Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 62
Текст из файла (страница 62)
что налагает некоторые ограничения на выбор после- довательности функций Ж'! (х). На таких линейных комбинациях функционал п]у(х)] превращается в функцию !р(а!, ат, ..., а„) коэффициентов цн ам ..., а„. Эти коэффициенты а,, а,, ..., а„ выбираются так, чтобы функция ф(ан а,, ..., а„) достигала экстре- мума; слеловательно, а,, ам ..., а, должны быть определены из системы уравнений — = О (г = 1, 2, ..., л).
да~ Совершая предельный переход прн а -ь со, получим в случае существования предела функцию у = ~ а!]р!(Х), являющуюся (при !=1 некоторых ограничениях, налагаемых на функционал и ]у (х)] и на последовательность ]к'!(х), %'я(х), ..., ]р„(х), ...) точным реше- нием рассматриваемой вариационной задачи. Если не совершать предельного перехола, а ограничиться лишь л первыми членами и у„ = ~!а,Ф'!(х), то получим приближенное решение вариационной 1=! задачи.
Если таким методом определяется абсолютный минимум функцио- нала, то приближенное значение минимума функционала нахолится с избытком, так как минимум функционала на любых лопустимых кривых не больше, чем минимум того же функционала на части ч этого класса допустимых кривых — на кривых вида у„= лл а,]Р'!(Х). 'э] 1=! При нахождении тем же методом максимального значения функцио- нала получаем по тем же причинам приближенное значение максимума функционала с недостатком.
Для того чтобы функции у„= ~ а!В'! (х) были допустимыми, 1=! прежде всего необходимо удовлетворить граничным условиям (конечно, не следует забывать и о других ограничениях, которые могут быть наложены на допустимые функции, например требованиях, касающихся их непрерывности или гладкости). Если граничные условия линейны и однородны, например, в простейшей задаче у(хз)=у(х,)=0 или ])!у (х!)+ ])я у' (хт) = 0 Ц = О, 1), яатод Ритцл где йц — постоянные, то проще всего и координатные функ цин выбрать удовлетворяющими этим граничным условиям.
Очевидно, л что при этом и у„=,~~ а,Ф',(х) при любых а, будут удовлетворять (=1 тем же граничным условиям. Пусть, например, граничнме условия имеют вид у(хо) = у(х,)= О, тогда в качестве координатных функций можно выбрать 1 ~(х) =(х — хо)(х — х1) ~Р~(х). где гр,(х) — какие-нибудь непрерывные функции, или Ж' (х)=шп ( ' (в=1, 2, ...), х,— х, или какие-нибудь другие функции, удовлетворяющие условиям (г р (хо) )г ~ (х1) О Если условия неоднородны, например у (хо) = уо У (х1) = Уг где хотя бы одно из чисел у или у, отлично от нуля, то проще всего искать решение вариационной задачи в виде где %'о(х) удовлетворяет заланным граничным условиям (р' (хо) =уз, (Ро(х,) = у,, а все остальные Ф',(х) удовлетворяют соответствующим однородным граничным условиям, т.
е. в рассматриваемом случае Ф'~(хо) = Ж',(х,) =О. Очевидно, что при таком выборе при любыка, функции у„(х) удовлетворяют заданным граничным условиям. В качестве функции Фо(х) можно выбрать, например, линейную функцию 1Р (х)= У' У' (х — хо)+у. Решение системы уравнений — =0 ((=1,'2, ..., л), вообгце де да, говоря, является весьма сложной задачей. Эта задача значительно упрощается, еслИ на экстремум исслелуется квадратичный относи- тельно неизвестной функции и ее производных функционал о, так как в этом случае уравнения — =0 (1=!. 2...., л) линейны относиде де~ тельно а,.
Выбор последовательности функпий В'о (Ра, ..., )Р'„, ..., назы- ваемых координатными функциями, сильно влияет на степень слож- ности дальнейших вычислений, и поэтому от удачного выбора коорлн- натной системы функций в значительной мере зависит успех приме-, нения этого метода.
пРямые методы В ВАРиАцио1шых ЗАПАЧАх 1гл. 1з Все сказанное выше в полной мере относится и к функционзлам ч1[я(хг, хм .,., х„)[, причем, конечно, в этом случае функции [Р1 должны быть уже функциями переменных хн хм ..., х„, а также— к функционалам. зависящим от нескольких функций. Метод Ритца часто приме1шется для точного или приближенного решения задач математической физики. Например, если требуется найти в некоторой области г) решение уравнения Пуассона д'л глл —,+ —,=/(х, у) при заданных значениях г на границе ооласти О, то можно заменить эту задачу вариационной задачей об экстремуме функш1онзла, для которого ланное уравнение являешься уравнением Ос.гроградского (см. стр, 3!б).
В рассматриваемом случае таким функционалом будет [ / ~( — ) + ( — ) + 2зу (л, у)~ г(л 1(у. о Функцию л, реализующую экстремум этого функционала. можно находить любым из прямых метолов. Задачи математической физики обычно сводятся к исслелованню на экстремум функционалов, квалратичных относительно неизвесгной функции и ее производных, и следовательно, как указывалось выше, применение метода Ритца в этом случае упрощается.
