Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Вариацнонная задача теряет смысл. Пример 4. 1 о(у(х)] = ~ (у'+ хяу') дх; у (0) = О, у(1) = а. а дМ дДГ Уравнение Эйлера имеет внд — — — = 0 нлн у — х = О. Первое граду дх ннчное условие у(0) = 0 удовлетворяется, но второе граничное условие удовлетворяется лишь прн о = 1. Если же а чь 1, то экстремали, удовлетворяющей граничным условиям, не существует, УРАВНЕНИЕ ВИЛЕРА 301 Пример 5 в[у(х)) = ~ (у-[-ху') лх нлн о[у(хП ~ (уел-[ хну); кк к, у (хк) = у у (х ) - у Уравнение Эйлера превращается в тождество 1юа1. Подынтегральное выражение является точным дифференциалом, и интеграл не зависит от пути интегрирования: к, о[у(х)] ~ «(ху) = хку, — хкуи х, по какой бы кривой мы ни интегрировали.
Вариационная задача не имеет смысла. 3) Р зависит лишь от у'. Р = Р (у'). Уравнение Эйлера имеет внл Р, у" — О, так как Р = Р„ =Р ° =О. Отсюда у"=О или Р„=О. Если у" =О, то у = =С,х+Ст — двукпараметрическое семейство прямых линий. Если же уравнение Р т (у')=О имеет один или несколько действительных корней у'=А,, то у=)т;х+С, и мы получаем однопараметрическое семейство прямых, содержащееся в полученном выше двукпараметрическом семействе у = С,х + Ст, Таким образом, в случае Р = Р (у ) зкстремалями являются всевозможные прямые линии у=С,х+Сз. Пример б. Длина дуги кривой ([у(х)[= ~ )к!+у'т к(х кк имеет зкстремалями прямые линии у = С,х+ С,.
Пример 7. Время ([у(х)[, затрачиваемое иа перемещение по некоторой кривой у=. у(х) из точки А(хь у,) в точку В(хь у,), если скорость к(а — = о(у') зависит только от у', является функционалом вида лт х, с[у(х)) = ~, лх о(у') < х( Следовательно, зкстремалями етого функционала являются прямые линии. 4) Р зависит лишь от х и у'1 Р = Р (х, у'). 302 МЕТОД ВАРИАНИИ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИПАМИ 1ГЛ, Е УРавнение ЭйлеРа пРиобРетает вид — гчт (х, У)=О и, следол лх вательно, ниеет первый интеграл.
гч (х, у')=СР причем так как полученное уравнение первого порядка гч ° (х, у') =С, не содержит у, то уравнение может быть проннтегрировано или путем непосредственного разрешения относительно у' и интегрирования. или путем введения полхоляшим образом выбранного параметра (см. стр. 69). Пример 8. Функционал у' 1/г1 «хт г(у(х))= / ' ~~У лх о (1 — время, затрачиваемое на перемещение по кривой у= у(х) из одной ла точки в другую, если скорость движения е=х, так как если — х, то лг х) Лз /' У1-«-у'т ЛГ= — н Г= ~ Лх . Первый интеграл уравнения Эйлера х .l х Е, = С, имеет вид = СР Это уравнение проще всего инте- у х У1+у'~ грируется, если ввести параметр, полагая у' = 1е й тогда ! у' 1 х=— = — з1п Г С1 ")г) «уз С~ — 1 или х= С, з1п6 где С, = —; — = фй Лу= фт Лх= 1ЯГ С( соз Гл1 С~ з1птлй л'х интегрируя, получаем у= — С, созе+ Сь Итак, х С, з1пй у — С,= — С, созе или, исключая б получаем х' + (у — Ся) = С,— семейство окружностей г с центрами на оси ординат.
5) г". зависит лишь от у и у'. ~=~(у у'). Уравнение Эйлера имеет вид: гтт — гч у' — г" г ум=О, так как гтхг ° =О. Если умножить почленно Вто уравнение на у', то, как нетрудно проверить, левая часть превращается в точную производную — „()' — у'~ ) УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА Действительно, ( У 2"2')=Е2У + ~~'У вЂ” У ех — Рш у' — г2 ° у'у" =У (г г Рш'У г'т'х'У )' Следовательно.
