Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Поэтому для решения задач оптимального регулирования обычно применяются иные методы, разработанные Л. С. Понтрягиным (см.(8)) и Р. Беллмаиом (см. (9]). П р им е р. В системе дифференциальных уравнений ах ао — =о, — и (Š— время), ае ' ас (9.с) описывающей движение точки в плоскости с координатамн х, о, определить управляющую функцию и (е) так, чтобы точка А (хь, оь) переместилась в точку В(0, О) за наименьший промежуток времени, прйчем ~ и С «Ь1 (так аех кая и — , то и можно считать силой, действующей на точку с еднничиой асе ' массой).
892 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ (ГЛ. Э управляющая функция и(Г) кусочно непрерывна. Лля упрощения рассуждений предположим, что она имеет не более одной точки разрыва, однако окончательный результат верен и без этого предположения. Рис.
9.4. Рис. 9.5. Почти очевидно, что на оптимальных траекториях и = ш1, так кэк при этих значениях ~ — ~ и ~ — ~ достигают наибольших значений и, следова- (л71 ~ и тельно, точка движвтся с наибольшей скоростью. Полагая в (9.7) и=1, получим (э о = Г+ Сь х = — + С,(+ Сэ, 2 илн оэ 2(х — С), и аналогично при и= — 1; Гэ о — Г+ С„х — — + С~( + Сэ, о' = — 2 (х — С), 2 На рис. 9.4 н 9.5 изображены эти семейства парабол, причем стрелки указывают направление движения при возрастании Г. Если точка А(х,, о,) лежит на проходящих через начало координат дугах парабол о= — У х или о = У вЂ” х (9.8) (рис.
9.6), то оптимальной траекторией является дуга одной из этих парабол, соединяющая точку А с точкой В. Если же точка А ие лежит на этих параболах, то оптимальной траекторией будет дуга параболы АС, проходящая через точку А, и дуга СВ одной из параРис. 9.6. бол (9.8) (см. рис. 9.6, иа котором указаны двз возможных положения точек А к С). В этой задаче время Т перемещения точки из положения А в полоэкеиие В является функционалом, определяемым первым из уравнений (9.7), второе уравнение из (9.7) можно рассматривать как уравнение связи.
Однако применение к втой задаче изложенных выше классических л~етодов решения б »ло бы затруднительным, так как оптимальное управление лежит на границе области допустимых управлений ( и ) ~; 1 и двусторонние вариации здесь не- ЗАЛАЧИ К ГЛАВЕ 9 393 Задачи к главе 9 ! 1, Найти экстреиалн изопериметрической задачи о (у (х)] =- ( (у'э+ха) с(х о 1 прн услонин ~ ус нх = 2; у(0) =0; у(1) =О.
о 2. Найти геотезичес«не ликии круглого цилиндра г= Р. )г к а з а н и г. Решыше удобно искать в цилиндрических координатах г, 11, -". 3. 11айги экстреиалн изоперииетричгской задачи к, о(у (х)) = ~ у'тг(х при условии ~ у г(х=а. к к, где а — постоянная.
4. Написать дифференцпатьиое уравнение экстремалей изопериметриче- ской задачи об экстремуме функционала к о (у [х)) = ~ !р(л) у'9+ 9(х) у'1 кх при условии ~ г(х) у'стх = 1, у(0) = 0; у(х1) =О. 5. Найти экстремаль в нзопернметрической задаче об экстремуме функ- ционала 1 о(у(х); л(х)) = ~ (у' )-г'~ — 4хз' — 4л) с(х 1 ~ (у' — ху' — л' ) 1(х =2; у(0) =0; л(0) =0; у(1) = 1; о при условии л(1) =1, 26 Л.
Э Эльсголья ВОЭЧОжны, кроме того, решение 11щется э классе кусочно иепр Рывиых управлений. Оба эти обстоятельства весьма характерны для большинства практических задач на оптимальное управление. ГЛАВА )о ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ че 1. Прямые методы Дифференнизльные уравнения вариационных задач интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случаях.
В связи с этим естественно возникает потребность з иных методах решения этих задач. Основная идея так называемых прямых методов заключается в том, что зариационная задача рассматривается как предельная для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных. Эта задача на экстремум функции конечного числа переменных решается обычными методами, а затем предельным перехолом получается решение соответствующей вариационной задачи. Функционал п)уех)) можно рассматривать как функцию бесконечного мпожества переменных. Это утверждение становится совершенно очевидным, если предположить, что допустимые функции могут быть разложены з степенные ряды: у (х) = а, -+ а,х + азха -)- ...
+ а„х" + нли в ряды Фурье: у(х)= ~' + ~ (а„совах+ л„з!пах), или вообще в какие-нибудь ряды вида у(х) = ~ а ф„(х), в=О где ф„(х) — заданные функции. Для задания функции у(х), представимой в виде ряда у (х) = ~ а„ф„(х), достаточно задать значеч=а ния всех коэффициентов а„, и следовательно, значение функционала о [у(х)) в этом случае определяется ааданием бесконечной последовательности чисел: ае, аы аз, ..., а„, ..., т. е.
