалью, так как'в этом случае наличие вапрещениой области Й совершенно не влияет на свойства функционала и его вариации в окрестности кри- 340 вдиндцнонньш здддчн с подвнжнымн гпдннцдмн !гл.т Одностояоннне Вляилцин вой С, и рассуждения главы 6 остаются справедливыми, или кривая С состоит нз дуг, лежащих вне границы гг, и из частей границы области )с.
В этом последнем случае возникает новая ситуацию на частях границы области й возможны лишь односторонние вариации кривой С, так как внутрь области допустимые кривые заходить не могут. Части кривой С, лежащие вне границы области Й, должны по-прежнему быть экстремалями, так как если варьировать кривую С лишь на таком, допускающем лвустороннне вариации, участке, Рнс. 7.14. то наличие области гс на вариации у влиять не будет, и выводы главы 6 остаются справедливыми. Таким образом, в рассматриваемой задаче экстремум может достигаться лишь на кривых, состоящих из дуг экстремален и частей границы области Й, а следовательно, для построения искомой кривой, реализующей экстремум, надо получить условия в точках перехода экстремали на границу области Л, дающие возможность определить этн точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
