Л.Э. Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (1118006), страница 64
Текст из файла (страница 64)
3 а м е ч з н и е, Для прнолиженного решения краевых зздач часто применяется еще один прямой не вариационный метод— метод Б. Г. Галеркина. Этот метод особенно удобен при решении линейных краевых задач, но может быть применен н ко многим нелинейным задачам. Для определенности изложим метод Галеркина в применении к особенно часто встречающимся в приложениях линейным уравнениям второго порядка у" +р(х) у'+4(х) у =У(х) (10.1) с однородными граничными услоииями у (х,) =О, у (х,) =0 (неоднородные граничные условия у(х,) = у,, у(х,) = у, заменой переменных з = У Уэ — (х — хэ) У| — Уе х, —.сэ легко сводятся к однородным). МБТОД КАНТОРОВИЧА 41! $4] Уравнение (10.1) кратко запишем в аиде Е (у) =У(х).
Выберем полную на отрезке [хэ, х,) систему непрерывных линейно независимых функций 1ю, (х), ю1(х), ..., гюэ(х), (10.2) довлетворякнцих граничным условиям шэ(хр) =ш„(х!) =0 (и=1, 2, ...). рибли!Кенное решение краевой задачи будел! искать в виде линейной комбинации первых и функций системы (10.2): Уэ= ~~~~ а1пй(х). 1=! Подставляем у„в уравнение (10.1) и выбираем коэфФициенты а; (! = 1, 2, ..., и), так чтобы функция 1 а Е ~ ~ а1"ю1(х)) — у (х) !=! была ортогональиз на отрезке (х,, х,) каждой из функций пй (х) (1.= 1, 2, ., и) о 1 / /~(2,„,! )) — 1! !1,! ! -0 1-1,2,...,,! Ига! к, ! 1=! Естественно ожидзть, что у„стремится при л — >со к точному решению у = ~ агш1(х), 1=1 так как, если полученный ряд сходится и допускает двукратное почленное дифференцирование, то функция Е (у) — / (х) ортогональна на отрезке (х„ х,) каждой функции ш1(х) системы (10.2), а так как система (10.2) полна, то Е (у) — /(х) О, а это означает, что у является решением уравнения (10.1).
Очевидно, у удовлетворяет и граничным условиям у (хэ) = у (х,) = 0 (так как все ш1(х,) =- пй(х,) = 0). Определить все а1 из линейной по отношению к ним системы (1О.З) и совершить предельный переход при и-ьсо удается весьма редко, поэтому обычно ограничиваются лишь конечным и притом весьма небольшим числом и (и= 2, 3, 4. 5, а иногда даже л = 1). При этом, конечно, надо выбрать лишь л функций ю1(х), поэтому условие полноты отпадает и ик надо выбирать лишь линейно независимыми и удовлетворяюшими граничным условиям ш1 (х,) = ш1 (х,) О.
Часто в качестве таких так назыааемык ноординатнык функций беру! многочлены: (х — хэ) (х — х!), (х — хэ)! (х х!) (х х )э (х х ) (х — хэУ'(х — х!), ... (10.4, 412 пРямые метОды В ВАРПАБПОииых 3АдАчАх !гл. ю (удобно при этом начало координат перенести в гочку х„и иногда в (10.3) х, 0) или тригонометрические функции э!и пп (х — хэ) (и 1,2,...). х,— х, Этот метод применим к уравненияи любого порядна л, к системам ураннений и к уравнениям в частных производных Задачи к главе !О 1. Найти приближенное решение уравнения Ьх = — 1 внутри квадрата — а ( х (а, — а ( у ( а. обращающееся в нуль иа гранлпе этого квадрата. У на за н не. Залачз сводится э исследованию и«экстремум жункцпонала Приближенное решение можно искать в виде а (х' — а') (у' — а'). 2.