уравнение Эйлера имеет первый интеграл е' — у'е причем так как это уравнение первого порядка не содержит явно х, то оно может быть проинтегрировано путем разрешения относительно у' и разделения переменных или путем введения параметра. Рис. 6.10. Пример 9, Задача о наименьшей поверхности вращения: определить кривую с заданными граничными точками, от вращения которой вокруг осл абсцисс образуется поверхность наименьшей площади (рис.
6.10). Ках известно, площадь поверхности вращения 5!у(л)) =йл ~ у 1~'1+у' Лх. ю подынтегральная Луньния злшсит лишь от у и у' н, следовательно, первый интегрзл уравн: пия Эйлера будет иметь вид Л вЂ” ут,= С, г' илн в данном случае у у 1+ у'2 — — — Сь уу .2г'1 1 2 После упрощений получаем = Сг Проще всего зто уравие- у )' 1+у нис янгегрируется подстановкой у' = зй д тогда у = С, сЛ д а лх —— 2Гу С, зЛГЛГ у' зЛ =С,М; «-С)+Си 304 МЕТОД ВАРИАЦИИ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАН!СНАМИ !ГЛ.
6 Итан, нсконзя поверхносгь образуется вращением линии, уравнение когорой в параметрической форме имеет вид х- С,!+Сь у= С,сйд х — С, Исключая параметр Д будем иметь у = С, сй — семейство цепных С, лвний. от вращения которых образуются поверхности, называеные катенои- дами. Постоянные С, и Сз определяются нз условия прохождения искомой линии через заданные граничные точки (в зависимости от положения точен А и В может существовать одно, два или нн одного решения).
Пример 10. Задача о брзхистохроне (см. стр. 281): определить кривую, соединяющую заданные точки А н В. при движении по которой материаль- ная точка скатится из точки А в точку В в кратчайшее время (трением н сопротивлением среды пренебрегаем). Полтестим начало координат в точку А, ось Ох направим горизонтально, ось Оу — вертикально вниз.
Скорость движения материальной точки лз — = 1 Еду, откуда находим время, затрачиваемое на перемещение гочки г(! из положения А(0, О) в полоягенне В(хь у,): г [у(хЦ вЂ” / пх; у(0) = О, у(х,) = уь !' )'!+у' „, о Тан как этот функционал также принадлежит к простейшему виду и его подынтегральная функция не содержит явно х, то уравнение Зйглера имеет первый интеграл  — у'Вс = С, или в данвом случае х — =С !' у(!+у ) ! М откуда после упрощений будем иметь = С или у (1 + у ) Сн ~'у(1+ у") Введем параметр д полагая у' = с!Ей тогда получим: у =, = С, Мп' т = — (1 — соз 21); С, С, 1+ с!аз! г(х = —, = ну 2С, з!и Г соз т г(т 2С1 з!п' ! НГ = Сг (1 — соз 21) Ж; у' сгпт х С, (т — — ~+ Сз — (2( — з!п 2()+ Сз. з!п 21 т С, Следовательно, в пзраметрической форме уравнение искомой линии имеет вид х — С, =' — (2! — з!и 2!), у = — (1 — соз 2().
. С, С, 2 2 !'.ель преобразовать. парчметр подстановкой 2! П и принять во внимание, ФУНКЦИОНАЛЫ ОВШЕГО ВИДА % з) что С, = О, так как нрн у = О, х О, то мы получим уравнение семейства циклоид в обычной форме: х= —,(1, — з1от,), С, 2 у = — (1 — соз 11), С, 2 гле — — радиус катящегося круга, который определяется из условия проС1 хождения циклоиды через точку 8(хь у,).
Итак, брахистохроной является циклоида ае и, функционалы вида х, у „, „ , , у' ..., у') 2тх ))ля получения необходимых условий экстремума функционала о более общего вида о)У,, У, ..., У ~ = ~ Р(х, Ун У,,, ..., Уо, У,', У', ..., У„)т(х х, при заданных граничных значениях всех функций У1(хо) =Уж У2(хо) = Уто ° ° Ух(хо) = Ухо У1 (Х1) У!1 Ут (Х1) У21' ' ' ' ' )1х (Х1) Ухэ будем варьировать лишь одну из функций у (х) (,/ = 1, 2, ..., л), оставляя все остальные функции неизменными. При этом функционал о(ун ут, ..., у„) превратится в функционал, зависящий лишь от одной варьируемой функции, например от у,(х), О (У!' У2' ' ' ' ' Уа) О (У1) рассмотренного в $ 2 вида, и, следовательно, функция, реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению Эйлера Р— — Р =О. 21 Лх 21 Так как это рассуждение применимо к любой функции у, (1=1, 2, ..., и), то мы получим систему дифференциальных уравнений второго порядка — — Р ° =О (1=1, 2...., в).