Вопрос о схолимости приближений, получаемых по методу Ритца. к искомому решению вариационной задачи, а также об опенке степени точности этих приближений является весьма сложным. Поэтому ограничимся здесь лишь немногими замечаниими, отсылая читагеля, желающего подробнее ознакомиться с этим вопросом, к книгам Михлина [11[ и Канторовича и Крылова [!0[. йля определенности будем иметь в виду функционал 'п [у (х) [ = ~ Р (х, у (х), у' (х) ) гХх к, и предполагать, что речь идет о его минимуме. Послеловательность координатных функций (т'1(х), [Рз(х), ..., йт„(х), ...
будем считать полной в том смысле, что каждая допустимая функция может быть с любой степенью точности аппрокснмирована в смысле близости перл вого порядка линейной комбинацией ~З ~аь(Р (х)координатныхфункЛ=1 ций, где и достаточно велико. Тогда, очевидно, что методом Ритпа и можно получить функции у1, уя, ..., у„, ..., где у„=- ~чГ~а„()тл(х), Л-1 метод Ритцл образующие тзк называемую минимизирующую последовательность, т. е. последовательность, для которой значения функционала о[у11 о [у21' ' ' ' о [ул[' сходятся к минимуму или к нижней грани значений функционала о [у (х)1.
Олнако из того. что [пп о [у„(х)1 = ийп о [у (х)1, отнюль не л-> следует, что йш ул(х)= у(х). Минимизируиицая последовательность л-ь. может и не стремиться к функции, реализующей экстремум в классе допустимых функций. Действительно, функционал к, о[ул (х)1= ~ Г(х, у,(х), у„'(х))г(х к, может мало отличаться от к, о[у (х)1 = [ гч (х, у (х), у'(х)) а~х, к, не трлько в том случае, когда на всем отрезке интегрирования ул(х) близка в смысле близости первого порядка к у(х), но и в том случае, когда на достаточно малых частях отрезка (хм х,) функции ул(х) и у(х) или их произволные резко отличаются у друг от друга, оста- , „[я) ваясь близкими наосталь- Ц ной части отрезка (х,, х,) „У[х) (рис.
10,2). Поэтому минимизирующая последовательность уи у,, ..., у„ 1 ! 1 может да>ив не иметь пре- 1 дела в классе допустимых функций, хотя функции уи у,,...,ул сами и будут допустимыми. Рис. 10.2. Условия сходимостн последовательности ул, полученной методом Ритка. к решению вариационной задачи и оценка быстроты сходимости для конкретных, часто встречающихся функционалов были разработаны в трудах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. Так, например, для функционалов вида 1 о= ) [р(х)у" [-г)(х)у2+~(х)у[с[х; у(0)=у(1)=0, о 402 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ (гл.
|а где р(х) ) О; п(х) )~ О, часто встречающихся в приложениях, не только доказана сходимость приближений, получаемых по методу Ритца, к функции у(х), реализующей минимум функционала, при координатных функциях В' (х)= [Г2 з(плпх (4=1, 2, ...), но и ланы весьма точные оценки погрешности [у(х) — у„(х)~. Приведем одну из этих оценок максимума [у(х) — у„(х)[ на отрезке (О, 1): шах[у — у„[ < 1 + [шахр х 1 ( +шаха(х)) т е ,х ка 2 [гпю р(х))" ай [шах[р'(х)[+ — шахг)(х)+.Пш)п р(х)~ч). Даже в этом, сравнительно простом случае, оценка погрешности очень сложна. Поэтому для оценки точности результатов, полученных методом Ритца или другими прямыми методами, обычно пользуются следующим теоретически, конечно, несовершенным, но практически достаточно надельным приемом: вычислив у„(х) и у„,,(х), сравнил вают их между собой в нескольких точках отрезка [х„, х1[.
Если в пределах требуемой точности их значения совпадают, то считают, что с требуемой точностью решение рассматриваемой вариационной задачи равно у„(х). Если же значения у„(х) и у„ь,(х) хотя бы в некоторых из выбранных точек в пределах заданной точности не совпадают, то вычисляют у„„ (х) и сравнивают значения у„+,(х) и у„эз(х). Этот процесс продолжается до тех пор, пока значения у„+л(х) и у„чаэ,(х) не совпадут в пределах ззданной точности. П р им е р 1.
Прн изучении колебаний заделанйого клина постоянной толщины (рис,!0.3) приходится исследовать на экстремум функционал 1 в= ~ [ахзу~а — Ьхуе)ах; у(1)=у'(1) О, ч) Си. книгу Канторовича н Крылова [10[. йз) митод нитыд где а и Ь вЂ” положительные постоянные. За координзтные функции, удовлетворяюшие граничным условиям, можно взять (х — 1), (х — 1) х, (х — 1)~ха, ..., (х — 1) х", ..ц следовательно, ~ч'~~ а (х — 1)тха а=1 Ограничиваясь лишь двумя первыми членами, будем иметь уэ = (х — 1)'(а, +аах), тогда 1 от = о (уэ] = ~ ]ах'(баях-(-2а, — 4аэ)' — Ьх (х — 1)" (а, +аэх)т] дх = о =а~(а,— 2ат) + — аг(а,— 2аг)+6аэ~ — Ь] — + 10 + 280 1., Необходимые условия экстремума — = 0; — = 0 принимают в данном дот . доз да, ' да, случае вид (а — — )а,+( — а — — ) аэ= 0 (5 105) ' (5 280) 2 б '2 Ь 2 Ь вЂ” а —— 5 105 2 б — а —— 5 280 б а —— 30 =0 2 Ь вЂ” а —— 5 !05 или ( 3) ) (5 280) (5 105) Это уравнение называется уравнением частот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
