Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 60
Текст из файла (страница 60)
379, следовало бы в левые части уравнений Включить слагаемые, содержащие члены порядка выше первого относительно Ьу) и Ьу) (У = 1, 2, ..., л), причем учесть влияние этих нелинейных членов здесь уже значительно труднее. 334 вАРиАниОнные задачи нА услопныи экстРемум (гл а интегрируя каждое слагаемое второго интеграла по частям и прииимав во внимание. что Ьу/ — †(Ьу / и (Ьу ) (Ьу ) О, будем иметь л 2,''(ь1ь — — — 'ь1~,'~ь,~ о. дгу/ д / д<у/ 1 ду/ дх 1 ду/ ~ Из основного необкодимого условия акстремума Ьо О получим к~ к Р— — Р, 1 Ьу/дх О, л',л~ У/ дх у) к, /=1 /! (9.3) (9.4) так как к, к к Ьп= ~ ~~~~(Р~ Ьу/+Р Ьу/)дхуе ~ ~~~~ (Р— — Р,) Ьу дх.
д / У/ / ° ' 1 к, / 1 к~ /=1 Сложив почленно все уравнения (9.3) и уравнение (9.4) и вводя обозначение Р' Р+ ~ч~ ~Ц!(х) 91, будем иметь 1=1 к> к ,~Х ~Р— — Р, Ьу/а1х О. д (9.5) кд У/ д» у~ кь / 1 / Так как вариации Ьу/ (/= 1, 2, ..., и) не произвольны, то пока нельзя применять основной леммы. Выберем т множителей Х1(х), Хк(х), ..., Хм(х) так, чтобы они удовлетворяли уравнениям Р— — Р О (/ 1, 2...„т). У/ дх у / Если написать ети уравнения в развернутом виде, то они представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений относительно Х1(х) и — (/=1, 2, ..., т), дЛ/ дх которая при сделанных предположениах имеет решение А1(х), Ц (х), ...
..., Х (х), зависищее от т произвольных постоанных. При таком выборе Л1(х), Хк(х), ..., Ь„(х) уравнение (93) приводится к виду к, к .) (Р' — — "Р*, ) Ьу,дх-О, У/ дх у ) К, /=К!+! // где вариации Ьу/ (/= т+1, т+2, ..., и) ухсе произвольны, и следовательно, полагаа все вариации Ьу/ = О, кроме какой-нибудь одной Ьу/, и применяя основную лемму, получим Р— — Р, О (/ т+1, т+2, ..., л). У/ дх изопеРиметРические зАДАчи Таким образом, функции ун(х).
уг(х)...., у„(х), реализующие условный экстремум функционала о, и множители Л,(х), Л,(х), ..., Л (х) должны удовлетворять системе и+ ш уравнений: Р— — Р О (У 1, 2, ..., л) лх т / и Ег=О (( 1. 2, ..., гн), т. е должны удовлетворять уравнениям Эйлера вспомогательного функционала о*, который рассматривается как функционал, зависящий от л+ ш функций Уьуг," УюЛРЛг,...,Лм. ф 8. Изопериметричесиие задачи Изопериметрическими задачами в узком смысле этого слова называются задачи об отыскании геометрической фигуры максимальной плошали при заданном периметре. Среди таких экстремальных задач, исследовавшихся еще в древней Греции, были и вариациониые задачи, например упомянутая на стр.
282 задача о нахожлеиии замкнутой кривой заданной длины, ограничивающей максимальную площаль*). Задавая кривую в параметрической форме х =х(Г), у=у(Г), можно эту задачу формулировать так: найти максимум функционала $= худ или 5= — ) (ху — ух)Ш 2,/ при условии, что функционал сохраняет постоянное значение: )/ха+уз ( и Таким образом, мы имеем алесь вариационную залачу на условный экстремум со своеобразным условием; интеграл ~ Ф ха+угу сои храияет постоянное значение. ") Хотя решение этой задачи было известно еще в древней Греции, однако ее своеобразный варнационный характер был осознан лишь в конце ХЧП века.
