Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 58
Текст из файла (страница 58)
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВКСТРЕМУМА [Гл. а При таком выборе функции ю вторая вариация принимает вид ( Р,+е Ьто. ( Р, (Ьу'+ УУ бу) их Р,, ( '+Р„) — (Р„,+ ) -О имеет на отрезке (хь, х,) дифференцируемое рещение ю(х). Преобразовав зто уравнение к новым переменным подстановкой ю — Р,— Р,,— УУ У'У и где и†новая неизвестная функция, получим ( Р— — Р, [и — — (Р,,и') 0 у йх Уу~ йх УУ вЂ” уравнение Якоби (см.
стр. 366). Ясли существует не обращающееся в нуль при хь < х<х, решение етого уравнения, т. е, выполнено условие Якоби, то существует для тех же значений х непрерывное и дифференцнруемое решение и в(х) — Руу — Р,,— УУ' и уравнения Р„(Р„+ а') — (Р,, + в)' О. Итак, условие Лежандра н условие Якоби гарантируют сохранение знака второй вариации и, следовательно, являются достаточнымн условиямн для слабого минимума (Р,, > 0) илн максимума [Р чи < 0). 8.
Преобравовацие уравнений Эйлера к каноническому виду Систему и уравнений Эйлера (см. стр. 305) Є— „" Р ° =0 ([=1. 2..... и) (8. 3) можно заменить системой 2л уравнений первого порядка. Полагая в (8.3) Р = Оа (Ф = 1, 2, ..., и), (8.4) Уа получим т[в дР— — (й = 1, 2...., и). (8.5) ь и, следовательно, знак второй вариации совпадает со знаком Р ... У У' Однако такое преобразование возможно лишь в предположении, что дифференциальное уравнение ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ЭНЛВРА Разрешаем систему уравнений (8.4) относительно у„' (для возмож- ности такого разрешения предположим, что 0(Р, Р,..., д' ) чь 0), В~У1, Уз,", У„') у» = геи (х, )1 . о ), (8.6) где гв„(х, У,, о,) =ыи(х, Уп Уш ..., У„.
171, Рш ..., П„). и подставляем (8.6) в (8.5,).,При этом получим систему 2л уравне- ний первого порядка в нормальной форме: лу„ — „" =ыа(х, у,, д,), (8.Л Здесь и в дальнейшем фигурные скобки означают. что в скобках вместо уи подставлены ыи(х, у,, д,). С помощью функции и Н (х ум й,) = Х юя, — (Р! 1=1 система (8.7) может быть записана в каноническом виде: дО дй . дй ду дх (и= 1, 2...., л). (8.8) также не содержит х явно и, следовательно. ЛН дН ду дН Ыа 1.1 '«.1 Заметим, что если функция 1" (у1, у, ..., у„, у,, у'...., у„') не зависит явно от х, то система (8.8) имеет первый интеграл Н=С, Действительно.
в этом случае и и= ~ .,д1 — (Р) 1 1 ЗУО достлточныв головня зкстгемзмл (гл. з В силу уравнений (8.8) получим — =О, Н=С дН дх вдоль интегральных кривых системы (8.8). Для простейшей задачи этот первый интеграл уже был получен иа стр. 303. Пример !. Заков сохранения энергии. функция Н = ~чР~ а.а — [Р) для функционала ~ (Т вЂ” У) дй Т=- ~ т (хз+ уз+аз), где сохранены обозначения примера 1 стр. 320 (Т вЂ” кинетическая энергия системы материальных точек, У вЂ” цотенцнзльзая энергия), имеет следующий внд: л Н= ~ т,(х;+ уз+ха) — (Т вЂ” У) = Т+У !га — полная энергия системы.
Применим принцип стационарного действия. Если нотенцнальная энергия У не зависит явно от д т. е. система консервативна, то уравнения Эйлера для функционала ~ (Т вЂ” У) дт имеют первый а ннтег ал Н= С, Т+У= С. так, полная энергия консервативной системы остается прн движении постоянной. Интегрирование канвнической системы (8.8) равносильно интегрированию дифференциального уравнения в частных производных (8.9) — ';+Н1х, у„д™)=О, где Уравнение (8.9) называется уразнгнием Гамильтона — Якоби, Если известно однопараметрическое семейство его решений де о (х, у„а). то известен и первый интеграл — =() системы (8.8), 8 — произвольная постоянная.
Действительно, дт э з э — ! — ~ = — + Уз — '= + У вЂ”. (8ПО) дх (, да ! дхда 2З ду да дх дхда с~ду да дл, ' )=1 Ф 3! ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА 871 Дифференцируя тождество до(х, у, а) г' до(х, у, а) 1 д = ~ 'Уч д ) а Уг получим д'о ~~ до д'о дх да дг)г дуг да г=г (8.11) и, подставляя (8.11) в (8.10), получим в правой части (8.10) тожде- ственный нуль. Итак, откуда до да Следовательно, если известен полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби о=о(х уг уз ° ° ° у,. пг аа ° °, а„) то известно и и первых интегралов системы (8.8)г М =Р,. (1 — 1, 2, ...
и). Если якобиан системы (8.12) отличен от нули 1д 1=' то система (8.12) определяет у, как функции остальных аргументов: у,=у,(х, ап аз, ..., а„, рг, рз, ..., р„) (8.13) (1=1, 2, .... и). (8,12) Тем самым получено 2п-параметрическое семейство зкстремалей. Можно доказать, что (8.13) является общим решением системы уравнений Эйлера, а функции у,(х, аг... „о.„, рц ..., 8„) и (г=!.