функпионал является 395 КОНЕЧНО.РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА функцией бесконечного множества переменных: О [у(х)[ = ф(ае, а,, ..., а„, ...), Следовательно. различие между вариационными задачамн и задачами на экстремум функций конечного числа переменных состоит в том, что в варнационном случае приходится исследовать на экстремум функции бесконечного множества переменных. Поэтому основная идея прямых методов, заключающаяся, как уже сказано выше, в том, что вариацнонная задача рассматривается как предельная для задачи на экстремум функций конечного числа переменных, является весьма естественной. Л.
Эйлер в первый период своих исследований в области вариацнонного исчисления применял метол, называемый теперь конечноразностным прямым методом. Этот метод в дальнейшем длительное время совсем не применялся и лишь в последние трн десятилетия был с большим успехом снова возрожден в работах советских математиков (Л.
А. Люстернвк, И. Г. Петровский н др.). Другой прямой метод, известный под названием метода Ритца, в разработку которого весьма значительный вклад внесен советскими математиками (Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов и др.), в настоящее время находит широкое применение при решении различных варнацнонных задач. Третий прямой .метод, предложенный Л.
В, Канторовичем, применимый к функционалам, зависящим от функций нескольких независимых переменных, находит все более и более широкое применение в тех же областях, в которых применяется метод Рнтца. В дальнейшем мы остановимся лишь на этих трех основных прямых методах, причем локазательства многих утверждений будут опушены. Читателя, желающего более детально ознакомиться с применяющимися в настоящее время прямыми метолами, мы отсылаем к книге Л. В. Канторовича и В.
И. Крылова [10[ и к книге С. Г. Михлина [11[. Э 2. Конечно-разиостный метод Эйлера Идея конечно-разностного метода заключается в том, что значе- ния функционала О[у(х)[, например к, ~ г" (х, у, у')ах. у(хе)=а, у(х,)=д, кю рассматриваются не на произвольных, допустимых в данной вариа- ционной задаче, кривых, а лишь на ломаных.
Составленных из задан- ного числа и прямолинейных звеньев, с заданными абсциссами вершин: х„+ Ьх, хе+ 2бх, .... х +(а-1)Ьх, где Ьх* — 'х" (риз, 10.1). пРямые методы В ЯАРиАциоииых зАдАИАх <гл. м На таких ломаных функционал о(у(х)! превращается в функцию <р(уи уз, ..., У„,) ординат уи уш ..., у„, вершин ломаной, так как ломаная вполне определяется этими ординатами. Выбираем ординаты уи уя..., У„, так, чтобы функция % (уи уа, ..., У„,) достигала экстремума, т. е. определяем Уи Ут...., у„, из системы уравнений — =О, — =О...,, =О, Ду, ' Ду, ' ''" оу„, а затем переходим ь пределу при л-ьоо. В пределе при некоторых ОГРаНИЧЕНИЯХ, НаяаГаЕМЫХ Иа ФУНКЦИЮ с, ПОЛУЧИМ РЕШЕНИЕ ВаРнационной задачи.
Рис. 10.1. удобнее, однако, значение функционала о1у(х)1 на указанных выше ломаных вычислять приближенно, например в простейшей задаче заменять интеграл к, к 1 кь т 1А '- ИЬК ~~(-,у, ) л=~ / к А=а к,ее а. интегральной суммой ~> Р~х,у., — )Л. В качестве примера выведем уравнение Эйлера для функционала к! о(у(х)) = ~ тт(х, у.
у') Их. ке 391 метод Рнтцл В этом случае на рассматриваемых ломаных У вЂ” У о(У(х)1 Ф(У1 уа ° ° ° ° У -1) = „~~ л(хн уо ~Л ') Лх. р=о Таь как от ур зависят лишь лва слагаемых этой суммы: т-е и (1 — 1)-е, уг„-у,) I У,— У, Г(хн у,, "' '1Лх и Е'(х,, у,, ' ' ') Лл, то уравнения — =О (1 = 1, 2, ..., и — 1) принимают вил де ду Г (хп ун '' ')Лх+т"., (хп ун '+' ')~ — — )Лх+ или или бу,) Лд;, Переходя к пределу при а-ь со, получим уравнение Эйлера которому должна удовлетворять искомая функция у(х), реализующая экстремум. Аналогично может быть получено основное необходимое условие экстремума в других вариационных задачах.
Если не совершать предельного перехода, то из системы уравнений — = О (р = 1, 2, ..., л — 1) можно определить искомые де ду, орлинаты у,, уя, ..., у„, и тем самым получить ломаную, являющуюся приближенным решением вариационной задачи. ф 3. Метод Ритца Идея метода Ритин заключается в том, что значения некоторого функционала о(у(х)) рассматриваются не на произвольных допустимых кривых данной вариационной задачи, а лишь на всея чч возможных линейных номбинациях у„=.- у, а,В', (х) с постоянными р-1 пРямые методы В ВАРиАционных зАДАчАх 1гл. !з коэффициентами, составленных из л первых функций некоторой выбранной последовательности функций %'!(х), ]к'з(х), ..., Ю„(х), ... л Функции у„= ~ а!]Р'!(х) должны быть допустимыми в рассматри- ваемой задаче.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