В настоящее время изопериметрическими задачами называется значительно более общий класс задач, а именно: все зариационные задачи, в которых требуется определить экстремум функционала о=~ Р(х. ум у,. "" у„у,' у,' "" у„') х при наличии так называемых изолерилетрических условий Р~(х Уп Уя ° ° ° У„уг Уя ° ° ° У,) ~(х=1~ Г (1=1. 2, ..., т), где 1,— постовиные, «г может быть больше, меньше или равно л, а также аналегичные задачи для более слежных функционалэв. Изопериметрические задачи метут быть сведены к задачам на условныМ экстремум, рассмотренным в предыдущем параграфе, путем введения новых неизвестных функций. Обозначим л ~ Р,их =я~(х) (1=1, 2, ..., «ю), к, откуда я,(х,) = 0 и из условия ~ Р,~Рх = 1, имеем х,(х,) =1,.
кр йифференцирув л~ по х, будем иметь «'(х) =Р (х, у, у, ..., у, у', у'... „у') (1=1, 2, ..., «г). и Тем самым интегральные, изопериметрические связи ~ Р, «х = 1, и заменились связями дифференциальными: Рг(х У~ Уг' '''' Уы У~ Уз ''" У«) (1=1,2,..., т) задаче, рассмотренной в прелы- и, следовательно, задача свелзсь и душем параграфе. Применяя правило множителей, можно вместо исследования на к, о= ) Рах при наличии связей условный вкстремум функционала лв 386 вляилционныв задачи нл всловныи экстякмям 1гл.з Эз) ИЗОПЕРИМНтгнчисяив задлЧИ 387 тт, — г„' =О (1= 1, 2, ..., лг) исследовать на безусловный экстремум функнионзл к к! о"= ) Р+ «~)!(х)(!ч! — г,') л!х= ) Р*нх, к ! 1 ка где Р'=Р+ Х Х,(х)(Р,— а,').
!=1 Уравнения Эйлера для функционала о* имеют вид à — — Г '=О т/ 4х 9=1,2,..., л), (1=1,2, ..., л1), к"., — — Р,' =О Ы а'х '! или Ц=1,2,..., л), — ).!(х)=0 ((=1, 2, ..., лг). Из последних и уравнений получаем, что все ),! постоянны, а первые л уравнений совпадают с урйвненияин Эйлера для функционала гч!с!х=1! (1=1, 2, ..., т) надо составить вспомогательный к, функционал где Х,— постоянные, и написать для него уравнения Эйлера. Таким образом, мы получаем следующее правило: для получения основного необходимого условия в изопериметрической задаче о падок! ждении экстремума функционала о= ~ Р!тх при наличии связей ййв влвнлционныи злдлчн нл ксловныи экстоимкм !гл.э Произвольные постоянные С,, С, ..., Са„в общем решении системы уравнений Эйлера и постоянные Хн ).о, ..., Х определяются из граничных условий Ут(хо) = У!о У)(х,) = УВ (Е= 1, 2, ..., л) и из изопериметрических условий У Р, о(х = 1, (! = 1, 2, ..., т).
Система уравнений Эйлера для функционала о'* не изменяется, если о*" умножить на некоторый постоянный множитель ро и, следовательно, представить его в виде к, ю Роо = ~ у Р;Р~ о(х. к, о=о где введены обозначения Во= Г, р) — — ) цо, У=!, ..., т. Теперь все функции Г, входят симметрично, поэтому экстремалн в исходной вариационной задаче и в задаче на нахождение экстремума функ- к! цнонала ~ гко(х при наличииизопериметрических условий Рю Мах =18 (1=0,1,2,... ...,г — 1,а+1,..., т) совпадают при любом выборе а (л = О, 1,..., и). Рнс.
9.1. Это свойство носит название принципа взаимности. Например, задача о максимуме площади, ограниченной замкнутой кривой заданной длины, н задача о минимуме длины замкнутой кривой, ограничивающей заданную площадь, взаимны и имеют общие экстремалн. Пример 1. Найти кривую у= у(х) заданной длины 1, дла которой площадь Я изображенной на рнс.