Найти приближенное решение задачи об экстремуме функционала ! о [у (хц ~ (х'у"т+!00ху' — 20ху) г(х! у (1) у' (!) = О. с Указание. Решение можно искать в виде у„(х) = (х — !)т(ее+а,х+ ... +ач.х"); провести вычисления при и = 1 3. Найти приближенное решение задачи о минимуме функционала ! о[у(хЦ=~(у" — У вЂ” г у)л г у(О)-у(Н-О. о и сравнить с точным решением. Указание. Приближенное решение можно искать в аиде у„- х (1 — х) (и, + а, х + ...
+ о„х"); провести вычисление при а = 0 н п 1. 4. Найти приближенное решение задачи об экстремуме функционала .т хт — 1 о[у(хц / ~ху — — у' — 2хэу)нх; у(1)-у(2) О, х ! н сравнить с точным решением. ЗАДАЧИ К ГЛАВК ГЕ У к а з а н и е. Решение можно иснать в виде у = а (х — 1) (х — 2). 5. Найти нетодом Рнтца приближенное решение задачи о минимуме функционала 2 о!у(х)) = ~ (у" +у'+ йху) г(х; у(О)= у(2) =О. о и сравнить с точным решением.
Указание. См, задачу 3. 6. Найти методом Ритца приближенное решение дифференциального уравнения у" + х у = х; у (О) = у (1) = О, Определгпь уг (х) и у,(х) и сравнить их значения в гочкак х = 0,25, х = 0,5 и х = 0,75. . ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ К главе 1 1. з!и у сов х =-с. 2. бхз+5ку+ уз — 9к — Зу = с. 3. х' — 2су = сз.
4 у = — + —. 5. — + — = с. б. х =. се + — г . 7. у = с соз х+ в!и х. с х' уз у „ ! 4 ' ' 2 х ' ' 5 8. г — е = с. 9. х = сез — — (сов г+ з!п !). 10. Однородное уравнение: 2 к 1 х = у век ' '. 11. у = сх и у' — х' = с. 12. уз = —. 13. ! п ! ! ! = с — е (Зх+ с)' х = з!и г, 14. Можно ввести параметр, полагая у' = соз! ! ! з1п 2! ! ) х =,вз — )з+2 13. у = ах+ —; особое решение у'=4х. И 3 вз 17. УравС' у = — р' — —, + с. 4 2 4, 3 ~х= рз р+, некие линейно относительно х и †,х = су + †. 18.( 3 2 ау' 2' ! у = р' — рз — 2 19. Гиперболы х' — у'= с. 20. Дифференциальное уравнение искомых кри- вых У =у'. Отв.
у' = 2сх. 21. Дейференцнальное уравнение искомых кри2х вых у — ху'=х. Отв. у=сх — х!и!х!. 22. х'+у' — 2су=0. Особенно просто задача решается в полярных координатах. 23. Дифференциальное йТ уравнение задачи — =Л(Т вЂ” 20). Отв. Через ! час. 24. Дифференциальз(! з(о ное уравнение зздачи — = йо, где о — скорость. Отв, о = 0,4бб хм!час. з(! 23. Если поместить начало координат в заданную точку и направить ось абсцисс параллельно данному в условйях задачи направлению, то дифферен.
циальиое уравнение кривых, вращением которых образуется искомая поверх— х Х )з хз+ уз ность, имеет вид у' = + у (или зсх — з(р = О, где р = р"хз -). у') у „ Отв. Осевое сечение искомой поверхности определпется урзвнением у'-.-2сх+сз, поверхность является параболоидом вращения. 28. у = 2 з!и (х — с). 27.Дифференциальное уравнение искомых' кривых у' — —. Отв. Гипербоу х ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ 415 ( .'+ )Э + У У У 58. у= ! и У=О.
59. (х' — 1) у — з(их= с. 60. Зу+4х+5 1+сх+»пх = с„4» зт 4, 6!. Уз+ха — Зху = с. 62, у = с(ха+у ). 63. уз= х+ —. к' 64. у = с (х+ а) + сз й особое решение у =— (х+а) 2 с 4 ' ' 3 12' . 65. х= — г+ —, у=2хт — 1 и У=О, у= — х. 66. у= 3, с 1 Х сов х К главе 2 3» 1 (сов1 1. У=5е шах+!О. 2. х= с, соз1+с,шп(+ — сов21 — —. 3 2 соз' х ! 3. (у сз) с ~х + ст 4.