2, ..., и) до(х,у,а) Чю ду являкгтся общим решением системы (8.8). Пример, Найти уравнение геодезических линий на поверхности. на которой злемеит длины кривой имеет внд дз' (ф (х)+ рл (у)) (дхг+ ду'). (гл. а ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА т. е. найти зкстремали функционала к, Так как к- """'зк"' -ггзчзкг» 1 ~=~. 'ь/(+ у'* У' , / —,Т ' О'+ Чз = В (х) + Ч~ (У). У то уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид (дх) (д ) ( — ) — ~р~ (х) йз(у) — ( — ) . Для уравнений такого типа (уравненнй с разделенными переменными) Ф,(х, д ) Ф,(У, д ) или легко находится первый интеграл.
Полагая ( ) де 1' ( дп т — ) — чч (х) = а и ез(у) — ( — ) =и дх) (ду) нли — =)' и1(х)+а де де — йз (у) — а, ду находим -)гь,()-~ *-~(гктз — — 'т ч, дп следовательно, уравнение геодезических линий — р з лаином случае да имеет внд дх ~' ну )/~р,(х)+а l )/Оз(у) — а . Замечание. К уразнениаз Гамильтона — Якоби можно прийти и из иных соображений. Рассмотрим центральное поле вкстремалей с центром в точке А(хз. уз) для функционала х, о [у(х)] = ~ Р(х, у, у') дх. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ Э зуя На экстремален поля функционал о[у(х)) превращается а функ- цию о(х. у), координат второй граничной точки В(х.
у). Как было укаэано на стр. 370, до — = — Н(х. у, и), дх до ду Исключая и, получим до / до 1 — = — Н[х,у,—. дх ( ду ) ~ Р(х, уи у,, ..., уа, у,', у,'...., у„)с(х. к, Задачи к главе 3 Исследовать па экстремум функционалы 1. о [у(х)) = ~ (ху'+ у' ) дх; у(О) =1; у(2) =О. о а 2. о [У(хЯ= ~ (У" +2УУ' — 1ОУ2) Ах; а > 0; У(0) = О; У(а) =О. е 3.
о [у(х)[= ~ у'(1+хау') дх; у( — 1) =1; у(2) =4. — 1 г 4. о [у(х)) = / у (1+х'у') дх; у(1) =3; у(2) 5. 2 3. о[у(х)) = 1 у (1+х'у ) дх1 у( — 1)=у(2) 1. -1 6. о[у(х)) = / (4уа — у'+Зу) дх; у(0) = — 1; у( — ) =О. э 2 7. о[у(х)) ~ (х'у'-1-12уэ) дх у (1) = 1; у (2) ~ 8. 1 Итак, функция о(х, у) является решением уравнения Гамильтона — Якоби, Совершенно аналогичные рассуждения справедливы и для функционала ГЛАВА 9 ВАРИАЦИОННЪ|Е ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ В 1. Связи вида Р(х, ум у„..., у„) =0 Вариацноннымн задачами на условный экстремум называются задачи, в которых требуется найти экстремум функционала о, причем на функции. от которых зависит функционал о, наложены некоторые связи. Например, требуется исследовать на экстремум функционал к, о(Ум Уа' '' ' ° Ук1 ~ ~(»' Ум Ув' ' ' '' Ук' У1' Уа' ' ' '' Ул) ех «о при наличии условий ~р,(х, ун уа, ..., у„)=0 (1=1, 2...., т; т <л), Вспомним, как решается аналогичная задача при нсслелозании на экстремум функцнн г= г(хн хм ..., х„), пря наличии связей гр,(хн хм ..., х„)=0 (1=1, 2, ..., т; т л).
Наиболее естественный путь заключается в разрешении системы ф, (хи хм ..., х„) = 0 (1 = 1, 2, ..., т\. уравнения которой мы буден считать независимыми, . огносительно каких-нибудь т переменных, например относительно хм хз, ..., хм: х,=х,(х .„, х еа, ..., х„); хт хз (х~к гг хщ+а хк) х„=хм(хмен х,в, ..., х„), и подстановки найденных х,, ха, ..., х в у(хн хм ..., х„). При этом функция Г" (хн хм ..., х„) становится функцией Ф(х +,. х, ..., х„) только л — т переменных хм+м хм+а, ..., х,, зуе влвнлцнонныв злдлчн нл ксловнын экстявмкм (гл, э которые уже независимы, и следовательно. задача свелась к исследованию функции Ф на безусловный экстремум.
Этим путем можно, конечно, решать и поставленную выше вариационную задачу. Разрешая систему ф,(х, ун уг, ..., У„)=0 (1=1, 2, ..., т) относительно у,, уг, ..., у (или каких-нибудь других т функций у,) и подставляя их выражения в о(ун уг, ..., У„1, мы получим функционал В'[у„~н у эг, ..., У„1, зависящий только от и — гн уже независимых аргументов, и.
следовательно, к функционалу )Уг применимы методы, изложенные з Э 3 главы 6. Однако как для функций. так 'и для функционалов обычно более удобен другой метод решения, называемый методом неопределенных множителей, сохраняющий полное равноправие переменных. Как известно, этот метод при исследовании на экстремум функции я = у(хн хг, ..., х„) при наличии связей ф, (хн хг, ..., х,) = О (Г = 1, 2, ..., гл) заключается в том, что составляется новая вспомогательная функция *=У+Х) ф 1=1 где ),,— некоторые постоянные множители, н функция л' исследуется уже на безусловный экстремум, т. е составляется система уравдл" пений — =0 (у'=1, 2, ..., а), дополненная уравнениями связей дх~ ф',=0,(1=1, 2, ..., ш), из которой опрелеляются все л-+т неизвестных ло лг, ..., х„и Хо ).г, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
