Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Е==!П(9+)Г80). 25. 5= — ! — (1 — е " ), 26, х= Асов у — С. 27, х= асов )гг — !. 28. Дифференциальное уравне/н Гд У ние движения х+Л!х — Л»х = О, Л! > О. Отв. х= с,е ' ' + 38. и= с, + св ргхв+ у'+ х' 39. Дифференциальное уравнение движе- а ния тх= тб — Лх. Отв. х= — т — — (1 — е тб т~д т Л и» 40. а) с — те ( †!)л 5!П Пт (и» 2)п» л=! = с, (х'+ х )'1 + х'+ !и ( х+ ) 1 + хт ) ) + сь 31. у = с е" »+ сн у =— с — х' » ! 32. х = с, сов Зс+ с, 5!п ЗС вЂ” — Р сов Зг+ — в!и 3!. 33.
у = е-" с + с х— 12 36 ! — хв)+ — е». 34. у = с,с»+с (ст сов — х-1-с 5!и — х)+ — хе". хе» СО5 х Х'Е" В!П Х 35. у=с (с,совх+с,в!их)+ + . 36 у=с,(х — х")+ 4 4 )х+! ! 1 + с! ~4 — бх'+3(х' — х) !п~ — 1 — ~. 37. и с, !п(х»+ у')+ с,. ~х — ! ~ 417 ответы и гклзлиия к злцлнлм !' ае б)х — хв=- вг ) —; с — Св= в! )— .) У (е)! = ,,) У (о)' х! 41. у = с, + с,х+ с,х'+е (с, + с,х+ с,х') — — — —.
2 24' ! 42 х= (с!+ с!!) сов!+(с!+с С) в!ПС вЂ” — С сов! 43. у = с! сов !п(1+ я)+ 8 Ъп (2 — пв) в!п пс — 2п сов пс +с,з!п1п(1+х)+!п(1+х)в!и!и(1+х). 44.х= у 2 в ! в е=! ав с~ à — (пв — ав)а,— а,при, а,пае — (и' — а,)()е а! .ЛЕ ~ (и — ая! +а,п !'а — аз~ +а и' Л~ ~ ) ( ) сов с где а,, ал, 6и коэффициенты Фурье функции с (с), 46. х= ! +,Д (1+ 3 сов 2!). 47.
у =- с,х+ с,хе . 48. х'у" +ху' — у =О. 24 ге С У2 )'2 ! т ~С,)С2 . )'2 49. х=-е (с сов —, С+с, з!п — С)+е ~с, сов —,С+с в!п —, С)-!-Св. 50, х = С!+С+ 1, У = — Св+ — Св+ — С! + ~с! + — ~ С! -1- с!!+с!. 51. х=— 8 1О ' 16 ~' 6~ 2' св — в! с'е (и,т е! "' — —,.!- . в(- ".н —, '!.',-'<.
(5-+ !и 2)в )' 3 )'3 1 в) $'3 )'3 +е (с сов —, х+ с в!п — х!+ е (с, сов —,— х+ с, в!п — х) + 2 евх х 1 + —, 54. У=(с,х+с!) сов х+(с,х+с„) в!их+с,+ах+ — ! — ет. 63 ' 6 4 5э. У = (с х+ с )'+ с х+ се 56. У =- е е""( — — — 1+ се 57. У=с, совх -(- !с! с,) вн!2х в!п4х 1 -(-с,в!пх — — — 58. у= — .
59. у=с,е""+ —. 6 30 ' х — 2 ' с,' К главе 3 1. х=в!п С, у =сов С. 2. х, = 2е', х,= 2е'. 3. х=с,е( ( - ! - г'гв) ! 2 , 1 вс -)-с,е + — е' + — е'; у наводни нз первого уравнения: у = е'— 11 6 ! с(х ! -в с( )'3 Р 3 — — — 5х. 4. х=с,е'+е в !!с!сов —,)+сев!и —,С)! у н е опре- !СС ' ' (, 2 2 ссх !Свх деляютси из уравнений: у = —., е = — 5. х = с,е"'! у = с,с е'!'.