У = с( сов х+ сз з(п х+ —— в(их 2з!пх ' ! 1 ! 5, у = с, ха + с х'+ —. 6, у = с, з(п х + с, сов х+ — с)( х. 7. У = — + 1. 3' 12е2' ! х сг+ 1 8. х ст( (с, .+ ст) + — + е'+ —. 9. у =- — — + — !и ! 1+ с,х »+с,. 2 4 с, с, 2 !О. с(х +!=с, (1+сз) . !1.у=се»+сае +сасов2х+С4з(п2х — !6+!5е*. х' !2. у = сов (х — с,)+стх+се 13. у = с,е«+сзе «+сзх'+ с,х +свх+сз — 24. 4хз 15.
У сз ~! — — + 2 3 (4. х = е' (с, + с41) + е-'(с, -»- с 1) + 1 + 12 лы ху=с. 28. (х+у+1)а=с(х — у+3). 29. у= ' + ) . ЗО.У(0.5) = 2(1+ х с -»- 2х -»- х' ' ш0,13. 31. У (0,6) ш 0,07. 32. у (0,02) ш 1,984; У (О 04) ш 1,970; у (0,06! ш 1,955; у(0,08) ш1,942; у(0,10) ъ1,930; у(0,12) ю1,9!7; у (0,14) ш 1,907; у(0,16) т1,896; у (0,18) ш 1,886; у (0,20) ш 1,877; у (0,22) 1,869; у (0,24) ш 1,861; у (0,26) ж 1.854; 1 с 2р ! х= —,+ —, х — у у(0,28) = 1,849; У(0,30) ш 1,841.33. Р' 3 и У=О.И.х+с(З вЂ” =с. 2 у = 2рх — рв. 36.
(х + у + 1)4 = сет» т. 37. у = с; у = е»+ с; у = — е»+ с. ЗВ. у' = 2сх+ сК х' — 1 х' — ! 2 1 х' х' 39. Не имеет. 40. у, =; у = — + — — «.» 2 ' 2 15 4 6 41. у =2х' — х. 42. Не имеет. 43. х= се . 44. хз+ — = се. 45. х= 21. — Зу 2 ха 46. х =12. 47. у = — «+ ! н у = — —. 48. Действительного решения не 4 ' существует. 49.3х — 4у+ 1= се» т'. 50.х =(41+с) з(пт. 51. у = сх+- 2 7х' а иособое решение у = — хд 52. у =, у =О. 53. х — с — (21 — Шп21), х'+ с' 2 а у = — (1 — соз 21) — семейство цнклоид.
Особое решение у = а. У н а з а- 2 вне: удобно ввести параметр 1, полагая у' = с(е1. 54. З(х'+ у)+ «у' = сх. с 5. и= 56. х= сет. 57. х' 2х — ' — 6х — 2 = с. ответы и указания к задачам 416 ( — 1)" 4 х'~ 2 ° 3 5 б ... (3!! — 1) З)т + ''') ( 1)» 45 зал! 4вхв 2 3.5.6 4х' + с, (х — — 4- 3 4 4тх' 3.4 б 7 3 4 6 7...3й (ЗЛ+!) !! = с!у (Зх)+сл,/ (Зх). 17, у = х. 18. у = ( —, х+1) .
° . ) ° 16. !9. у=с,сов»+ 20. и = — + с,. 2!. Днфференс, г + С» 5|и Х+ 1 + х со5 Х вЂ” 5!П х ! П ! 5!П Х ) гРг циальное уравнение задавив с!1» сто Ф о — = —, где г — расстояние Пг г'' = — или г' от центра Земли до тела, о — скорость, е = — 6400'д. Оте. о = !! тх,~сек 22. Дифференциальное уравнение евижения 75! О!Па. Х лл — !ПСЬ вЂ” Е 75 »Р5 !Р5 — =Л(5+1) или — = — (5+ !) Оте с)с» !(С» б 23. Дифференциальное уравнение движения с= У вЂ” !п (б+)'35). / б 8 ьа 24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