и 20 л. э. эхьогооья 606 мвтод вляилцип в задачах с няподвижными гилницами (гл.в определяющих, вообще говоря, 2и-параметрическое семейство интегральных кривых в пространстве х, ун уя, ..., у„— семейство зкстремалей данной вариационной залачи. Если, в частности, функционаа зависит лишь от двух функций у(х) и г(х): о(у(х). г (х)1 = ~ Р(х.
у, г, у', г') г(х; У(хо) =Уо х(хо) = хо У(хг) =Уг х(хо) = лг т. е. определяется выбором пространственной кривой у = у (х), я=я(х) (рис. 6.11), то, варьируя только у(х) и фиксируя л(х), Рис. 6Л!. à — — „Г„=о ях и гч,— — Р; =О. лх Пример 1. Найти вкстремали функционала я о(у(х), л(х)) ~ (у" +х' +2ул)ях, у(0) О, у1 — "1 1, 12) л(0) О, л 1 — 1 — 1. 12/ мы изменяем нашу кривую так, что ее проекция на плоскости хОг не изменяется, т. е.
кривая все .время остается на проектирующем цилиндре л = з(х) (рнс. 6.12). Аналогично, фиксируя у(х) и варьируя г(х), мы варьируем кривую так, что она все время лежит на проектирующем цилиндре у = у(х). При атом получаем систему двух уравнений Эйлера: 307 ФУНКНИОНАЛЫ ОБЩЕГО ВИДА Система дифференциальных уравнений Эйлера имеет вид у" — =О, «" — у = О. Исключая одну нз неизвестных функций, например «, получаем угк — у= О.
Рис. 6.12. Интегрируя зто линейное уравнение с постоянными козффициентамн, будем иметы у = С,е + С,е-х+ Сз соз х+ С4 з1п х; «=- у"; «= С,е" + С,е "' — С, соя х — С,з1пх. Используя граничные условия, находим: С4 0 Сз — 0 Сз 0 С4 1 следовательно, у= з1пх, «= — з1пх. Пример 2. Найти акстремали функционала о [у(х), «(х)) = ~ Р(у', «') 4тх. к, Система уравнений Эйлера имеет вид Руйлу +Р,«О, Р,,у +Р,, О, откуда, считая Р,,Р...,— (Ру,е)' + О, получим: у"=О и «"=О и„ у С,х+ Ст, « = Сзх+ С, — семейство прямых линий в пространстве. П р и м е р Ь Найти дифференциальные уравнении линий распространения света в оптически неоднородной среде, в которой скорость распространенна света равна о(х, у, «).
308 метод ВАРиАцип в ЗАдАчАх с неподвижными гРАницАми !Гл. 6 СОГЛаСНО ПРИНЦИПУ ФЕРМЛ СВЕТ РаСПРОСтРаНЯЕтСЯ ИЗ ОДНОИ ГОЧКИ А(Хо, Уо) е другую В(х, у,) по кривой, для которой время Т прохождения света булет наименьшим. Если уравнение искомой кривой у = у (х) н х = х (х), то / [''+у + о(х, у, х) х, Система уравнений Эйлера для этого функционала оо Р 1+у э+х' ЛГ у' ду 9 ох ]/1+ н [,2 ох о" Нх ]/]+,2+ л в будет систечой, определяющей линии распространения света.
ф 4. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка Исследуем на экстремум функционал х) о[у(х)]= ~ Р (х у(х) у (х) ° ° у (х))г(х где функцию г" будем считать диффсренцируемой и+ 2 раза по всем аргументам и будем предполагать, что граничные условия имеют вид у (хо) = уо У[х,) = Ун т. е. в граничных точках заданы значения не только функции, но и ее,производных до порядка л — 1 включительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