сс '' сссв ' ' в 6. х = с, сов С + св в)п С + 3 у = — с, в! п С + св сов С. 7. у = с!ув (х) + с 1; (х); е = х [ссу„(х) + ся ув(х)~. 8. х+ у+ х = сг, х + у + е сят. 9. х сге'-( ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ 418 !О. х с!+с —; с, .(- с,е т', у =' с,е' + с,е ', х = с,е' — (с, + с,) е у = — с41+ — т.. !1. х= с, сов!+ага!и! — !сов!+ а!пт!п] а!и!]; у опресг Фх деляется иэ уравнения .у = †' — 1, 1л х' — у' = с„ у — х — т = сь 4ГГ 13. х= с,е'+с,е '+а(п т, у= — с,е'+ с,е ! 4 с е 4 у 4 е г 15.
9(1) ге 0,047. !6. х= еш(с, сов!+ с, а!пП у= его (с, в!и! — с, сок !). 17. х = 2с,е ' + с,е т', у = — с,е ' + с,е т'. !8. х = е ' (2с, соа ! + +2с,а!и!), у=е '((с4 — с,) соа с+(с,+с,) в!и (]. !9.х=с,е'+с, у= = (с,(+ с,) е — ! — 1 — с,, х у — с,е'.
20. х+ у+ л = сг хух = сг ',]с,е' + Зс,е К главе 4 1. Точка покоя асимптотически устойчива. 2. Точка покоя неустойчива 1 1 3. Г!ри а < — — точка покоя асимптетически устойчива, при а = — — устой- 2 2 1 чнва, при а > — — неустойчива. 4. При а < 0 точка покоя асимптотнческн устойчива, прн ц > 0 неустойчива. 5. Прн ! < ! < 2 х(г, р) ьр 4 — тг; при 2 < ! < 3х(г, р)-ь — )49 — !'! при ! > 3 х(т, р)-г со.
6. х(т, р) -г со. 7, Точка покоя неустойчива. 8. Точка покоя устойчива. 9. Точка покоя неустойчива 1О. Точка покоя устойчива. 11. Седло. 12. Периодическое решение х = 1 2 5 5 = — а!и ! — — сов ! асимптотнчески устойчиво. 13. Все решения, в том числе и периодические, асимптотически устойчивы. !4. Точка покоя неустойчива. функция о = хг — у' удовлетворяет условиям теоремы Четаева. 15. Все решения неустойчивы.
!6. Решение х =— 0 неустойчиво 17, Прп 1 < а < 2 решение х — 0 асимптотически устойчиво.. Прн а = 1 и при а = 2 решение х = — 0 устойчиво. При а > 2 и при а < 1 решение х =— 0 неустойчиво. 18. Решение х аяО, гт= — 0 устойчиво при постоянно действувщик возмушенияк. Функция о = 4х' + Зу' удовлетворяет условиям теоремы Малкина.
19, Решение Х (!) ма О неустойчиво. 20. Все решения устойчивы, но асимптотической устой. чнвости нет. 21. Все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости сов ! — в!п ! нет. 22. Периодическое решение х =, неустойчива 23. Область 2 устойчивости 0 ( а < 1, область асимптотической устойчивости 0 < а < 1. 24. Область устойчивости а ) 5. область асимптотической устойчивости а > 5. К главе 5 т / 1. л = Ф(х+ у). 2. х = егхФ (х — у). 3.
х = е"Ф(х). 4. Ф (х, уе4/ О. Ф (х'у') Гу хт 5. а=5+ уг 6. и Ф(х — у, у — х). 7. и=х"Ф! —, — 7!. 8. а ( сг 4 хг)' х-г хФ,(у)+Ф,(у). 9. х (х'+у — 1)К 1О. х уе " !1. х Зх 12.л= 2хгуг =(у' — — ], 13. Ф(х'+х", хг — уг) О. И. Ф(хг — хг, х — уг) О, ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ 419 15. Не интегрируется. 16, 2ху+ух+бхз'= с. 17.