9.! криволинейной трапеции САВВ достигает максимума. Исследуем на экстремум функционал к, Ю = / у ох, у (х,) у,, изопеРиметРические зАдАчи йз) у (хо)= уо при изопериметрическом условии к, ~ у'Г+Худх-1. Составляем сначала вспомогательный функционал ю Э*' = ~ (у+ Л )17+ уют) Л . ко Так как подынтегральная функция не содержит х, то уравнение Эйлера для 5" имеет первый интеграл к' — у'г, = С или, в данном случае, у+Л )1(+у' — " = С„ ~1 -(- у" откуда — Л у — С,=.
)у(+у" Вводим параметр 1, полагая у' = 1Е1; тогда получим у — С~ = — Л соз 1; и'У оту Л з1п 1 о11 пх — =(е1, откуда пх= — = = Лсоз1М; (Е1 (е1 х Лшпт+Со. П р и м е р 2. Найти вместе с ззданиой кривой на рис. 9.2. Требуется определить кривую АВ заданной длины 1, ограничивающую у = у (х) максимальную площадь, заштрихованную акстремум функционала к'1 Э= ~ (у — У(х))пх; «о у (к'о) = уо у (хо) = уо при наличии условия к, Итак, уравнение акстремалей в параметрической форме имеет вид: х — Со = Лз!п1, у — Со = — Л сов 1, или, исключая 1, получим (х — С,)'+(у — С,)'= Л' — семейство окружнок стей.
Постоянные С,. С, и Л определяются из условий к( у(хо) = уо, у(хо) = у, и ~ (/(+у' о(х 1. 399 влпилционные задачи нл нсловнын вкстпемкм (гл. в Составляем вспомогательный функционал и 5" ~ (у — у(х)+Л угГ+у") лх. ю Уравнение Эйлера дла етого функционала не отличается от уравнения Эйлера в предыдушей задаче, и следовательно, в данной задаче максимум может достигаться лишь на дугах окружностей. П р и и е р 3 Найти форму абсолютно гибкого, нерастяжимого однородного каната длиной 1, подвешенного в точках А и В (рис. 9.3).
Рнс. 9.2. Рнс. 9.3. Так кая в положении равновесия центр тяжести должен занимать наиболее низкое положение, то задача сводится к нахождению минимума статического момента Р относительно оси Ох, которая предполагается направлен. ной горизонтально. Исследуем на экстремум функционал Р= ~ у У~1+у'з г(х м к, при условии ~ 'г' 1+ у" йх . Л Составляем вспомогательный функционал м Р" ~ ( +Л) г'1+~" и'.т, ю для которого уравнение Эйлера имеет первый интеграл Р— уР =С, илн, в данном случае, (у+)) у')+~Л (У+ )У С .)г'1 1 .2 отнуда у+Л С1 У 1+у™.
Вводим параметр, полагая у' зпй откуда 1+у' сйт и у+Л С, сЫ; — аЫ;Ых — С, ФГ)х=*Сф+ Св (у лу 4(х а)т Г НЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ вЂ” с, нлн, исключая Е, получим у+А Вс св — тсс — — семейство цепных « ливий. Указанное выше правило решения изопериметрических задач распространяется и на более сложные функционалы. Упомянем еще об одной задаче на условный зкстремум — задаче об оптимальном управлении. Рассмотрим дифференциальное уравнение ~, =у (у (у) (у)) (9.6) с начальным условием х(ге)=хь. Кроме неизвестной функции (или вектор-функции) х(с), это уравнение содержит еше так называемую управляющую функцию (или вектор-функцию) и(Г).
Управляющую функцию и(е) надо выбрать так. чтобы заданный функционал о = ~ р(х(г), и(г)) аг л достигал экстремума. функция а(с), дающая решение поставленной задачи, называется оптимальной функцией или оптимальным управлением. Эту залачу можно рассматривать как задачу на условный экстремум функционала о с дифференциальными связями (9.6). Однако в практических задачах оптимальные функции часто лежат на границе множества допустимых управляющих функций (например, если управляющей функцией является включаемая мощность моторов, то.
очевидно. Зта мощность ограничена максимальной мощностью моторов, причем в решениях оптимальных задач нередко приходится включать моторы хотя бы на некоторых участках на полную мощность). Если же оптимальная функция лежит на границе множества допустимых управляющих функций, то изложенная выше теория задач на условный экстремум, предполагавшая возможность двусторонних вариаций, неприменима.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