х.= ах'+ — + Ь (воз9а можны и другие ответы). 18. к=ах+ау+ахал (возможны и другие аз,, у т— !аах+у) веты). 19. г = Ье" (возможны илругие ответы). 20. х- х ми а+ ау+ Ь (возможны н другие ответы). 21. х'у — зхуе = с. 22. такого семейства поверхностей нет, так нак условие (Р го! Г)=0 не выполнено. 23. Уравнение векторных .п7ний — = с, хе = с, Уравнение векторных поверхностей у х 1 х = — 67 7 — ) . Уравнение поверхностей, ортогональньы к векторным линиям х (х)' х»-1- у' — е' = с. 24. е = ху+ 1 25. е = Зху. 26.
х = х'-)- уд К главе 6 1, Энстремалями являются окружности (х — С,)7 + у' = Ст. 2. Интеграл не зависит от пути интегрирования. Вариационная задача лишена смысла. 3, В классе непрерывных функций экстремум не достигается. 4. Экстремалями С, х' являются гиперболы у= — +Се 5. у= С, з!п(4х — С,). 6, у= — — + х +С,х+С,. 7. у=ай(С7Х+Ст). 8. у=С,е +С,е "+ —,я!их. 9. у= ! 2 Х7 = С е» + С е-х'+ С, сов 2х + С, з1п 2х.
10. у = — + С х' -1- С х' -1- С хз-(- 7 .' + С х' т Схх 4 Св 11. у = (С х т С,) соз л + (Слх + С,) з!и х,: = 2у -1- у", отдул д'е д'и д'и дти куда е легко определяется. !2. — — †, = О. 13, — + — +— дх' дух ' ' дх' ду' деу = у (х, у, х). 14.
у = С,х' + Сз. 15. у = — хе» + С,е" -1- С„е- ». 16. у= 1 2 х сов х — — + С, соя х+ С7 я!и х 2 !7. у = С, сй х+ С, зй х+х зй х— — 18. У=С,х+ —,+ — !п!х!. !9. у=(С +С, ) х+ С » +(Сз+ С,х) юп х — 20. у = С,е -+ С,е "+е !!с»соя — х+ 4 -)-С, оп —, х)+ е т ~с соз — х+С з!п — х)+хз. Уз ) . --',) Уз Уз К главе 7 1. у = — х при 0 < х ( 1; у = х — 2 при 1 ( х < 4 н у = х при О < х < Д у; — — х+ б при 3 ( х < 4, На той а другой ломаной функционал достигает абсолютного минимума. 2.
Не сушестаует. 3. Ломаные, проходяшие через заданные граничные точки, составленные из прямолинейных отрезков с угловыми козффпциентами УЗ и — )' 3. 4. у, = 1, т. е. знстремали дол1+у 47„ жиы пересенать кривую у, =. 7Г(х7). по которой снользит граничная точка, и х' 1 з 3 16 пол углом —. 5. у = — + — (х' — х'). б. у = ж — х при 0(х ( 4 ' ' 120 24 ' 4 !6 34 3 34 у = Х1 9 — (х — 5)' при — (х < —; у = ~ — (х — 10) при — ( х < 10 5 5 ' 4 5 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ т. е, кривая состоит из отрезна прямой, касающейся окружности, дуги окружности и снова отрезка кзсательиой к окружности.
7. у~О. 8. Дуги окруж- НОСТИ у = жргйл — Хт, К главе 8 х" 1. Прп у = — — + 1 достигается сильный минимум. 2. При у = 0 дости- 4 и и гается сильный минимум, если 0 < а < —, если же а > —, то мииимумз нет. 4' 4 ' 4 3. Экстремум на непрерывных кривых не достигается. 4.
При у = 7 — —— х сильный минимум. 5. При у = 1 — сильный минимум. 6. При у = З1п2х — 1 достигается сильный максимум. 7. При у = х' достигается сильный минимум — 2Х 8, При у = — ет» достигается сильный минимум 9. При у = з!и 2х дости- 3 гается сильный максимум 10. На прямой у= — х достигается слабый миниУ1 х, мум. 1!. На прямой у= — 'х достигается слабый минпмуи. !2 Прп у = х' х, достигается слабый минимум. 13. При у = х' — ! достигается сильный .ВВ х максимум !4, 1(ри у =' — +х достигается сильный минимум. ай 2 К главе 9 1. у = ж 2 з1п ппх, где и — целое число. 2. 9 = С, + Сзл; г = )т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
